椭圆的定义及其标准方程教学设计

1、课题： 2.1.1 椭圆的定义及其标准方程鹿城中学 田光海一、教案背景：1. 面向对象：高中二年级学生2. 学科： 数学3. 课时： 2课时4. 教学内容： 高中新课程标准教科书数学北师大版选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程 二 . 教材分析本节课是圆锥曲线的第一课时， 它是继学生学习了直线和圆的方 程，对曲线和方程的概念有了一些了解， 对用坐标法研究几何问题有 了初步认识的基础上， 进一步学习用坐标法研究曲线。 椭圆的学习可 以为后面研究双曲线、 抛物线提供基本模式和理论基础。 因此这节课 有承前启后的作用，是本章的重点内容之一。1. 教法分析结合生活经验观察发

2、现、启发引导、 探究合作。 在学生的生活体 验、直观感知、知识储备的基础上，引导学生逐步建构概念，为学生 数学思想方法的形成打下基础。利用多媒体课件 , 精心构建学生自主 探究的教学平台 , 启发引导学生观察 , 想象, 思考, 实践, 从而发现规 律、突破学生认知上的困难，让学生体验问题解决的思维过程，获得 知识, 体验成功。主要采用探究实践、启发与讲练相结合。2. 学法分析从知识上看， 学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例， 对曲线和方程的概念有了一些了解， 对用坐标法研究几何问题有了初步的认识。从学生现有的学习能力看， 通过一年多的学习， 学生已具备了一定的观察事物的能力， 积累了一些研

3、究问题的经验， 在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。从学生的学习心理上看，学生头脑中虽有一些椭圆的实物实例，但并没有上升为 “概念”的水平，如何给椭圆以数学描述 ? 如何“定性”“定量”地描述椭圆是学生关注的问题，也是学习的重点问题。他们渴望将感性认识理性化， 渴望通过自己动手作图、 观察来辨析和完善概念， 通过对比产生顿悟， 渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。3. 教学目标 知识与技能： 掌握椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程，掌握椭圆标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程。过程与方法： 经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程， 逐步提高学生

4、的观察、分析、归纳、类比、概括能力；通过椭圆标准方程的推导，进一步掌握求曲线方程的一般方法坐标法， 并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法。情感、态度与价值观： 通过课堂活动参与， 激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。4.教学重点与难点重点：椭圆的定义和椭圆标准方程的两种形式难点：椭圆的标准方程的建立和推导教学方法5.教学准备通过百度搜索与椭圆有关的图片资料，利用百度搜索相关的教学 资料制作多媒体课件，自制教具：绘图板、图钉、细绳。三、教学过程教师活动学生活动设计意图情景1:用圆柱状水杯盛半杯水，将水杯放在引入生活水平桌面上，截面为圆形.当端起水杯喝水时,学生观察

5、情境激发水杯倾斜，再观察水平面，此时截面为椭圆学生的学形.（演示）习欲望，自问题1:联想生活中还有哪些是椭圆图形?然引入新12II学生举例课，同时与其实际相学生思维, 发展他们联想、类比情景2:能力。使学生在感叹祖国科技辉煌发展的氛围中认识问题2：( 1)圆是怎么画出来的?(2)圆的定义是什么?(3)圆的标准方程是什么形式的?猜想：1、椭圆是怎么画出来的？ 2、椭圆的定学生思考义是什么？ 3、椭圆的标准方程又是什么形后回答。式?椭圆。用类比的思想，通过已经学过的圆的知识猜想椭圆，开展后续教学。探究1给学生提将圆心从一点“分裂”成两点，给你两个图钉,一根无弹性的细绳，一张纸板，能画出椭圆吗？同桌

6、同学供一个动手操作，合作学习的让学生自己动手画图，使其探究性学习,再提出以下问题:思考1:在纸板上作图说明什么?思考2:在作图过程中，有哪些物体的位置没变？有哪些量没有变?思考3:若调节两图钉的相对位置，所得到的图形有何变化?根据椭圆画法，从中归纳椭圆定义一一与两个定点的距离之和为定长（绳长）的点的轨迹为椭圆（绳长大于两定点间距离）.动态演示动点生成轨迹的全过程，印证猜想按照老师的要求合作画图，并思考轨迹上的点具备什么特点。展示学生生代表本小组交流探究结论:机会；通过实验让学生去探究么样的条件下的点的集合为椭圆”；让每个人都动手画图,自己思考培养学生心。探究2在绳长不变的情况下，改变两个图钉之

7、间的距离，画出的椭圆有何变化？使学生经当两个图钉重合在 起时，画出的图形是历椭圆概什么？利用动念的生成当两个图钉之间的距离等于绳长时，画出画显示结和完善过的图形是什么？果程，提高其互当两个图钉之间固定，能使绳长小于两个归纳概括动图钉之间的距离吗？能力，加深探定义：平面内与两个定点 耳芯距离的和等于常对椭圆本究数（大于尸1玛）的点的轨迹叫椭圆。学生通过质的认识，教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点课件观察并逐渐养的距离叫椭圆的焦距。思考1：焦点为巴的椭圆上任一点M有什变化情况成严谨的科学作风深么性质？化令椭圆上任一点M则有请学生给概出经过修念补充：若X = 2c时，轨迹是线段耳用；若加vN改

8、的椭圆时，无轨迹。定义思考2：刚才在画图时，大家的绳长是一样的，但是画出的椭圆一样吗？椭圆的圆扁程度与什么有关？Fi、F2位置越近椭圆愈圆，Fi、F2位置越远椭M后回答学生思考前面我们已经得到椭圆的定义，那么由椭圆定义，我们能不能推导出椭圆的方程。问题3:求曲线方程的一般步骤是什么?建系、取点；列式；代换；化简；证明F面由同学根据这两个问题分组讨论椭圆方程的求法。（1）要建立椭圆方程应该如何建立坐标系?（2）椭圆上动点M满足什么条件?尤其在化简过程中，对于根式的处理，学生会感到困难，教师进行提示。（把学生推导椭圆方程的具有代表性的方法,在实物展台上投影。）问题：通过对比学生求出椭圆各种形式的方

9、程，你能发现什么规律？哪一种方程最简洁?学生回答学生先独立思考，之后全班交流，确定最充分发挥学生的学习主动性。通过坐标系的不同选择，用不同的方法后的解决得到不同的方程，通分工合作,共同完成,之后再交流。过比较体会曲线的方程的不确定性，理FlM2 方程二 aX0 F22詁1 (a b O ) ()叫做椭圆的标准方程。它表示焦点在x轴上，焦点坐标为Fi( c,0),F2(g0)，其中 c2 a2 b2 .2 2十右1( a b 0)，它也是椭圆的标准方程。此时，椭圆的焦点在y轴上,焦点坐标为Fi(0,c) F2(O, c)，其中c2a2 b2我们可以发现，以上两种方案是最好的。问：观察一下焦点分别

10、在x轴、y轴上的椭圆的标准方程，如何根据方程判断其焦点在 x轴上还是在y轴上？(看分母大小，哪个分母大焦点就在哪一条轴上)说明:学生思考后主动发言回答。解曲线与 方程的关 系，感受恰 当选择坐 标系的优 越性，感受 标准方程 的简洁、对 称、和谐之 美,并在实 践中通过 对比提高 决策能力、 计算能力、 培养学生 简约的思 维能力。以上三条，尽量由学生总结出培养学生的观察、分(1)在两个方程中，总有ab0(2)椭圆的三个参数a、b、c满足：c2 a2 b2即a2 b2 c2， a最大(3)要分清焦点的位置，只要看2 2的大小。例如椭圆- 1(mm nx2和y2的分母当m n时表示焦点在x轴上的

11、椭圆；当m n时表示焦点在y轴上的椭圆。例1.适合下列条件的椭圆的标准方程(1) a =4，b=1，焦点在x轴(2) a =4，c= 尿(3)两个焦点的坐标是(并且经过点(，焦点在y轴上0 ，-2 )和(0 ,2)-1.5，2.5)(1)因为焦点在2 2务七1,(a b a ba=4, b=1x2所求方程为16因为焦点在X2 y2 市一1 (a b aa=4, b=1x轴上,所以设所求方程0)y2 1y轴上,所以设所求方程为b 0)2所求方程为x2L 116(3)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标学生独立完成学生讨论析归纳能力。培养学生运用知识解决问题能力解决情景设置中的问题准方程为2 4

12、1 (a b 0)由椭圆的定义知，（2 2）2）（2 2）2a再3 .Ac2210所以所求椭圆方程为.2 2 2 “b a c 102 2L 1.6 10例2.我国发射的神舟八号飞船变轨前,地心F2为一个焦点的椭圆轨道上运行,的近地点B距地面200公里，远地点4 6.是在以已知它A距地面330公里，并且F2、A B在同一直线上，地球半径约为6371km求轨道方程（精确到Ikm）。x21、如果椭圆100离是6，则点361上一点p至憔点F1距P到另一个焦点F2距离2、求适合下列条件的椭圆的标准方程（1）两个焦点坐标分别是（0, 2），（0, -2），椭圆经过点R !，!） a+b=10,c= 2

13、亦学生练习检测学习成果最后进行课堂小结，先由学生小组讨论，再个学生总结摆脱传统教学中教师小结的别提问，然后集体补充，最后教师才引导和兀出在知识、做法，以表善。师生应共同归纳本节所学内容、知识规律数学思想格形式出以及所学的数学思想和方法。等方面的现，让学生收获自己总结，这一节课你收获到了什么？加深对本布置作业节课内容层次1的认识1.教材练习A 3.4题 练习B 第二题层次12.你能用直尺和圆规作出椭圆上的任意一点的目的是吗？作图的依据是什么？根据你的作图方法，强化巩固能找到与之相应的方法求出椭圆方法吗？本节内容层次2层次2的目的是激课后利用【百度搜索】深入的对椭圆的相关知发学生学识进行了解。习的

14、兴趣，提高数学 文化品位。巩固总结概括课后提升六、板书设计椭圆的标准方程1、椭圆的定义椭圆标准方程的推导过程例1:书写例2:2、椭圆的标准方程(1)详写(1)、焦点在x轴上(2)、焦点在y轴上(2)写关键步骤七、教学反思本节课整个教学过程为：提出问题一一探索一一解决问题一一归 纳反思一一提高。在问题的设计中，从多角度探究，纵向挖掘知识深 度，横向加强知识间的联系，这样的设计不但突出了重点，更使难点 的突破水到渠成。本节课以问题为纽带，以探究活动为载体，学生在自觉进入问题 情境后，在问题的指引下和老师的指导下，通过实践、探索、体验、 反思等活动把探究活动层层展开、 步步深入，亲身经历知识的产生过 程。使学生在知识的形成过