导数中的求参数取值范围问题

1、帮你归纳总结(五)：导数中的求参数取值范围问题、常见基本题型：(1)已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数f(x)增区间，则在此区间上导函数f (x) 0,如已知函数f (x)减区间，则在此区间上导函数f (x) 0。(2)已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。例1.已知a R函数f(x) ( x2 ax)e x.( x R，e为自然对数的底数)(1)若函数f (x)在(1,1)内单调递减，求a的取值范围；(2)函数f (x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由解:(1)Q f (x)ax)e-Xf (x) ( 2x a)e-x (

2、 x2 ax)( e-x) = x2 (a 2)x a e-x 要使f (x)在-1,1上单调递减， 则f (x)0对x ( 1,1)都成立,2x (a 2)x a 0 对 x ( 1,1)都成立令 g(x)2x (a 2)x a，则g( 1) 0,g(1) 0.1 (a 2) a 01 (a 2) a 0(2)若函数f (x)在R上单调递减，则f (x)0对x R都成立即x2 (a 2)x a e-x 0对x R都成立x2Qe 0, x (a 2)x a 0 对 x R 都成立令 g(x)x2 (a 2)x a，Q图象开口向上不可能对x R都成立若函数f (x)在R上单调递减，则f(X)0对

3、xR都成立,即 x2 (a 2)x a e-x0对xR都成立,Q e x 0,x2 (a 2)x a0对xR都成立Q(a 2)2 4a2 a4 0故函数f (x)不可能在R上单调递增 综上可知，函数 f (x)不可能是R上的单调函数例2：已知函数f x alnx ax 3 a R 若函数y f(x)的图像在点(2, f(2)处的切32/ mx xf (x)在区间(t,3)上总不解:由 f/(2)2 1,a 2f(x)2lnx 2x 3g(x)X (m2 c2) x 2x,2g/(x) 3x2 (m 4)x 2令 g/(x)0得，(m 4)224 0线的倾斜角为45，对于任意t 1,2，函数g

4、x是单调函数，求m的取值范围；故 g/(x)0两个根一正一负，即有且只有一个正根Q函数xx32x2 f/(x) m在区间(t,3)上总不是单调函数2g/(x)0在(t,3)上有且只有实数根 Qg/(0)0, g/(t)0,g/(3) 03732t2(m 4)t2 3t 故 m3t在 t 1,2单调减,3t综合得373例3.已知函数f(x)lnx 1x1 .4 4x)求函数f (x)的单调区间;)设 g(x) x2 2bx4，若对任意Xi(0,2),X21,2 ,不等式f(xj g(X2)恒成立,求实数b的取值范围.解:1(I) f(x) ln x x434x1的定义域是(0 ,)34x2,2小

5、4x x 34x2由 x 0及 f (x)0x 3 ;由 x 0及 f (x)故函数f(x)的单调递增区间是(1,3);单调递减区间是(0,1), (3,)(II )若对任意为(0,2) , X21,2，不等式f(xj g(X2)恒成立，问题等价于f(x)min g(x)max ,由(I )可知，在(0,2)上，X 1是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点,故也是最小值点，所以f(x)min f(1)-；2g(x)x：22 2bx4, x1, 2当b 1时，g ( x )maxg(1)2b 5;当1 b 2时,g ( X)maxg(b)b24 ;当b 2时，g(x)maxg(2)4b 8b

6、11b 2b2问题等价于1或1 2或1-2b5-b24-4b 8222解得b 1或1 b荷或b2即b，所以实数b的取值范围是，2 2。例 4设函数 f (x) x2 mlnx,h(x) x2 x a ,(1) 当a= 0时，f (x) h(x)在(1 ,+s )上恒成立，求实数m的取值范围；(2) 当m= 2时，若函数k(x) = f(x) h(x)在1,3上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围.解：(1)由 a= 0, f (x) h(x),x可得一mnx x, x (1 ,+s )，即 m h(x)在(1 ,+8 )上恒成立等价于me0(x)min.in x 1求得 0 ( x) =2in

7、 x当 x (1 , e), 0 (x) v 0;当 x (e ,+s )时，0 (x) 0.故0 (x)在x = e处取得极小值，也是最小值，即 0 (x) min = 0 (e) = e,故 m 0. g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3上是单调递增函数.故 g( x) min= g(2) = 2 - 2ln2.又 g(1) = 1, g(3) = 3 - 2ln3 ,- g(l) g(3)，只需 g(2) a g(3).故a的取值范围是(2 - In2,3 - 2ln3.二、针对性练习1.已知函数f (x)alnx.若函数g(x) f (x) 2x在1 , 4上是减函数,求实

8、数a的取值范围。解：由g(x)2a2a In x ，得 g (x) 2x2 xx x2 2又函数g(x) xalnx为1 , 4上的单调减函数。x则 g (x)0在1 , 4上恒成立，所以不等式2x-0在1 , 4上恒成立.x x22x在1 , 4上恒成立。(x)2x2，显然(X)在1 , 4上为减函数,所以(x)的最小值为(4)a的取值范围是a632632 *2.已知函数f (x)(1)若存在x41Jn3，使ax 0成立,a的取值范围;(2)当x 0时,f (x)tx2恒成立，求的取值范围.x /a e 1 x,即af (x).令 f (x)xe 10,x0.Q x 0 时，f (x)0，x

9、 0 时,f (x) 0.f (x)在(,0)上减，在(,)上增.x。又1Jn3时,f(X)的最大值在区间端点处取到f(f( 1)1 i,f In二e -41 ln-31) f In430,f ( 1) f Inf(x)在41,l n 3上最大值为a 故a的取值范围是 e，(3)由已知得x 0时,ex x 1 tx20恒成立,设 g(x)x 1 tx2.g(x)ex 1 2tx.由(2)知1 x,当且仅当x0时等号成立,故 g(X)2tx(1 2t)x，从而当 1 2t 0,1即t 2时，g(X)0(x于是当x 0时,g(x) 0,由 ex1 x(x故当0), g(x)为增函数，又g(0)0,

10、t丄2时符合题意t 12时，即f (x)牧2，0)可得e1 x(x 0),从而当xxxg (x) e 1 2t(e 1) ex (0,ln 2t)时，g (x)0,于是当x (0,|n 2t)时,2,不符合题意.综上可得3.已知函数 f (x) V,设 h(x) xf (x) xx3解：由 h(x) x f (x) x ax 可得,g(x)g(x)xx(e 1)(e2t),为减函数，又g(0)0,20,即 f (x) tx ,1t的取值范围为 2ax3在(0，2)上有极值，求a的取值范围.,.1. . -i-3 ai +1）h（i）1 -Sac1 - X+lZ4-1若*20,对任意耳“ h T a（0, P上