003-004光与影——点直线平面的投影

1、光与影 第二章 点、直线、平面的投影 目录目录 投影的基本知识投影的基本知识 点的投影点的投影 直线的投影直线的投影 平面的投影平面的投影 投影变换投影变换 平面直线的相对位置平面直线的相对位置 第一节第一节 投影的基本知识投影的基本知识 在日常生活中看到这样一些现象：在日常生活中看到这样一些现象： 物体在灯光或日光照射下，会在地面、墙面或其物体在灯光或日光照射下，会在地面、墙面或其 它物体的表面上产生影子，并能在某种程度上显示出它物体的表面上产生影子，并能在某种程度上显示出 物体的形状和大小，并随光线照射方向的不同而变化。物体的形状和大小，并随光线照射方向的不同而变化。 投影的方法就是人们从

2、这些自然现象中抽象出来的。投影的方法就是人们从这些自然现象中抽象出来的。 1、投影的形成、投影的形成 H 光线光线 影子影子 光线光线 投影投影 H 投影面投影面 投射线投射线 规定规定：影子落在一个平面影子落在一个平面 上，且光线可穿透物体，上，且光线可穿透物体， 使得所产生的影子不象真使得所产生的影子不象真 是影子那样黑色一片，而是影子那样黑色一片，而 能在影子范围内有线条来能在影子范围内有线条来 显示物体的完整形象。显示物体的完整形象。 应用通过物体的一组选定的直线，在一个选定应用通过物体的一组选定的直线，在一个选定 的面上形成的图形，称为该物体在该面上的的面上形成的图形，称为该物体在该

3、面上的投影投影。 2、投影的分类投影的分类 按照投射线之间的关系和对投影面的方按照投射线之间的关系和对投影面的方 向不同向不同 投投 影影 中心投影中心投影 平行投影平行投影 正投影正投影 斜投影斜投影 中心投影法中心投影法 投射中心、物体、投影面三者之间投射中心、物体、投影面三者之间 的相对距离对投影的大小有影响。的相对距离对投影的大小有影响。 度量性较差度量性较差 投射线投射线 投影中心投影中心 物体物体 投影面投影面 投影投影 物体位置改物体位置改 变，投影大变，投影大 小也改变小也改变 这种投射线这种投射线 集中于一点时集中于一点时 的投影称为中的投影称为中 心投影心投影。 2、投影的

4、分类投影的分类 按照投射线之间的关系和对投影面的方按照投射线之间的关系和对投影面的方 向不同向不同 平行投影平行投影 正投影正投影 斜投影斜投影 投射线垂直于投射线垂直于 投影面时的投影投影面时的投影 称为正投影。称为正投影。 投射线倾斜于投射线倾斜于 投影面时的平行投影面时的平行 投影称为斜投影。投影称为斜投影。 2、投影的分类投影的分类平行投影平行投影 投射线垂直于投射线垂直于 投影面时的投影投影面时的投影 称为正投影。称为正投影。 S 1.1.正投影正投影 S H A B C a b c 2、投影的分类投影的分类平行投影平行投影 投射线倾斜于投射线倾斜于 投影面时的平行投影面时的平行 投

5、影称为斜投影。投影称为斜投影。 H 2.2.斜投影斜投影 90 S S A B C a b c 平行投影法平行投影法 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好度量性较好 工程图样多数采用正投影法绘制。工程图样多数采用正投影法绘制。 投射线互相平行投射线互相平行 且垂直于投影面且垂直于投影面 斜角投影法斜角投影法 投射线互相平行投射线互相平行 且倾斜于投影面且倾斜于投影面 直角（正）投影法直角（正）投影法 即即:正投影法正投影法 3、 平行投影的特性平行投影的特性 1.真实性真实性 当线段或平面平行于投影面时，其平行投影反当线段或平面平行于投影面时

6、，其平行投影反 映实长或实形。这种投影性质称为真实性。映实长或实形。这种投影性质称为真实性。 A a b B B A C a c b H H 3、平行投影的特性平行投影的特性 2.积聚性积聚性 当直线或平面平行于投射线时，（在正投影时，则垂当直线或平面平行于投射线时，（在正投影时，则垂 直于投影面），则直线的平行投影积聚为一点；平面的平直于投影面），则直线的平行投影积聚为一点；平面的平 行投影积聚为一条直线。这种性质称为积聚性。行投影积聚为一条直线。这种性质称为积聚性。 A a(b) B H B A C H c a b H 3、 平行投影的特性平行投影的特性 3.类似性类似性 当直线或平面倾斜

7、于投影面时，则直线的正投影为小当直线或平面倾斜于投影面时，则直线的正投影为小 于实长的直线，平面的正投影为小于实形的平面图形，如于实长的直线，平面的正投影为小于实形的平面图形，如 三角形仍投射成三角形。这种性质称为类似性。三角形仍投射成三角形。这种性质称为类似性。 b c a d H A B B C D A a b 3、 平行投影的特性平行投影的特性 4从属性从属性 点在直线上，点的投影一定在该直线的同面投影上。点在直线上，点的投影一定在该直线的同面投影上。 这种性质称为从属性。这种性质称为从属性。 5 5定比性定比性 直线上两线段上的长度之比，等于它们的平行投影的直线上两线段上的长度之比，等

8、于它们的平行投影的 长度之比，这种性质称为定比性。长度之比，这种性质称为定比性。 若若: K在在AB上上 则则: k在在 ab上上 AK:KB=ak:kb a b K A B H k 3、平行投影的特性平行投影的特性 6平行性平行性 相互平行的直线在同一投影面上的平行投影仍然相互相互平行的直线在同一投影面上的平行投影仍然相互 平行，且空间线段的长度之比等于它们的同面投影的长度平行，且空间线段的长度之比等于它们的同面投影的长度 之比，这种性质称为平行性。之比，这种性质称为平行性。 若若 ABCD 则则 abcd a c b d a c b f e d H H A C D B A B C D F

9、E 第二节第二节 点的投影点的投影 空间点空间点A A的单面投影的单面投影 H A a 由单面投影定空间点的位置由单面投影定空间点的位置 H a C B A 只根据点在一个投影面上的投影，不能确定该点只根据点在一个投影面上的投影，不能确定该点 在空间的位置。在空间的位置。 分角的概念分角的概念 中途返回请按“ESC” 键 我国采我国采 用第一用第一 分角分角 H H W W V V 一、三投影面体系一、三投影面体系 正立投影面（简称正正立投影面（简称正 面用面用V V表示）表示） 水平投影面（简称水水平投影面（简称水 平面用平面用H H表示）表示） 侧立投影面（简称侧侧立投影面（简称侧 面用面

10、用W W表示）表示） O O X X Z Z OXOX轴轴 V V面与面与H H面的交线面的交线 OZOZ轴轴 V V面与面与W W面的交线面的交线 OYOY轴轴 H H面与面与W W面的交线面的交线 三个投影面三个投影面 互相垂直互相垂直 Y Y 原点原点O O X X Y Y Z Z O O V V H H W W 向后向后旋转旋转 90 向下旋转向下旋转90 不动不动 注意：注意： OY轴一分为轴一分为 二：二： YH、Yw 三、投影面展开三、投影面展开 W W H H V V O O X X Z Z Y Y 二、空间点在三个投影面上的投影二、空间点在三个投影面上的投影 a 正面投影正面

11、投影 a 水平投影水平投影 a 侧面投影侧面投影 a a a A A 规定规定: 空间点空间点-用大写字母表用大写字母表 示。示。 投影点投影点-用相应小写字用相应小写字 母表示。母表示。 X X Y Y Z Z O O V V H H W W A A a a a 向后向后旋转旋转 90 向下旋转向下旋转90 不动不动 注意：注意： OY轴一分为轴一分为 二：二： YH、Yw 三、投影面展开三、投影面展开 45 点在三投影面体系中的投影点在三投影面体系中的投影 H V OX a a Z aX az a” W YH YW 带边框的三面投影图带边框的三面投影图 O X a a Z aX az a”

12、 YH YW aYH aYW 去边框的三面投影图去边框的三面投影图 点的三面投影规律点的三面投影规律 （1 1）点的水平投影和正面投影的连线垂直于）点的水平投影和正面投影的连线垂直于OXOX轴轴 （aaOX) ) （2 2）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于）点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZOZ轴轴 （aa”OZ) ) H V O X A a a W Y Z a” ax ay az 45 O X a a Z aX az a” YH YW aYH aYW 点的三面投影规律点的三面投影规律 (3)(3)各投影到投影轴的距离，等于该点到通过该轴的各投影到投影轴的距离，等于该点到通过该轴的 相邻

13、投影面的距离。相邻投影面的距离。( (也等于空间点到投影面的距离也等于空间点到投影面的距离) ) a ax = a az =A 到到V 面面的距离的距离 a ax= a aYW =A 到到H 面面的距离的距离 a az = aaYH =A 到到W 面面的距离的距离 H V O X A a a W Y Z a” ax ay az O X a a Z ax az a” YW aYH aYW YH 点的三面投影规律点的三面投影规律 【例2-1】已知点已知点A的的水平投影水平投影a和和正面投影正面投影a , ,求侧面投影求侧面投影a”。 中途返回请按“ESC” 键 aa” a OX Z YW YH 特

14、殊位置的点特殊位置的点 下一页下一页 特殊位置的点特殊位置的点 1 1投影面上的点投影面上的点： 一投影与该点本身重合，另外两投影在投影轴上。一投影与该点本身重合，另外两投影在投影轴上。 2 2投影轴上的点投影轴上的点： 两投影重合于该点本身，另外一投影与原点两投影重合于该点本身，另外一投影与原点O O重合。重合。 3 3一点与原点重合一点与原点重合：三个投影亦均与原点重合。：三个投影亦均与原点重合。 H V O X C B b W Y Z Dddd” b” b c c” OX Z YH YW bb” cc” c c ddd” 点的投影与坐标的关系点的投影与坐标的关系 H V A a a W

15、Y Z a” aX ay az O X A点到点到W W面的距离面的距离( (Aa”)=A点的点的x坐标（坐标（Oax x) ) A点到点到V V面的距离面的距离( (Aa)=A点的点的y坐标（坐标（Oay y) ) A点到点到H面的距离面的距离( (Aa)=)=A点的点的z坐标（坐标（Oaz z) ) O X a a Z az aX a” YH YW aYH aYW X Z Y y yx x z z 后后前前 后后 前前 左左右右 a a a A b b b B X Y Z Z YH X YW b b aa” b” a 两点的相对位置两点的相对位置 是指平行于投影轴是指平行于投影轴X、Y、Z

16、 的左右、前后和上下的相对关系。的左右、前后和上下的相对关系。 X值大的点值大的点在左在左 Y值大的点值大的点在前在前 Z值大的点值大的点在上在上 B点在点在A点的左边点的左边 A点在点在B点的前边点的前边 A点在点在B点的上边点的上边 左左右右 上上 下下 上上 下下 第三节第三节 两点的相对位置和重影点两点的相对位置和重影点 两点的相对距离，并非指两点的相对距离，并非指 两点间的真实距离，而是指平两点间的真实距离，而是指平 行行 X、Y、Z轴的距离，即到轴的距离，即到W、 V和和H面的距离差面的距离差, ,即：即： 一、两点的相对距离一、两点的相对距离 坐标差：坐标差： X（长度差）（长度

17、差） Y（宽度差）（宽度差） Z（高度差）（高度差） 二、重影点及可见性重影点及可见性 两点位于某一投影面的两点位于某一投影面的同同 一条投射线上一条投射线上，则它们在这，则它们在这 一个投影面上的投影互相重一个投影面上的投影互相重 叠，该两点叠，该两点称为对该投影面称为对该投影面 的一对重影点的一对重影点。 一个投影面上重影点的可见性，必须依靠该两点一个投影面上重影点的可见性，必须依靠该两点 在另外的投影面上的投影来判定。在另外的投影面上的投影来判定。 规定规定：重合投影标记为：可见点写在前面，把不：重合投影标记为：可见点写在前面，把不 可见点的字母写于后面；或者将不可见点加以圆括号。可见点

18、的字母写于后面；或者将不可见点加以圆括号。 H B a(b) A O Z X YH YW V W H Z X Y O O Z X YH YW A B D C F E b a a(b) b a c(d) d c d c e f f e e(f ) ef e f e(f ) c d cd c(d) a(b) b a a b V Z X W H Y V W H Z X Y O O O Z X YH YW 二、重影点及可见性重影点及可见性 H面的重影面的重影 点点A、B V面的重面的重 影点影点C、D W面的重面的重 影点影点E、F三种情况三种情况 第四节第四节 直直 线线 的的 投投 影影 直线的投

19、影直线的投影 直线的实长直线的实长 直线上的点直线上的点 两直线的相对位置两直线的相对位置 直线的投影特性直线的投影特性 空间直线是无限长的，但在投影图中我们常以空间直线是无限长的，但在投影图中我们常以 有限长的线段来代表直线。直线的空间位置可由直有限长的线段来代表直线。直线的空间位置可由直 线上任意两点的位置确定（或直线上一点及指向）。线上任意两点的位置确定（或直线上一点及指向）。 直线的投影一般仍为直线。直线的投影一般仍为直线。 HH 直线的投影特性直线的投影特性 H a(b) BA a b ba A B A B 当直线垂直投影面时，其投影当直线垂直投影面时，其投影积聚为一点积聚为一点，如

20、图（，如图（a）所）所 示；当直线平行投影面时，其投影与直线本身示；当直线平行投影面时，其投影与直线本身平行且相等平行且相等，如，如 图（图（b）所示；当直线倾斜于投影面时，其投影的长度比直线）所示；当直线倾斜于投影面时，其投影的长度比直线 本身的本身的长度缩短长度缩短，如图（，如图（c）所示。）所示。 (a)(b)(c) OX B A a b a b OX a a b b 直线的投影图直线的投影图 V H 作直线的投影，只需作出直线上两端点的投影，并连接该作直线的投影，只需作出直线上两端点的投影，并连接该 两点在同一投影面上的投影（简称同面投影）即可。两点在同一投影面上的投影（简称同面投影）

21、即可。 在投影图中，直线的投影用在投影图中，直线的投影用粗实线粗实线表示。直线的名称可由表示。直线的名称可由 其端点表示（如直线其端点表示（如直线AB，三个投影表示为，三个投影表示为ab、ab、ab）；）； 也可以用一个字母表示（直线也可以用一个字母表示（直线L，它的投影表示为它的投影表示为l、l、l)。 直线对投影面的相对位置直线对投影面的相对位置 在三投影面体系中，根据直线与投影面的相对位在三投影面体系中，根据直线与投影面的相对位 置不同，直线可分为置不同，直线可分为投影面垂直线投影面垂直线、投影面平行线投影面平行线和和 一般位置直线一般位置直线。前二者统称为。前二者统称为特殊位置直线特殊

22、位置直线。 投影面垂直线投影面垂直线 垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的垂直于某一个投影面，而平行于另两个投影面的 直线称为直线称为投影面垂直线投影面垂直线。投影面垂直线有三种情况：。投影面垂直线有三种情况： 垂直于垂直于H面的直线称为面的直线称为铅垂线铅垂线； 垂直于垂直于V面的直线称为面的直线称为正垂线正垂线； 垂直于垂直于W面的直线称为面的直线称为侧垂线侧垂线。 铅垂线铅垂线 ABH 单击橙 色按钮 铅垂线铅垂线 ABH H H面垂直线具有下列投影特性：面垂直线具有下列投影特性： (1)(1)在在H H面上的投影积聚成一点面上的投影积聚成一点; ; (2)(2)在另外两个投影面上

23、在另外两个投影面上V V、W W的投影，反映了实长，并共同平的投影，反映了实长，并共同平 行于同一条投影轴行于同一条投影轴Z Z。 Z XO YH YW b a b a a(b) b a(b) a a b A B V W Y X Z O H O Z X YH YW V W H Z X Y O O Z X YH YW 三种投影面垂直线的立体图、投影图三种投影面垂直线的立体图、投影图 A B A B B A b a a(b) b a (a)b a b a b a b ba a(b ) ab a b a(b ) b a ba (a)b a(b) b a a b V Z X W H Y V W H Z

24、 X Y O O O Z X YH YW 铅垂线铅垂线正垂线正垂线侧垂线侧垂线 投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性 投影特性：直线在其垂直的投影面上的投影投影特性：直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点积聚为一点； 在另两投影面上的投影在另两投影面上的投影共同平行于这两个投影面交成的投影轴共同平行于这两个投影面交成的投影轴 （或分别垂直于相应的投影轴），且（或分别垂直于相应的投影轴），且反映直线实长反映直线实长。 读图时，读图时，只要一投影积聚为一点，只要一投影积聚为一点，即可断定该直线是投影即可断定该直线是投影 面垂直线（垂直于积聚投影所在投影面）。面垂直线（垂直于积聚投影所在投影

25、面）。 O Z X YH YW O Z X YH YW ab a b a(b ) b a ba (a)b a(b) b a a b O Z X YH YW 投影面平行线投影面平行线 平行于某一个投影面，倾斜于另两个投影面的直平行于某一个投影面，倾斜于另两个投影面的直 线称为线称为投影面平行线投影面平行线。投影面平行线有三种情况：。投影面平行线有三种情况： 平行于平行于H面的直线称为面的直线称为水平线水平线； 平行于平行于V面的直线称为面的直线称为正平线正平线； 平行于平行于W面的直线称为面的直线称为侧平线侧平线。 水平线水平线 ABH X z a b a b O YH YW b a Z a a

26、 b a b b A B V W Y X O (1)(1)在在H面上的投影，平行于直线本身，且为等长；该投影面上的投影，平行于直线本身，且为等长；该投影 与水平方向和竖直方向间夹角，分别反映了直线对其他两个投与水平方向和竖直方向间夹角，分别反映了直线对其他两个投 影面倾角的大小。影面倾角的大小。 H (2)(2)直线在它不平行的两个投影面上直线在它不平行的两个投影面上V、W的两个投影，共同的两个投影，共同 垂直于这两个投影面交成的投影轴垂直于这两个投影面交成的投影轴Z。 V W H Z X Y O Z X YH YW Z X YH YW O Z X YH YW 三种投影面平行线三种投影面平行线

27、 B A ab a b a b A B b O a b a a b a b a b b a B A abab a b b O a b a a b O a b a bb a V W H Z X Y O V W H Z X Y O 水平线水平线正平线正平线侧平线侧平线 三种投影面平行线三种投影面平行线 投影特性：投影特性：直线在其平行的投影面上的投影，直线在其平行的投影面上的投影，平行于直线平行于直线 本身，且反映实长本身，且反映实长；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分；该投影与水平方向和竖直方向间夹角，分 别别反映了直线与另两投影面的倾角反映了直线与另两投影面的倾角；在另两投影面上的投影在另两

28、投影面上的投影共共 同垂直于这两个投影面交成的投影轴（或分别平行于相应的投同垂直于这两个投影面交成的投影轴（或分别平行于相应的投 影轴），且不反映线段的实长影轴），且不反映线段的实长。 读图时，读图时，一个投影平行于投影轴，而另一投影倾斜于投影一个投影平行于投影轴，而另一投影倾斜于投影 轴，轴，即可断定该直线是投影面平行线。即可断定该直线是投影面平行线。 Z X YH YW Z X YH YW O Z X YH YW abab a b b O c b c c b O a b a bb a 一般位置直线一般位置直线 1.一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 三个投影面上的投影三个投影面上

29、的投影均倾斜于投影轴均倾斜于投影轴，且小于空间线段的实，且小于空间线段的实 长；三个投影与相应轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。长；三个投影与相应轴的夹角均不反映直线对投影面的倾角。 a a a a b a b b A Z V W Y X O H B X O YH YW Z a b a b a b 一般位置直线一般位置直线 1.一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性 读图时，读图时，只要直线的任两投影呈倾斜状态只要直线的任两投影呈倾斜状态，即可断定该直，即可断定该直 线是一般位置直线。线是一般位置直线。 a a a a b a b b A Z V W Y X O H B X O YH

30、YW Z a b a b a b 【例】【例】 试判断三棱锥各棱线相对于投影面的位置试判断三棱锥各棱线相对于投影面的位置 X O a a b YH SA、SC: YW Z b c s c a (c ) s b 一般位置直线一般位置直线 SB : 侧平线侧平线 AB、BC:水平线 水平线 AC : 侧垂线侧垂线 s 直线上的点直线上的点 直线上一点的投影，必在该直线的同面投影上，且符合点直线上一点的投影，必在该直线的同面投影上，且符合点 的投影规律的投影规律。 (点点E在直线在直线AB上，点上，点 K不在直线不在直线AB上上 ) a a b A V X O H B XO a b a b b K

31、E e k e k e k k e b 直线上的点的投影直线上的点的投影 判断点是否在直线上判断点是否在直线上 一般情况下一般情况下，根据点，根据点 的两个投影是否在直线的同的两个投影是否在直线的同 面投影上就可以确定。面投影上就可以确定。 当当直线是某一投影面直线是某一投影面 的平行线的平行线时，还应观察直线时，还应观察直线 所平行的那个投影面上的投所平行的那个投影面上的投 影，才能判别一点是否在直影，才能判别一点是否在直 线上。线上。 X O a a b YH YW Z a b c c c 故故C点不在点不在AB上。上。 直线上的线段之比直线上的线段之比 点点E在直线在直线AB上上 AE:

32、EBae:eb ae: eb ae: eb。 a a b A V X O H B b E e e 由平行投影的特性可知：若点在线上，由平行投影的特性可知：若点在线上，点分空间线段长度之点分空间线段长度之 比等于其同面投影长度之比比等于其同面投影长度之比。 【例【例 】 试把已知线段试把已知线段AB分成分成AC:CB2:3。 XO 分析：分析：由定比性知：由定比性知：ac:cbac: cbAC:CB2:3，为此，用几何作图的，为此，用几何作图的 方法分线段方法分线段AB的一个投影（如的一个投影（如ab）为）为ac:cb2:3，可得，可得C点的水平投影点的水平投影c；然后；然后 按直线上点的投影特

33、性在按直线上点的投影特性在ab上定出上定出c，C（c、c）即为所求。即为所求。 a b 作图：作图：（1）过投影）过投影a作任意辅助线作任意辅助线aB0， 在此线上度量五等分，使在此线上度量五等分，使 aC0:C0B0=2:3，确定，确定C0； （2）连）连b和和B0，再过，再过C0作辅助线平行作辅助线平行 于于B0b交交ab于点于点c，在水平投影在水平投影ab上得上得 分点分点C的水平投影的水平投影c ； （3）再由）再由c向上作铅垂连系线，在正向上作铅垂连系线，在正 面投影面投影ab上得分点上得分点C的正面投影的正面投影c。 b B0 C0 a c c d 定比法定比法:把正面投影把正面投

34、影e 所分所分 cd的比的比m:n移到移到cd上面作出上面作出 e 。 X O c d c 分析：分析：分析：由投影可知分析：由投影可知CD为侧平线，由为侧平线，由e 不能直接对应不能直接对应 作出投影作出投影e，因此可用定比法或第三投影作图。，因此可用定比法或第三投影作图。 nm n m 作出第三面投影：作出第三面投影： 先作出先作出 CD的侧面投影的侧面投影cd，再在，再在 cd上作出上作出e，最后在，最后在cd上上 找到找到e。 Z c d YH YW e e e 【例【例 】已知侧平线】已知侧平线CD上一点上一点E的正面投影的正面投影e，要求作出点，要求作出点E的水的水 平投影平投影e

35、。 直线的迹点直线的迹点 直线与投影面的交点，称为该直线的直线与投影面的交点，称为该直线的迹点迹点。 水平迹点水平迹点或或H面迹点面迹点：直线与直线与H投影面的交点；投影面的交点； 正面迹点正面迹点或或V面迹点：面迹点：直线与直线与V投影面的交点；投影面的交点； 侧面迹点侧面迹点或或W面迹点：面迹点：直线与直线与W投影面的交点。投影面的交点。 迹点是投影面上的点，故迹点在它所在的投影迹点是投影面上的点，故迹点在它所在的投影 面上的投影，与本身重合，在另外投影面上的投影在面上的投影，与本身重合，在另外投影面上的投影在 投影轴上。投影轴上。 b a A V X O H B b n N n m 延长

36、延长AB直线，与直线，与H面面 交于交于M点（点（水平迹点水平迹点），）， 其其H面投影面投影m在在ab上又与上又与 M重合，而重合，而V面投影面投影 m必必 在在OX轴上又在轴上又在ab 上；上； 延长延长AB直线，与直线，与V面面 交于交于N点（点（正面迹点正面迹点），）， 其其V面投影面投影n在在ab上又与上又与 N重合，而重合，而H面投影面投影n在在 OX轴上又在轴上又在ab上。上。 mM a 直线的迹点直线的迹点 直线上的线段之比直线上的线段之比 求作迹点投影的过程：求作迹点投影的过程： 水平迹点：水平迹点：延长延长AB的正面投的正面投 影影ab 与与OX轴相交于轴相交于m, ,再由

37、再由 m引引OX轴的垂线与直线的水轴的垂线与直线的水 平投影平投影ab的延长线相交得的延长线相交得m。 正面迹点：正面迹点：延长延长AB的水平投的水平投 影影ab与与OX轴相交于轴相交于n,再由再由n引引 OX轴的垂线与直线的正面投轴的垂线与直线的正面投 影影ab的延长线相交得的延长线相交得n。 XO a a b b m m n n 两直线的相对位置两直线的相对位置 两直线在空间的相对位置有三种：即两直线在空间的相对位置有三种：即平行平行、相交相交、 交叉交叉。特殊情况下为互相。特殊情况下为互相垂直垂直。两平行、相交直线均。两平行、相交直线均 为为共面直线共面直线，交叉两直线为，交叉两直线为异

38、面直线异面直线。 c d 平行两直线平行两直线 若空间两直线互相平行，则其同面投影也平行；反之，若若空间两直线互相平行，则其同面投影也平行；反之，若 两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定平行。两直线的同面投影互相平行，则此空间两直线一定平行。 V W H c d a b c d B A C D a b a b X Z a b a b O YH YW b a c d c d c d 平行两直线平行两直线 根据投影根据投影判断两直线是否平行判断两直线是否平行: 对于对于一般位置的两直线一般位置的两直线，仅根据直线的任意两个同面投影，仅根据直线的任意两个同面投影 是否平行即可判别它们在空间是

39、否平行；是否平行即可判别它们在空间是否平行； X Z a b a b O YH YW b a c d c d c d X O a 对于对于平行于同一投影面的两直线平行于同一投影面的两直线，则需要有一组是被平行的，则需要有一组是被平行的 投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和长度之比是否一致投影面上的投影；或者由各同面投影的指向和长度之比是否一致 来确定。来确定。 Z YH YW 平行两直线平行两直线 b a b c d c d a b d c X O a Z YH YW b a b c d d c a b d c 平行平行 不平行不平行 相交两直线相交两直线 若空间两直线相交，则其同面投影也

40、相交，且各投影的交若空间两直线相交，则其同面投影也相交，且各投影的交 点符合点的投影规律。点符合点的投影规律。 V W H B A C D a b X Z Y O cd c d a b k k K c d b a k X Z a b a b O YH YW b a c d c d c d k k k 反之，若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的反之，若两直线的同面投影相交，且各同面投影的交点的 连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间一定相交。连线符合空间一点的投影特性，则两直线在空间一定相交。 两条一般位置直线，只要任意两组同面投影符合上述条件，两条一般位置直线，只要任意两组同面投影

41、符合上述条件， 即可肯定两直线相交。即可肯定两直线相交。 f e f e e f g h g h g h 不相交不相交 相交两直线相交两直线 如两直线中，只要有一条为如两直线中，只要有一条为某投影面的平行线某投影面的平行线，如要判别，如要判别 它们是否相交，应画出在该投影面上的同面投影才能肯定，或它们是否相交，应画出在该投影面上的同面投影才能肯定，或 者利用分比法来判定。者利用分比法来判定。 a b c b a d c d c d 不相交不相交 相交两直线相交两直线 e a 【例】【例】 判别四边形判别四边形ABCD是否为平面四边形。是否为平面四边形。 O 分析：分析：若四边形若四边形ABCD

42、为平面四边形，则四边形的两对角线一为平面四边形，则四边形的两对角线一 定相交，否则为空间四边形。定相交，否则为空间四边形。 a 作图：作图：（1）连接）连接ac和和ac； （2）连接）连接bd和和bd； （3）检查）检查ac和和bd的交点的交点与与 ac和和bd的交点的交点连线是否垂直连线是否垂直 于于OX轴。因交点连线轴。因交点连线不垂不垂 直于直于OX轴，所以可判别四边形轴，所以可判别四边形 ABCD不是平面四边形。不是平面四边形。 a X b c d b c d 否否 空间既不平行又不相交的两直线，称为空间既不平行又不相交的两直线，称为交叉两直线交叉两直线。交叉两。交叉两 直线的各面投影

43、不具备两平行或相交直线的投影特性。直线的各面投影不具备两平行或相交直线的投影特性。 交叉两直线交叉两直线 X O a Z YH YW b a b c d d c a b d c 交叉交叉 f e f e e f g h g h g h 交叉交叉 V X O H 交叉两直线交叉两直线 空间交叉两直线在任何投影面上的投影的交点是空间两个点空间交叉两直线在任何投影面上的投影的交点是空间两个点 的重合投影，这两个点分属于两条直线上，因为它们位于同一投的重合投影，这两个点分属于两条直线上，因为它们位于同一投 射线上，是射线上，是重影点重影点。投影时，需判断重影点的。投影时，需判断重影点的可见性可见性。

44、A B CD b a d c a b c d M N m(n) n m k (l ) L K k l a a X b c d b c O d m(n) m n l k k (l ) V H 垂直两直线垂直两直线 相交两直线的夹角的投影一般不反映角的实际大小，只有当相交两直线的夹角的投影一般不反映角的实际大小，只有当 构成夹角的构成夹角的两直线平行于同一投影面时两直线平行于同一投影面时，在该投影面上的投影反，在该投影面上的投影反 映两直线间的映两直线间的真实夹角真实夹角， b a c B A C a b c a b c b a c V H 垂直两直线垂直两直线 空间垂直空间垂直的两直线，若其中有

45、的两直线，若其中有一条直线平行于某一投影面一条直线平行于某一投影面， 另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线在该投影面上的在该投影面上的 投影反映直角投影反映直角，此定理称为，此定理称为直角投影定理直角投影定理。 b a c B A C a b c ABBC、 ABBb abAB ABBbcC平面平面 abBbcC平面平面 abbc。 证明：证明： V H 垂直两直线垂直两直线 空间垂直空间垂直的两直线，若其中有的两直线，若其中有一条直线平行于某一投影面一条直线平行于某一投影面， 另一条不平行也不垂直于该投影面时，则两直线另一条不平行也不垂直于该投

46、影面时，则两直线在该投影面上的在该投影面上的 投影反映直角投影反映直角，此定理称为直角投影定理。，此定理称为直角投影定理。 b a c B A a b a b c b a c 垂直两直线垂直两直线 逆定理：即若两直线的逆定理：即若两直线的同面投影垂直同面投影垂直，且其中一条直线平行且其中一条直线平行 该投影面该投影面，则可判定该两直线在，则可判定该两直线在空间相互垂直空间相互垂直。 V H b a c B A C a b c a b c b a c 垂直两直线垂直两直线 直角投影定理不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于直角投影定理不仅适用于相交垂直的两直线，也适用于交叉交叉 垂直的两直线。垂直

47、的两直线。 【例】求点【例】求点C到正平线到正平线AB的距离的距离CD。 分析分析：点到直线的距离，是由该点到该直线所引垂线之长。直线：点到直线的距离，是由该点到该直线所引垂线之长。直线AB为正为正 平线，所以点平线，所以点C到到AB的距离的距离CD和和AB的正面投影的正面投影ab与与cd一定相互垂直（一定相互垂直（直角直角 投影定理投影定理）。因此，先求出垂线的正面投影，然后求出水平投影，最后用直）。因此，先求出垂线的正面投影，然后求出水平投影，最后用直 角三角形法求出垂线实长。角三角形法求出垂线实长。 a c b a c b d d CD 作图：作图： （1 1）作）作cdab交于交于ab

48、一一 点点d。 （2 2）由）由d 作竖直连系线交作竖直连系线交 ab于一点于一点d，并连结，并连结cd。 （3 3）利用直角三角形法求）利用直角三角形法求 出出CD的实长的实长。 【例】已知正方形【例】已知正方形ABCD对角线的投影，对角线的投影，B在在A的下的下 方试完成正方形的两面投影。方试完成正方形的两面投影。 分析分析：正方形对角线一定相交垂直且等长，由正方形对角线一定相交垂直且等长，由acox轴，对角线轴，对角线AC为水为水 平线，因此两对角线的水平投影平线，因此两对角线的水平投影acbd。又因。又因BDACac，且对角线半长，且对角线半长KC kc，由对角线的半长的水平投影，由对

49、角线的半长的水平投影kb可求出其可求出其kb的长度和的长度和K、B的的Z坐标差。坐标差。 a e b a c b d 作图：作图： （1 1）求中点的投影）求中点的投影k、k，并过，并过 k作对角线作对角线AC的水平投影的水平投影ac。 （2 2）直角三角形法求（）直角三角形法求（kbe）， 求出求出K、B的的Z坐标差，并求出坐标差，并求出b。 （3 3）过）过k作对角线作对角线BD的正面投的正面投 影影bd，连接对角线的端点，即完，连接对角线的端点，即完 成正方形成正方形ABCD的两面投影。的两面投影。 o x d k k c 第五节第五节 平平 面面 平面的投影平面的投影 平面对投影面的相

50、对位置平面对投影面的相对位置 平面上的点和线平面上的点和线 平面上的特殊线平面上的特殊线 平面几何元素表示法平面几何元素表示法 c b a c b a c c a b b a a b c c a b c c a a b c c a b a b d d 不在一直线上三点不在一直线上三点一直线和线外一点一直线和线外一点相交两直线相交两直线平行两直线平行两直线任意平面图形任意平面图形 平面的投影性质平面的投影性质 1 1、平面图形的投影，由平面图形的轮廓线的投影表示。、平面图形的投影，由平面图形的轮廓线的投影表示。 a b c c a b b a A B C X X Y Z Z YH YW a b

51、a b a b c c c O 平面的投影性质平面的投影性质 (a) b c a d 2 2、平面图形倾斜于某投影面时，在该面上的投影是一个、平面图形倾斜于某投影面时，在该面上的投影是一个 类似图形，但形状、大小均可变化类似图形，但形状、大小均可变化( (图图a)a)。 平面的投影性质平面的投影性质 (a) b c a d d(a) c(b) (b) E F M emf 积聚 投影 3 3、平面垂直于某投影面时，在该面上的投影积聚成一、平面垂直于某投影面时，在该面上的投影积聚成一 直线直线( (图图b)b)。 平面的投影性质平面的投影性质 (a) b c a d d(a) c(b) (b) E

52、 F M emf 4 4、平面平行于某投影面时，在该面上的投影反映平面、平面平行于某投影面时，在该面上的投影反映平面 图形的真实性状、大小和方向等图形的真实性状、大小和方向等( (图图c)c)。 (c) ba dc 迹线表示法迹线表示法 迹线是平面与投影面的交线。迹线是平面与投影面的交线。 V H W P PH PV PW 侧面迹线 水平迹 线 正面迹线 P（迹线平面） 迹线平面表示法迹线平面表示法 作出迹线平面的三面投影，由此三面投影即作出迹线平面的三面投影，由此三面投影即 可确定平面。可确定平面。 迹线表示法迹线表示法 迹线平面表示法如图所示：迹线平面表示法如图所示： PV PH PW 注

53、意注意：迹线的符号用平面名称：迹线的符号用平面名称 的大写字母附加投影面名称的的大写字母附加投影面名称的 下标来表示，下标来表示，PH、PV、PW。 在投影图上，通常只将迹在投影图上，通常只将迹 线与重合的那个投影画出，并线与重合的那个投影画出，并 用大写带脚标的符号标记，凡用大写带脚标的符号标记，凡 和投影轴重合的投影不需画出，和投影轴重合的投影不需画出， 也省略标记。也省略标记。 表示特殊位置平面时，主要用此法表示。表示特殊位置平面时，主要用此法表示。 平面的分类平面的分类 根据平面相对于投影面的倾斜角度的不同，根据平面相对于投影面的倾斜角度的不同， 可分为三类：可分为三类： 一般位置平面

54、一般位置平面： 投影面平行面投影面平行面： 投影面垂直面投影面垂直面： 与各投影面呈一般角度的倾斜。与各投影面呈一般角度的倾斜。 垂直于某投影面。垂直于某投影面。 平行于某投影面。平行于某投影面。 三类平面具有不同的投影特性。 一般位置平面一般位置平面 结论结论： 一般面的三面投影均为原形的类似形，其大小小于实形。一般面的三面投影均为原形的类似形，其大小小于实形。 a b c c a b b a A B C X X Y Z Z YH YW a b a b a b c c c O 投影面垂直面投影面垂直面 垂直于某一投影面而倾斜于另外两个投影面的平面，垂直于某一投影面而倾斜于另外两个投影面的平面

55、， 称为投影面垂直面。称为投影面垂直面。 投影面垂直面因其所垂直的投影面不同分为：投影面垂直面因其所垂直的投影面不同分为： （1 1）H H面垂直面或面垂直面或铅垂面铅垂面：垂直于：垂直于H H面的平面；面的平面； （2 2）V V面垂直面或面垂直面或正垂面正垂面：垂直于：垂直于V V面的平面；面的平面； （3 3）W W面垂直面或面垂直面或侧垂面侧垂面：垂直于：垂直于W W面的平面。面的平面。 铅垂面铅垂面 投影面垂直面投影面垂直面 V Z X Y H O p p p P X Z O YH YW p p p （1 1）水平投影）水平投影p积聚成直线，并反映倾角积聚成直线，并反映倾角和和 （2

56、 2）正面投影）正面投影pp和侧面投影和侧面投影p”p”不反映不反映实形实形 投影特性：投影特性： 正垂面正垂面 投影面垂直面投影面垂直面 q q” X Z q O YH YW a Z X Y H W q q q a O Q V （1 1）正面投影）正面投影q积聚成直线，并反映倾角积聚成直线，并反映倾角和和 （2 2）水平投影）水平投影q和侧面投影和侧面投影q”不反映不反映实形实形 投影特性：投影特性： 侧垂面侧垂面 投影面垂直面投影面垂直面 V Z X Y H W O r r r R a X Z O YH YW r r r a （1 1）侧面投影）侧面投影r”积聚成直线，并反映倾角积聚成直线

57、，并反映倾角和和 （2 2）正面投影）正面投影r和水平投影和水平投影r 不反映不反映实形实形 投影特性：投影特性： 投影特性投影特性 在它所垂直的投影面上投影积聚为一直线；此积聚投影与相在它所垂直的投影面上投影积聚为一直线；此积聚投影与相 应投影轴的夹角，反映该平面相对于相应投影面的倾角。投影面应投影轴的夹角，反映该平面相对于相应投影面的倾角。投影面 垂直面的其它投影均比实形小，为原形的类似形状。垂直面的其它投影均比实形小，为原形的类似形状。 投影面垂直面投影面垂直面 铅垂面铅垂面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 X Z O YH YW r r r” a q q” X Z q O YH a X Z

58、 YH O p P” p 投影面垂直面投影面垂直面 铅垂面铅垂面 正垂面正垂面 侧垂面侧垂面 X Z O YH YW r r r” a q q” X Z q O YH a X Z YH O p P” p 读图读图 一平面只要有一平面只要有一面投影积聚为直线一面投影积聚为直线，则它必然垂直，则它必然垂直 于积聚投影所在的投影面。于积聚投影所在的投影面。 迹线平面法表示三种垂直面迹线平面法表示三种垂直面： 注意注意：用迹线平面表示法表示平面习惯上只作迹线：用迹线平面表示法表示平面习惯上只作迹线 平面的积聚投影，其它两面投影不用作。但必须在平面的积聚投影，其它两面投影不用作。但必须在 该积聚投影旁边

59、标注平面的该面迹线的标记。该积聚投影旁边标注平面的该面迹线的标记。 PH PV PW 铅垂面正垂面侧垂面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面 平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影面平行于一个投影面同时垂直于另外两个投影面 的平面称为投影面平行面。的平面称为投影面平行面。 水平面水平面：平行于平行于H面。面。 正平面正平面：平行于平行于V面。面。 侧平面侧平面：平行于平行于W面。面。 投影面平行面投影面平行面 X Z p p p O YH YW X V Z W p p P” P O H Y 1.1.投影面平行面水平面投影面平行面水平面 （1 1）水平投影）水平投影p反映实形反映

60、实形 （2 2）正面投影）正面投影p及侧面投影及侧面投影p”均有积聚性均有积聚性 且且p/0X/0X轴；轴；p”/OY”/OYW轴轴 投影特性：投影特性： 投影面平行面投影面平行面 q”q q X Z O YH YW X V Z W O H Y q q” q Q （1 1）正面投影）正面投影q反映实形反映实形 （2 2）水平投影）水平投影q及侧面投影及侧面投影q”均有积聚性均有积聚性 且且q /0X/0X轴；轴；q”/”/OZ轴轴 投影特性：投影特性： 2.2.投影面平行面正平面投影面平行面正平面 投影面平行面投影面平行面 X Z O r r r YH YW X V Z W O H Y R r