平面向量练习题集答案

1、平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例11下列命题: 向量AB的长度与BA的长度相等; 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反; 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同; 向量AB与向量CD是共线向量，则 A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错;AB 与 CD是共线向量,则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错.故是真命题的只有.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式:|a|= Ja y ;

2、(a b) = a (b 矶); OA OB = BA;在任意四边形 ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，贝U AB + DC = 2 MN ;a = (cos a, sin a, b= (cos 3, sin 9，且 a与 b不共线,则(a+ b)丄(a b).其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解析1选D.| a|=Ja*a正确;(a b) c 力 (b c);OA OB = BA正确；如下图所示,MN =MD + DC.+ CN 且 MN = MA + AB + BN ,两式相加可得2MN = AB + DC，即命题正确;因为a, b不共线，且|a|= |b|= 1，所

3、以a+ b, a b为菱形的两条对角线,即得(a+ b)丄(a b).所以命题正确题型二 与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点0,点M在线段DO 1 * 1 * 上，且DM =D0，点N在线段0C上，且0N=0C,设AB =a, AD=b,试用33a、b 表示 AM , An , MN 【解析】在？ABCD中，AC，BD交于点0, 1-1 H H 1 所以 DO = 2DB = 2( AB AD ) = 2(a b),A0 = 0C = 2 AC = 2( AB + AD ) = (a + b).1H-1又DM =3 DO , ON =3OC ,- -

4、1 所以 AM = AD + DM = b+3 D01115=b+3(a b)=6a+6b，AN = A0 + 0N = 0C + 30C4 4 12=30C = 3 $(a + b) = 3(a + b).所以 MN = AN - AM21511=3(a + b) (6a + 6b)=尹一6b.【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2】0是平面a上一点，A、B、C是平面a上不共线的三点，平面a内的动点P满足0P =0A + X AB + AC), 若 匕2时，贝

5、y PA ( PB + PC )的值为【解析】由已知得0P - 0A =X AB + AC),*1-d*d A-i- 即 AP = XAB + AC)，当 X= 2 时，得 AP = 2( AB + AC),所以 2AP = AB + AC，即 AP AB = AC AP , 所以BP = PC , 所以 PB + PC = PB + BP = 0,所以 PA (PB + PC)= PA *0=0,故填 0.题型三向量共线问题【例3】 设两个非零向量a与b不共线.(1)若 AB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b),求证：A, B, D三点共线；试确定实数k,使k

6、a+ b和a + kb共线.【解析】(1)证明：因为 AB = a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a b),所以 BD = BC + CD = 2a + 8b+ 3(a b)= 5(a + b)= 5 AB ,所以AB , BD共线.又因为它们有公共点 B,所以A，B，D三点共线.因为ka + b和a + kb共线,所以存在实数 入使ka+ b= Xa + kb),所以(k Xa =(入：k 1)b.因为a与b是不共线的两个非零向量,所以k X=入1 = 0,所以k2 1 = 0,所以k=.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之

7、共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【变式训练3】已知O是正三角形BAC内部一点，OA+2OB+3OC=0,则厶OAC的面积与 OAB的面积之比是()3A.32B.2C.2D.3【解析】 如图，在三角形 ABC中， OA + 2OB + 3OC = 0，整理可得 OA + OC + 2(OB + OC)= 0.1令三角形ABC中AC边的中点为 E, BC边的中点为F,则点O在点F与点E连线的-处，即OE = 2OF.设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h

8、，贝y Szoac= Szoae + Szoec = 2 OE * (十?) = OE h,SZOAB= AB *= 4aB h,2由于 AB = 2EF , OE = 3ef，所以 AB= 3OE ,Ssac所以=S/oab12OEh 22= 3.故选 B.1 AB h 4总结提咼1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合）的情形，而向量平行则包括共线（即重合）的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a+ b|= a|+ |b|;当向量a与b共线反向时，|a +

9、 b|=|a|b|;当向量a与b.不共线时，|a+ b| 2佰？ abw 25 ,所以 c2 75 ,即 O 刘3 ,所以 a+ b+ O 10+5/3,当且仅当a = b = 5时，等号成立.故选B.典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例11已知a, b夹角为120且|a = 4, |b|= 2，求:(1)|a + b|;(2) ( a+ 2b) (a + b);(3) a与(a+b)的夹角0.【解析1 (1)(a+ b)2= a2+ b2+ 2a b=16 + 4 2 4X2 2= 12,所以|a+ b|= 2窃.2 2(2)(a+ 2b) - (a + b) = a + 3

10、a- b+ 2b=16 3X4X2X2 + 2X4 = 12.2I(3)a - (a+ b)= a + a - b= 16 4X2X2 =佗a da +b) 12所以cos 0= 討=当所以=6【点拨】禾U用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题【变式训练1】已知向量a,b,c满足:|a|= 1 ,b|= 2, c= a+b,且c丄a,则a与b的夹角大小是【解析】.由 C丄a? c- a = 0? a2 + a - b= 0,所以cos10= 2 所以 0= 120题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例21在厶ABC中，AB = (2, 3), AC = (1, k)，

11、且 ABC的一个内角为直角，求k的值.【解析1当/A= 90时,有 AB - AC = 0,所以2X1 + 3 - k= 0,所以k=-2 ；当/B= 90时，有AB -BC = 0,又 BC = AC AB = (1 2, k 3) = ( 1, k 3),11 所以 2X( 1) + 3X(k 3)= 0? k =;3当/C= 90时，有 AC - BC = 0,所以一1 + k - (k 3) = 0,所以 k2 3k 1= 0? k=呼3所以k的取值为一I, y或呼3【点拨1因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向 及两向量的夹角.【变式训练

12、21 ABC 中，AB = 4, BC= 5, AC = 6,求 AB - BC + BC - CA + CA - AB.【解析1 因为 2AB - BC + 2BC - CA + 2CA - AB=(AB BC + CA AB)+ (CA - AB + BC - CA)+ ( BC CA + BC - AB)=AB ( BC + CA) + CA (AB + BC )+ BC - (CA + AB)=AB BA + CA AC + BC - CB=42 62 52= 77.所以 AB - BC + BC Ca + Ca - AB = y.题型三平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴Ox, O

13、y交于点O,且/ xOy=扌，构成一个平面斜坐标系，ei,册分别是与Ox, Oy同向的单位向量，设 P为坐标平面内一点，且OP = xe1 + ye2,则点P的坐标为(x, y),已知Q( 1, 2).(1)求|0Q|的值及OQ与Ox的夹角;过点Q的直线I丄OQ，求I的直线方程(在斜坐标系中).1【解析】(1)依题意知，ei e2 =1且 OQ = 1 + 22,99所以 OQ = ( 0+ 2e2) = 1 + 4 40 2= 3.所以|OQ |=羽.又 OQ e1 = ( ei+ 2e2) e1 = 6?+ 2ee2= 0.所以OQ丄J1,即OQ与Ox成90。角.(2)设 I 上动点 P(

14、X, y)，即 OP = xe1 + ye2,又OQ丄，故OQ丄QP,即(X + 1)ei + (y 2)2 ( ei+ 2 2)= 0.1所以一(x+1)+(X+ 1) (y 2) 2 + 2(y 2)= 0,所以y= 2，即为所求直线I的方程.【点拨】 综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解 析几何等相交汇体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势【变式训练3】在平面直角坐标系 xOy中，点A(5, 0).对于某个正实数 k,存在函数f(x)= ax2(a0),使得OP =入* (-OA + -OQ)(入为常数)，其中点P, Q的坐标分别为(1, f(1), (k, |OA| |OQ|f(k)，则k的取值范围为(A.(2，+ oB.(3，+ooC.(4 ,+o)D.(8，+oo【解析】如图所示，设= OM , OQ = On ,|OA|OQ|OM + ON = OG，则 OP = Q