导数知识点总结及应用

1、名师推荐精心整理学习必备导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义OX2 X11. 函数的平均变化率：函数f(x)在区间凶2上的平均变化率为：f(X2)为)2.导数的定义：设函数 y=f(x)在区间(a,b)上有定义，Xo壬(a,b)，若Ax无限趋近于O时，比值 空= f(X0 +&) -f(Xo)无限趋近于一个常数 A,则称函数f(x)在x = Xo处可导，并称该常数 A为函数f(x)在X =Xo处的导数，记作f (Xo)。函数f(x)在X =X0处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3.求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量Ay =f(x0 +Ax)-f(x0) ； ( 2 )求平均变

2、化率:f(Xo中物f(Xo)；( 3)取极限，当3无限趋近与0时，f(X0今-f(Xo)无限趋近与一个常数A,则 f(Xo) =A.4.导数的几何意义:函数f(X)在X =Xo处的导数就是曲线y = f(X)在点(Xo, f(Xo)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求 曲线的切线方程，具体求法分两步:(1) 求出y = f(x)在Xo处的导数，即为曲线 y = f(x)在点(X0,f (X)处的切线的斜率;y -yo = f (xo)(x -Xo)。(2 )在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为当点P(Xo,yo)不在y=f(x)上时，求经过点P的y = f(x)的切线方程，可设切点

3、坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y = f(X)在点(xoKxd)处的切线平行与y轴,这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为X =Xo。(6)5.导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则V =S(t)表示瞬时速度，a=v(t)表示瞬时加速度。二、导数的运算1. 常见函数的导数：(1)(kx + b) = k(k, b 为常数)；c = o(c为常数)；(x)=1 ；(4)(x2)=2x ；,3、 c 2(X ) =3x ；(7)(8)(x) = cX Q ( a 为常数)；名师推荐精心整理学习必备(9) (axr=axln

4、a(aO,aHl)；(10 ) (logaX)Wlogae=高(”。卫幻)；(11) (ex)=ex;(13) (sinx)=cosx ；2. 函数的和、差、积、商的导数：(1) f(x) g(x) = f (x)g(x)；(12) (lnx)=；x(14) (cosx) = _sinx。(3) f(x)g(x)r = f Tx)g(x) + f(x)g(x);(2) Cf (x)f =Cf -(X)( C 为常数)；(4) g(xyg(XgW(xZ)(g”。3. 简单复合函数的导数:yX = yU a。三、导数的应用1.求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数若 y = f(U

5、), u =ax +b，则 y： =yU u；，即y =f(x)在区间(a,b)内可导，(a,b)上为增函数；(a,b)上为减函数；(a,b)上为常数函数。y = f(X)的定义域；求导数 f (X)；f(x)0，则函数y=f(x)在区间(2) 如果恒f(x)0，解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式 不间断区间为减区间。反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，(1) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为增函数，则f(x)0(其中使f(x) =0的x值不构成区间)；(2) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)

6、上为减函数，则f(x) 0 (其中使f(x)=0的X值不构成区间)；(3) 如果函数y=f(x)在区间(a,b)上为常数函数，则f (x) =0恒成立。2. 求函数的极值：设函数y = f(X)在X0及其附近有定义，如果对X0附近的所有的点都有 f(X)A f (X0)(或f(X) f (X0)， 则称f(Xo)是函数f(x)的极小值(或极大值)。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是:(1) 确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x) ； ( 3)求方程f(X)=0的全部实根，X1VX2T|VXn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：X变化时，f(X)和f (X)值的

7、变化情况:X(W,X1)X1(为,X2)Xn(Xn , P)f (x)正负0正负0正负f(x)单调性单调性单调性(4)检查f(x)的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数f(x)在定义域I内存在X0，使得对任意的Xl，总有f(X)f(X0)，则称f(X0)为函数在定义 域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数f（x）在区间a,b上的最大值和最小值的步骤：（1 ）求f （X）在区间（a,b）上的极值；（2）将第一步中求得的极值与f（a）, f（b）比较，得到f（x）在区间a,b上的最大值与最小值。4.解决不等式的有关问题：（1）不等式恒

8、成立问题（绝对不等式问题）可考虑值域。f （x）（x壬A）的值域是a,b时,不等式f（X）cO恒成立的充要条件是 f （X）max c 0，即b 0恒成立的充要条件是 f （ X） min0 ,即卩 a aO。f（x）（x亡A）的值域是（a,b）时,不等式f（xU0恒成立的充要条件是 b0 ；不等式f（x）0恒成立的充要条件是a工0。（2）证明不等式f（X）0可转化为证明f （X）max 0 ,或利用函数f（X）的单调性，转化为证明f(X)cf (x0) 若存在X。使得fg込 求的取值范围.I. 本小满分13分）（1）解：函数几力=二的走义妫x|xeR,且-14x + 4尸心_严（技1）-晁1

9、E _ 如厅 （妆+可二令fCO-O, Wx = 0,当X雙化时./W和 2 濒化情况如下:X(-XL 1)(7 O).0(d + x)f(x)0+/(X)/故/（的卑调减区间为（Y* 7）, （1卫）,草调増区间为 + Q *克分所臥当0时，aas/M有极小值/（0）=：4（1【）幕因为Q1,所以 d+4x+4 = (x+2尸卡(一1)0 ,所以跚/（力的走义域为R,了分出昼件戶（心+低+ 4）-严卩心+）工Xar + 4-加） 求导Wd4x+4尸（/+% + 4令ge得爲臺0,吃一a当寸，乞和当玄变化时，/（JC）和 g 的变化情况如下:Xh 2 -)a2-ia4(2-7 a0(0, +

10、X)fU)十00+Zz故函数/(%)的单调减区间为(2-0),单调増区间为 y 2-i), 2 9寸，乞 珂，当X变化时，/(X)和广(M的变化情况如下:X一叫 0)0(0.2-i) a2-1a4(2，+ a八工)+00+Z14故函数/(X)的单调减区间为(0,2-1).单调増区间为C-X. Q). (2 - -, + X)a口九(本小題满分13分解：函数/W的定X域是(0严)，广-血-丄库竺巴 X X f ) 当0时，A-x= 0,故函数/(E在上单调递减. (2当疽0时，Ax)0i恒成立，所邇数/在Y上单调递减 当4时，令厂w=(b又因为工“，解得“当“(0$)时，rw所以函数兀X)在$)里调递减硝注（,沁）时，nx）D,所以函数TOO在（*）单遍递増.综上所述,当茂拓0时,囹数00的单週减区间是他七）,当0时，a数他）的单调减区间是G”单调曙区何为（严）7分（11）（1）当日玄0时，由（门可知，在上单週谨鬲所WAx）的最小值为曲in,解得士0,舍去* aflOB寸，由（I ）可知，即妙1叭 酗只刃在上单调逾g.所tWi/M的最小值为解得gx4硝即？如吋国数朋在a）上单调還在（為）上单所沁*/的最小值为几e）Wlngl,解得J舍去.盘 22卫沬A即oswi时，a/cx）在佔上里调递矯 t馭皺（加的疑卜值対畑冷宀1 = 1,得舍去.13分灵解：（I）因为 /（）=