实际问题与二元一次方程组应用题归纳(整理)

1、实际问题与二元一次方程组题型归纳 知识点一：列方程组解应用题的基本思想 列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系 起来，找出题目中的相等关系 一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：(1) 方程两边表示的是同类量；(2)同类量的单位要统一；(3)方程两边的数值要相等. 知识点二：列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1. 行程问题： (1) 追击问题：追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。这类问题比较直观， 画线段,用图便于理解与分析。其等量关系式是：两者的行程差二开始时两者相距的路程； 路稈-速度乂时间 时间 路程

2、(2) 相遇问题:相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。这类问题也比较直 观，因而也画线段图帮助理解与分析。这类问题的等量关系是：双方所走的路程之和二总路程。 (3) 航行问题：船在静水中的速度+水速=船的顺水速度； 船在静水中的速度-水速=船的逆水速度； 顺水速度逆水速度=2 X水速。 注意：飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类 似。 2. 工程问题：工作效率X工作时间=工作量. 3商品销售利润问题： 利润率=售忙暫介X10D% (1) 利润二售价成本(进价)；(2)匕；(3)利润二成本(进价)X利润率； 标价=成本(进价)X (1

3、 +利润率)；(5)实际售价=标价X打折率； 注意：“商品利润=售价一成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。打几折就是按 标价的十分之几或百分之几十销售。(例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十) 4. 储蓄问题： (1) 基本概念 本金：顾客存入银行的钱叫做本金。利息：银行付给顾客的酬金叫做利息。 本息和：本金与利息的和叫做本息和。期数：存入银行的时间叫做期数。 利率：每个期数内的利息与本金的比叫做利率。利息税：利息的税款叫做利息税。 (2) 基本关系式 利息二本金X利率X期数 本息和=本金+利息=本金+本金X利率X期数=本金X(1+利率X期数) 利息税=利息X利息税

4、率=本金X利率X期数X利息税率。 月利率宰利率疋丄 税后利息二利息X (1 利息税率)年利率二月利率X 12 注意：免税利息=利息 5. 配套问题： 解这类问题的基本等量关系是：总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。 6. 增长率问题： 解这类问题的基本等量关系式是：原量X (1 +增长率)二增长后的量； 原量x(1 减少率)=减少后的量. 7. 和差倍分问题： 解这类问题的基本等量关系是：较大量=较小量+多余量，总量=倍数X倍量 8. 数字问题： 解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。如当 n为整数 时，奇数可表示为2n+1(或2n-1)，偶数可表示

5、为2n等，有关两位数的基本等量关系式为：两位数 = 十位数字3 10+个位数字 9 .浓度问题：溶液质量X浓度=溶质质量. 10. 几何问题：解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式 11. 年龄问题：解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会 变的 12. 优化方案问题： 在解决问题时，常常需合理安排。需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅 行社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。 注意：方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点，比较几种方案得出最佳 知识点三：列二元一次方程组解应用题的一般步骤 利用

6、二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤： 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为审、找、列、解、答”五步，即： (1) 审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数； (2) 找：找出能够表示题意两个相等关系； (3) 列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组； (4) 解：解这个方程组，求出两个未知数的值； (5) 答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案 要点诠释： (1)解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果 是否合理，不符合题意的解应该舍去； (2) “

7、设”、“答”两步，都要写清单位名称; (3) 般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. (4) 列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系；审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； 注意 用方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列方程组与解方程组时， 不要带单位；正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含 的条件；列方程组解应用题一定要注意检验。 分类练习: 类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题 甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行, 1小时 20分相遇.相遇后，拖拉机继续前

8、进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出 发半小时后追上了拖拉机这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走 2小时，那么他们在乙出发2.5 小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少 千米？ 【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用 14小时，逆流用20小时，求船在静 水中的速度和水流速度 类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题 C2家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用 共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做1

9、2天可完成，需付两组费用共 3480元，问： (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元？(2)已知甲组单独做需12天完成，乙组单独做需24天 完成，单独请哪组，商店所付费用最少？ 【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公 司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需 9周完成，需工钱4.8万元若只选一个公司单独完成， 从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由 类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题 3有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%乙商品的利润率为4%共可获利46元。价格 调整后，甲商品的利润率为 4%,乙

10、商品的利润率为5%，共可获利44元，则两件商品的进价分别是 多少元？ 【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表: A B 进价（元/件） 1200 1000 售价（元/件） 1380 1200 【变式1】（2011湖南衡阳）李大叔去年承包了 其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利 少亩？ 10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000元, 1500元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多 （注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件; 类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题 4小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现

11、在以两种方式在银行共存了2000元 钱，一种是年利率为2.25%的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25%的一年定期存款，一年后可取出 2042.75元，问这两种储蓄各存了多少钱？（利息所得税二利息金额X20%，教育储蓄没有利息所得 税） 【变式1】李明以两种形式分别储蓄了 2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得利 息43.92元.已知两种储蓄年利率的和为3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？（注：公民应 缴利息所得税=利息金额X 20%） 【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了4000元钱.第 一种，一年期整存整取，共反复存了 3次

12、，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%;第 二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息 税），问小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？ 类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题 5某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖 5只.现计划用132米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣 身和衣袖恰好配套？ 【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做 8个盒身或22个盒底，一个盒身与两个盒底配成 一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可

13、以正好制成一批完整的盒子？ 【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。 【变式3】一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌面50个，或做桌腿 300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌 面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？ 类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题 .某工厂去年的利润（总产值一总支出）为 200万元，今年总产值比去年增加了 20%,总 支出比去年减少了 10%,今年的利润

14、为780万元，去年的总产值、总支出各是多少万元? 【变式1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元? 【变式2】某城市现有人口 42万，估计一年后城镇人口增加 0.8%,农村人口增加1.1%,这样全市 人口增加1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。 类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题 07.（2011年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产 帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职 工加班加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5 倍，恰好按时完成了这项任务

15、求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐 篷多少千顶？ 【变式1】（2011年北京门头沟区中考一模试题）“地球一小时”是世界自然基金会在 2007年提出 的一项倡议号召个人、社区、企业和政府在每年3月最后一个星期六20时30分一21时30分熄灯 一小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活中国内 地去年和今年共有119个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的3倍少13个， 问中国内地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动. 【变式2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。如果每位男孩看到 蓝色与红色的

16、游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1倍，你知道男孩与女孩各有 多少人吗？ 类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题 8.两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数； 在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大 2178,求这两个两位数。 3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数 【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 字之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少？ 【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数 字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两

17、位数的一半还少9，求这个两位数？ 【变式3】某三位数，中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数字减1,个位数 字加1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。 类型九：列二元一次方程组解决浓度问题 3 : 7,乙种酒精溶液的酒精与水的 C 9 现有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是 比是4 ： 1，今要得到酒精与水的比为3 : 2的酒精溶液50kg，问甲、乙两种酒精溶液应各取多少? 【变式1】要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各需多 少？ 【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%寸，治虫最有效。用多少千克浓

18、度为 35%的农药 加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？ 类型十：列二元一次方程组解决 几何问题 C10如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个长方形，每块长方形地砖的长和宽分别是多 少？ 【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边剪掉3厘米，补到较短边上去, 则得到一个正方形，求正方形的面积比矩形面积大多少？ 【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少? 类型一：列二元一次方程组解决 ii.今年父亲的年龄是儿子的 -年龄问题 5倍，6年后父亲的年龄是儿子的 3倍，求现在父亲和儿子的 年龄各是多少? 【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他的年龄变成爷爷的 三分之一.试求出今年小李的年龄. 类型十二：列二元一次方程组解决优化方案问题: Cl2.某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售， 每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元.当地一家农工商公司收获这种蔬菜 140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工