波利亚的解题理论[教学校园]

1、1教资优选 2教资优选 3教资优选 4教资优选 5教资优选 6教资优选 n 1积累认识的资源积累认识的资源 n认识的资源，主要是指与解题有关的数认识的资源，主要是指与解题有关的数 学基础知识和基本技能把认识的资源学基础知识和基本技能把认识的资源 作为解题的要素，这是一个公认的常作为解题的要素，这是一个公认的常 识事实上，任何解题都是以一定的数识事实上，任何解题都是以一定的数 学知识，包括运算技能、作图和画图技学知识，包括运算技能、作图和画图技 能、算法和程序性知识等，作为必要条能、算法和程序性知识等，作为必要条 件的件的 7教资优选 n关于知识的组织，波伊亚曾提出以下建议：关于知识的组织，波伊

2、亚曾提出以下建议： n (1) 对于任何主题都有一些对于任何主题都有一些“关键知关键知 识识(关键问题，关键定理关键问题，关键定理)，这些，这些“关键知关键知 识识”应存放在你记忆的应存放在你记忆的“最前方最前方” n (2) 应当把已经解过的带有同样类型未知量应当把已经解过的带有同样类型未知量 的那些问题和已经证明过的结论相同的那些定的那些问题和已经证明过的结论相同的那些定 理理“贮存在一起贮存在一起” n (3) 应当把两个具体知识间切实可行的联系找应当把两个具体知识间切实可行的联系找 出来对于彼此相关的问题，它们之间的联系出来对于彼此相关的问题，它们之间的联系 可能是共同的解法模式，可能

3、是共同的未知量，可能是共同的解法模式，可能是共同的未知量， 或有共同的已知数据，或存在着某种类似特点或有共同的已知数据，或存在着某种类似特点 以及诸如此类的其他方面以及诸如此类的其他方面 8教资优选 n波利亚在他的波利亚在他的“怎样解题表怎样解题表”中，为了中，为了 激发学生找出已知条件与未知量之间的激发学生找出已知条件与未知量之间的 关系，列了一类问题：你以前见过它吗？关系，列了一类问题：你以前见过它吗？ 或者你见过同样的题目以一种稍有不同或者你见过同样的题目以一种稍有不同 的形式出现吗？尽量想出一道你所熟悉的形式出现吗？尽量想出一道你所熟悉 的具有相同或相似未知量的题目等等的具有相同或相似

4、未知量的题目等等. 9教资优选 n 用现代认知科学的理论来分析，数学知识用现代认知科学的理论来分析，数学知识 的合理组织，实质上就是按照解题的需要，改造的合理组织，实质上就是按照解题的需要，改造 和组建适合个体特征的数学知识结构也就是说，和组建适合个体特征的数学知识结构也就是说， 实践波伊亚的建议，关键是在平时的学习中，要实践波伊亚的建议，关键是在平时的学习中，要 注意不断改善数学认知结构变量，在同化和顺应注意不断改善数学认知结构变量，在同化和顺应 上多下功夫对于上多下功夫对于“关键知识关键知识”，要弄清它的来，要弄清它的来 龙去脉，熟悉它的思维模式，抓住它的纵横联系，龙去脉，熟悉它的思维模式

5、，抓住它的纵横联系， 在解题实践中有目的地整理自己的知识系统，不在解题实践中有目的地整理自己的知识系统，不 断地添加积累新例子，编织可以随时提取的记忆断地添加积累新例子，编织可以随时提取的记忆 网络网络 10教资优选 n解题，实质上就是确立题中条件与问题解题，实质上就是确立题中条件与问题 或条件与结论逻辑上的必然联系，实现或条件与结论逻辑上的必然联系，实现 由未知向已知的转化由未知向已知的转化因此把一个数学因此把一个数学 题转化为我们曾经解决过的与之相似的题转化为我们曾经解决过的与之相似的 数学题就成为解题的关键。如何转化？数学题就成为解题的关键。如何转化？ 11教资优选 n3. 及时调控的能

6、力及时调控的能力 n所谓调控，是指对所进行的解题活动（包所谓调控，是指对所进行的解题活动（包 括解题模式的识别，解题策略的选择，解括解题模式的识别，解题策略的选择，解 题途径的探索，解题方案的构思，解题前题途径的探索，解题方案的构思，解题前 景的评价等）的自我意识、自我评估和自景的评价等）的自我意识、自我评估和自 我调整我调整. n自我意识是以自身为意识对象的意识自我意识是以自身为意识对象的意识. 只只 有对解题活动的信息输入、加工、储存、有对解题活动的信息输入、加工、储存、 输出有着清醒的自我意识，才能克服思维输出有着清醒的自我意识，才能克服思维 获得的盲目性，增强主动性和自觉性获得的盲目性

7、，增强主动性和自觉性. 12教资优选 n信念是激励主体坚定不移地按照自己的信念是激励主体坚定不移地按照自己的 观点、原则和世界观去行动的的个性倾观点、原则和世界观去行动的的个性倾 向向.具备信念的人，经常表现为坚信某种具备信念的人，经常表现为坚信某种 观点的正确性，并由此支配自己的行动观点的正确性，并由此支配自己的行动. 解题中的信念系统，泛指解题的非智力解题中的信念系统，泛指解题的非智力 因素，即解题者学习积极性方面的因素，因素，即解题者学习积极性方面的因素， 诸如观念、情感等方面的个性品质诸如观念、情感等方面的个性品质. n解题中的观念，主要是指解题者的数学观，即怎样看解题中的观念，主要是

8、指解题者的数学观，即怎样看 待数学，怎样看待解数学题待数学，怎样看待解数学题. n解题中的情感主要是指从事解题活动的愿望和决心解题中的情感主要是指从事解题活动的愿望和决心. 13教资优选 14教资优选 15教资优选 （1）未知数是什么）未知数是什么?已知数据是什么？条件是什已知数据是什么？条件是什 么么?满足条件是否可能满足条件是否可能?要确定未知数要确定未知数,条件是否条件是否 充分充分?或者它是否不充分或者它是否不充分?或者是多余的或者是多余的?或者是或者是 矛盾的矛盾的? （2）画张图）画张图,并引入适当的符号并引入适当的符号. （3）把条件的各部分分开）把条件的各部分分开,并把它们写下

9、来并把它们写下来. 16教资优选 n考虑以前是否见过它考虑以前是否见过它? 是否见过相同的问题而形式稍有不是否见过相同的问题而形式稍有不 同同? 你是否知道一个可能用得上的定理你是否知道一个可能用得上的定理? n考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题考虑具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题. n能否利用它的结果或方法能否利用它的结果或方法?为了利用它为了利用它,是否引入某些辅助是否引入某些辅助 元素元素? n能否用不同的方法重新叙述它能否用不同的方法重新叙述它? n回到定义去回到定义去. n如果你不能解决所提出的问题如果你不能解决所提出的问题,可先解决一个与此有关的可先解决一个与此有关的

10、 问题问题. n是否利用了所有的已知数据是否利用了所有的已知数据?是否利用了所有条件？是否是否利用了所有条件？是否 考虑了包含在问题中的所有必要的概念考虑了包含在问题中的所有必要的概念? 17教资优选 n实现你的求解计划实现你的求解计划,检验每一步骤检验每一步骤. n你能否清楚地看出这一步骤是正确的你能否清楚地看出这一步骤是正确的? 你能否证明这一步骤是正确的你能否证明这一步骤是正确的? 18教资优选 19教资优选 n (1) 未知数是什么未知数是什么? n (2) 已知数据是什么已知数据是什么? n (3) 条件是什么条件是什么? n (4) 满足条件是否可能满足条件是否可能? n (5)

11、要确定未知数，条件是否充分要确定未知数，条件是否充分? n (6) 或者它是否不充分？或者它是多余的？或者它是否不充分？或者它是多余的？ 或者是矛盾的？或者是矛盾的？ n n (8) 把条件的各个部分分开，你能否把它们把条件的各个部分分开，你能否把它们 写下来写下来? 20教资优选 n (1) 你以前见过它吗你以前见过它吗?你是否见过相同的你是否见过相同的 问题而形式稍有不同问题而形式稍有不同? n (2) 你是否知道与此有关的问题你是否知道与此有关的问题?你是否你是否 知道一个可能用得上的定理知道一个可能用得上的定理? n (3) 看着未知数，试想出一个具有相同未看着未知数，试想出一个具有相

12、同未 知数或相似未知数的熟悉问题知数或相似未知数的熟悉问题 21教资优选 22教资优选 n(7) 你能否解决这个问题的一部分你能否解决这个问题的一部分?仅仅保持仅仅保持 条件的一部分而舍去其余部分，这样对于条件的一部分而舍去其余部分，这样对于 未知数能确定到什么程度未知数能确定到什么程度?它会怎样变化它会怎样变化? n(8) 你能不能从已知数据导出某些有用的东你能不能从已知数据导出某些有用的东 西西?你能不能想出适于确定未知数的其他数你能不能想出适于确定未知数的其他数 据据?如果需要的话，你能不能改变未知数或如果需要的话，你能不能改变未知数或 数据，或者二者都改变，以使新未知数和数据，或者二者

13、都改变，以使新未知数和 新数据彼此更接近新数据彼此更接近?你是否利用了所有的已你是否利用了所有的已 知数据知数据? n(9) 你是否利用了整个条件你是否利用了整个条件? n(10) 你是否考虑了包含在问题中的所有必要你是否考虑了包含在问题中的所有必要 的概念的概念? 23教资优选 24教资优选 25教资优选 n 26教资优选 27教资优选 28教资优选 n（2）在数学思想上，本题是数形结合数学）在数学思想上，本题是数形结合数学 思想的一个成功应用思想的一个成功应用. 29教资优选 认识、并对问题进行表征的过程认识、并对问题进行表征的过程 ， 是成功解决问题的一个必要前提是成功解决问题的一个必要

14、前提 是探索解题思路的发现过程，是关是探索解题思路的发现过程，是关 键环节和核心内容。键环节和核心内容。 是思路打通之后具体实施信息资源是思路打通之后具体实施信息资源 的逻辑配置，的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心我们所需要的只是耐心” 是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。是最容易被忽视的阶段，波利亚对其作。 为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法法 . 30教资优选 31教资优选 数学问题解决的框架数学问题解决的框架 问题识别 与定义 问题表征 策略选择 与应用 资源分配 监控与 评估 32教资优选 数学问题解决的过程数学问题解决的过程 数学问题解决的过程必须经过下列四个步骤, 即理解问题,明确任务;拟定求解计划;实现求解 计划;检验和回顾. 问题情境 转换寻求解决途径 求得答案检验与评价 33教资优选 数学问题解决的策略 1.分析给出的数据信息和条件; 2.表征信息-从外部和大脑内部; 3.建立假设和计划过程; 4.应用公式算法定理,监控这类应用; 5.决定和检验假设,反思. 34教资优选 变更题目的常用方法题目 分解与组合穷举法,中途点 n等价的题目 回到定义 等价变换 映射到别的领域 简化 n特殊的题目 约化 极端情形 一般化 n更一般的题目 强化 充分题 必要题 基本题