全等三角形讲义

1、全等三角形全等三角形性质图形全等：一个图形经过平移、.翻折、.旋转后，位置变化了，但形状、.大小都没 有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。“全等”用三表示，读作“全等 于”.全等三角形的定义：两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的 位置上，如AABC和ADEF全等时，点A和点D,点B和点E,点C和点F是对应 顶点，记作AABC三ADEF 。C把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做 对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。1.下列说法：全等图形的形状相同、大小相等；全等三角形的对应边相等；全等三

2、角 形的对应角相等；全等三角形的周长、面积分别相等，其中正确的说法为（A .B.C.2.如图， ABDA ACE贝U AB的对应边是3.已知：如图, ABEA ACD,/ B=/ C,则/ AEB=,/ BAD的对应角是，AE=4. 如图： ABCA DCB,AB和DC是对应边，/ A和/ D是对应角，则其它对应边是,对应角是.5. 已知：如图， ABCA DEF,BC/ EF, / A=/ D,BC=EF,则另外两组对应边是 _应角是.,另外两组对2题El5题三角形全等的条件一（SSS三角形有六个条件：三条边和三个角如果两个三角形满足上述六个条件中的一个或两个时有几种情形，能否保证两个三角形

3、全 等？只有一个角对应相等;满足一个条件：只有一条边对应相等；结论:两角对应相等；两边对应相等;一边一角对应相等满足两个条件:DE结论:如果两个三角形满足上述六个条件中的三个时，有几种可能的情况?两边一角对应相等FE结论:两角一边对应相等结论:三边对应相等ABF结论:三个角对应相等AC结论:定义：写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）。BAF如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等.简例 1.已知：如图， DE=CE DF=CF 求证：CEF.F例 2.已知：如图， DA=CB DB=CA 求证： DABA CBA例3.已知：如图 AB=CD,AD=BC求证：AD/ BC例4

4、.已知：如图，点 A C B、D在同一条直线上,AC=BD,AM=CN,BM=DN,求证： AMBA CNDB例 6.已知 AB=CD BF=CE AE=CF 问 AB/ CD吗?例 6.已知：如图，AB=AE,AC=AD,BC=DE, C,D在 BE边上.求证：/ CAE= DAB课堂练习:2.如图，线段AD与BC交于点则/ ACD的度数是（）D.104Q且AC=BD AD=BC则下面的结论中不正确的是 （）A. ABCA BADB./ CAB=/ DBAC.QB=QCD./ C=/ D3.如图,AB=CD BF=DEE、F是AC上两点，且AE=CF欲证/ B=/ D,可先运用等式的性质证明

5、AF=，再用“ SSS证明得到结论.4.如图，AD丄BC,垂足为D, BD=CD求证： ABDA ACD.D6.已知：如图,AB=DCBD=AC AC, BD交于 O.求证： AOBA DOCAB=AC BE=CE , E 为 AD上一点，求证：/ BED玄 CED7.如图，已知D如图， A、E、F、B在一条直线上， AC=BD , AE=BF, CF=DE 求证：AD/ BC8.已知:课后练习：1.工人师傅常用角尺平分任意角，做法如下：如图：/ A0是一个任意角，在 OA 0吐分别取OM=ON移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M N重合，过角尺顶点P的射线OF便是/ AOB勺平分线。你知

6、道这样做的理由吗？2. 已知：如图：BE=CF AB=DE AC=DF ,求证： ABCA DEF。3.如图，AB=AC BD=CD 求证：/仁/2.4.已知 AC=BD AE=CF BE=DF 问AE/ CF 吗？10.如图,AC=BD BC=AD 求证: ABCA BAD能力提高：1.如图,AC=DF BC=EF AD=BE / BAC=72 , / F=32,则Z ABC=DB=Z CAE2.已知：如图，E 是 AD上的一点，AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE .求证：Z3. 如图：AB=DC BE=CF AF=DE (1)求证： ABEA DCF;(2)CF / BE.A

7、.4. 如图,AD=BC,AB=DC.求证：/ A+Z D=180 .那么这两个三角形全等.简S.A.S.)三角形全等的条件二(SAS) 定义:.如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等， 写成“边角边”或简记为(两边一角对应相等结论:例1.如图,AE=DB,BC=EF,BO例2.如图,AB= AD, AC= AE,/ BAE=/ DAC 求证： ABCA ADE冲例3.已知：如图,AD是BCh的中线,且DF=DE求证:BE / CF.C例4.如图，已知，等腰Rt OAB中，/ A0B=9a等腰Rt EOF中，/ EOF=96,连结AE、BF.6.如果两个三角形全等，则不正确的是（)求证：(1

8、) AE=BF (2) AE BF.F例 5.如图，在 ABE中，AB= AE,A AC, / BAD=/ EAC, BC、DE交于点 O. 求证：(1) ABCA AED (2) OB = OE .课堂练习：1. 在 ABCn ABC A.AB=AB,AC=AC, C.AC=AC,BC=BC,中，要使 ABCA ABC,需满足条件(B.AB=AB, BC=BC,D.AC=AC, BC=BC,AO=BO ,在AO和BO上截取)D.SSS/ B=/ B/ C=/ C2. 如图，在/ AOB的两边上截取P ,则 AOD BOC理由是(A.ASAB.SASC.AAS/ A=/ A/ C=/ BCO=

9、DO ,连结AD和BC交于点2题3.如图，在3题 DEF 中，已知 AB = DE , ABC 和BC=EF ,根据(SAS)判定 ABC DEF,还需的条件是(B.NB =NEC. NC =NF D. 以上三个均可以4.如图，AD=AE,AB=AC,BE CD交于F,则图中相等的角共有对,(除去/ DFE=Z BFC ()A.5B.4C.3D.2A.它们的最小角相等B.它们的对应外角相等C.它们是直角三角形D.它们的最长边相等7.如图,已知： ABEA ACD,/仁/ 2, / B=/ C,不正确的等式是（B.C.BE=DCD.AD=DEA.AB=AC7题/ BAE=Z CADSentVD5

10、 cm8. 下图中全等的三角形是（A. I和nB.9. 如图，已知/ 1 = / 2，要使 ABCA ADE还需条件（A.AB=ADC.n和川D.I和川BC=DE B.BC=DE , AC=AE C./ B=/ D,)C=/ ED.AC=AE , AB=AD ADCA CBA11.如图, ABC中, AB= AC, AD平分/ BAC 试说明 ABDA ACD.12.如图,AD= BC, / ADC=/ BCD.求证：/ BAC=/ ABD13.如图，已知:AC=DF,AC/ FD,AE=DB,求证： ABC DEF. ABD和BD =CE .BD=CEcE14.如图，在 ABC中，AB=AC

11、, NBAC =40 ,分别以AB,AC为边作两个等腰直角 ACE 使 NBAD =NCAE =90 .（ 1）求 NDBC 的度数；（2）求证：15.如图：AB=AC AD=AE AB丄 AC, ADI AE.求证：(1)/ B=/ C, (2)16.如图/ BACK DAE / ABD= ACE BD=CE 求证：AB=AC课后练习:1.下面各条件中，能使 ABC DEF的条件的是（)A. AB=DE,/ A=/ D,BC=EFB. AB=BC, / B=/ E,DE=EFC. AB=EF, / A=/ D,AC=DFD. BC=EF, / C=/ F,AC=DF2.如图，AD,BC相交于

12、点0,OA=OD OB=OC下列结论正确的是（B. ABODOC C.NA=NCD. NB=NDA. AOBDOCAD =AE，厶 BAC =NDAE .A. NBAD =NCAEB.下列结论不正确的有（). ABD ACE C.AB=BC D.BD=CE4.如图所示, ABC与 BDE都是等边三角形,ABCDC.AECDD.无法确定5.已知：如图，CE丄AB , DF丄AB ,垂足分别为 E , F , AF=BE ,且 AC=BD,则不正确的结论是（A.Rt AEC Rt BFDB. / C+/ B=90C. / A=/ D/ BD.5D.AC全等，如果 ABC6.如果 ABCn DEF全

13、等， DEF和 GHI 全等，则 ABC和 GHI全等.（填“一定”或“不一和 DEF不全等， DEF和 GHI全等，则 ABCD GHI定或一定不 ）7.女口图，已知 AB丄 BD于 B, EDI BD于 D, AB=CD BC=DE 贝U/ ACE=8.已知如图，F在正方形 ABCD的边BC边上，E在AB的延长线上，FB= EB AF交CE于 G,则/ AGO的度数是 9.如图， ABC是不等边三角形，DE=BC以D , E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与 ABC全等，这样的三角形最多可以画出个.10.如图，已知 是ABC的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中和ABC全等的

14、图形O11.已知：如图,AC=AB,AE=AD,/ 仁 / 2.求证：/ 3=/ 4。12.已知：如图,AB=AC,AE平分/ BAC求证：/ DBE玄DCE13.如图,已知:AD / BC,AD=BC 求证:AB / CD14.已知：如图，点 B,E,C,F 在同一直线上，AB / DE,且 AB=DE,BE=CF求证:AC / DF.15.已知：如图,AD是BC上的中线，且DF=DE求证:BE / CF.16.如图，在 MBC中，D是AB上一点，DF交AC于点E, DE=FE AE=CE AB与CF有什么位 置关系？说明你判断的理由。F17.如右图，已知 DEI AC, BF丄AC,垂足分

15、别是 E、F, AE=CF DC/ AB(1 )试证明：DE=BF (2)连接DF、BE,猜想DF与BE的关系？并证明你的猜想的正确性.18.已知如图，B 是 CE 的中点，AD=BCAB=DC DE 交 AB 于 F 点。求证：(1) AD/ BC( 2) AF=BF19.已知：如图,AC=AB,AE=AD,/ 仁 / 2.求证：/ 3=/ 4。能力提高：1.观察下列图形，则第 n个图形中三角形的个数是（A. 2n+2B. 4n +4C. 4n-4第1个zx/第2个2. 如图，AD丄 AB,CB丄AB,DM=CM=aAD=h,CB=k, / AMD=75 k +h f _ D. h2A. a

16、 B. k C.3. 已知：如图,AB=AC,AD=AE,/ BAC=Z DAE求证:BD=CE3D. 4n,/ BMC=45,则AB的长为（）E4.如图已知： ABCDA BDE是等边三角形， D在AE延长线上。求证:BD+DC=ADc5.已知：如图，BE、CF是厶ABC的高，分别在射线 BE与CF上取点P与Q,使BP=AC CQ=AB 求证：（1）AQ=AP（2）AP丄AQQ点。7.已知C为AB上一点， ACN和B6.如图， ABC为等边三角形，点 M,N分别在BC,AC上，且BM=CN AM与BN交于 / AQN的度数。8.如图，已知 ABC的边长为1的正三角形， BDC是顶角/ BDC

17、=120的等腰三角形，以 D为顶点作一个60角，角的两边分别交 AB于M交AC于N,连MN形成 AMN求证： AMN 的周长等于2。M / B9.已知在 MBC中，NB=2NC, ad平分NA交BC于D点，求证：AC=AB+BD10.如图， ABC是等腰直角三角形，其中 CA=CB四边形CDEF是正方形，连接 AF、BD.观察图形，猜想 AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在 ABC的内部,请你画出一个变换后的图形， 并对照已知图形标记字母， 题(1)中猜想的结论是否仍然成立？ 若成立，直接写出结论，不必证明；若不

18、成立，请说明理由.AD平分/ CDE.11.五边形 ABCDEK AB=AE BC+DE=CP / ABC+Z AED=180，求证:三角形全等的条件三、四(ASA,AAS定义：如果两个三角形的两个角及其夹边分另）对应相等,.那么这两个三角形全等简记为“角边角”.或简记为（A.S.A.）.。.如果两个三角形的两个角及其其中一角的对边分别对应相等，那么这两个A.A.S)三角形全等，简记为“角角边”或简记为） 两角一边对应相等配一块与原来F点.求证:结论:问题：一块三角形玻璃碎成如图形状 4块，（1）要不要4块都带去？（2）带哪一块呢？（3）带D块，带去了三角形的几个元素？另外几快呢?例 1.女口

19、图，/ BDA=Z CEA AE=AD.求证：AB=AC.例2.如图，/ ACB=90, AC=BC D为AB上一点,AE丄CD BF丄CD 交CD延长线于 BF=CE.例3.如图在 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC AE是BC的中线，过点 C作CF丄AE于F,过B作BD丄CB交CF的延长线于点 D. (1)求证：AE=CD ( 2)若BD=5cm，求 AC的长。C例4.如图:的延长线于CD在 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC D是 AB上一点，AE1 GD于 E, BF丄 CD交F。求证：AE=EF+BF例5.如图, 的延长线于B已知在 AABC中，AD是角平分线，CF丄

20、AD交AB于F,E,求证：AC=AE=AF垂足为M CE/ AD交BA例6.如图, 点的直线于BD的延长线垂直于过 C ABC中，/ BAC=90, AB=AC BD是/ ABC的平分线,E,直线 CE交BA的延长线于 F.求证：BD=2CE课堂练习1.已知：如图，AC=CD ,A. / A与/ D互为余角/ B=/ E=90 , AC丄CD ,则不正确的结论是（）B./ A=/ 2 C. ABCA CEDD. / 仁/ 2A.1AB9B.3AB13AD=4则边AB的取值范围是（）C.5AB13D.9AB133.如图，点 D,E,F,B在同一条直线上，AB/ CDAE/ CF,且BF=DE 若

21、 BD=10 BF=2,贝UEF=4.已知:如图,四边形 ABCD中 , AB / CD , AD/ BC.求证: ABDA CDB.5.如图,NABC=NDCB , ZACB=NDCB ,试说明 ABCA DCB.6.如图,/ 1 = / 2, / B=/ C.求证：AB= AC.7.如图:在 ABC中，AB=AC AD和BE都是高，它们相交于点 H,且AH=2BD求证:AE=BE.8.已知：如图，四边形ABCD中,AD/ BC,F是AB的中点，DF交CB延长线于E , CE=CD.求证:/ ADE=Z EDCA D9.如图， ABC中，D是 AC上一点，BE/ AC, BE=AD AE分别

22、交 BD BC于点 F、G 图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论.若连结DE贝y DE与AB有什么关系？并说明理由.10.如图，在 ABC中，/ C=2/ B,AD是 ABC的角平分线,课后练习：1.如图，/ A=/ D,OA=ODZ DOC=50 ,求/ DBC的度数为(A.50B.30C.45/ 仁/ B,求证 AB=AC+AD.)D.25AD2.如图，AB/ CD AD/ BC, AC BD相交于点 Q(1 )由 AD/ BC 可得 N = N，由 AB/ CD 可得 N，又由，于是ABDA CDB (2)由,可得AD=CB由，可得 AODA COB(3)图中全等三角形共有对。3

23、.如图在 ABC中,AD丄BC于D,BE丄AC于 E,AD交BE于F,若BF=AC那么/ ABC的大小是4.已知：如图，/仁/ 2,AB丄BC,AD丄DC,垂足分别为 B、D.求证：AB=ADC7.如图,求证：8.如图,C已知点 B、C、E在一条直线上， AB=CD AC=BD DE/ AC 试说明/E=/ DBC5.如图，/ 1 = / 2, / B=/ D,求证： ABCA ADC6.如图，/ C=/ D, CE = DE.求证:/ BAD=/ ABC四边形 ABCD勺对角线 AC与BD相交于0点，/仁/2,/ 3=/ 4.(1) ABC ADC ； (2) BO=DO9.如图，你是通过什

24、么办法找到的?AB丄AC , BD丄DC , AC BD交于点ZaCB =NDBC ,图中共有几对长度相等的线段,10.已知：如图,AB / CD,/仁/2,0是AD的中点，EF、AD交于0.求证：0也是EF的中点.11.如图，AD=BE,AC/ DF,BC/ EF,求证: ABCA DEF8.已知：如图，FB=CE,AB/ ED , AC / FD, F、C在直线 BE上.求证：AB=DE,AC=DFE9.已知：在 ABC中，AD为BC边上的中线， CE1 AD BF丄AD。求证：CE=BFCF.10.已知：如图 AC丄CD于C , BD丄CD于 D , M是AB的中点，连结CM并延长交 B

25、D于点求证：AC=BF11.已知：如图，E、D B F 在同一条直线上，AD/ CB, / BAD=/ BCD,DE=BF求证：AE/ CF.12.已知：如图，AE=BF , AD / BC , AD=BC.AB、CD交于 O点.求证:OE=OF能力提高：1.已知：如图，AD=DC/ ADC=/ DEB玄B=90 ,四边形ABCD勺面积为A.5B.4C.3D.22.三角形 ABC中，AB=AC在AB上取一点 D,在AC的延长线上取一点 交BC于G求证：DG=GE.16,则DE的长为（E,使CE=BD连结DEDE DF。C3.已知：如图，在 ABC中，AD是/ BAC的角平分线，E、F分别是 A

26、B AC上的点, 且/ EDF+/ EAF=180。求证：4.在等边三角形 ABC中，AE=CD AD, BE交于P点，BQ! AD于Q 求证：BP=2PQ5.如图，点M为正 ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作乂DMN =60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N, DM与 MN有怎样的数量关系？三角形全等的条件五定义:.如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，.那么这两个直角 三角形全等.简记为H. L定理.（或斜边直角边）. 例1.如图，有一个直角 ABC / C=90, AC=10 BC=5 一条线段 PQ=AB P.Q两点分别在AC和过点A且垂直于 AC

27、的射线AX上运动，当 AP=时，才能使 ABC与 A PQA全等.Q例 2.已知：如图， AB=CD AE=DF 且 AE_BC于 E, DF_BC于 F.求证：/ B=/ C求证：/ E=/ CD例3.已知：如图，E,B,F,C 四点在同一直线上,/ A=/ D=90 ,BE=FC, AB=DF例 4.女0图，AB_BC于 B, AD_DC于 D,且 CB=CD 求证：/ ABD玄 ADB.例5.证明：在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半。例6.已知：如图，ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F,且有BF=AC FD=CD 求证：BEX AC例7.已知：Rt ABC中，/ AC

28、B是直角，D是AB上一点，BD=BC过D作AB的垂线交 AC于E,求证：CDI BE.课堂练习:1.能使两个直角三角形全等的条件是（）B. 一锐角对应相等A.两直角边对应相等C.两锐角对应相等D.斜边相等2.两个三角形有以下三对元素相等，则不能判定全等的是（）A. 一边和两个角B.两边和它们的夹角C. 三边 D. 两边和一对角3.下列说法中，错误的是（A.三角形全等的判定方法对判定直角三角形全等也适用B.已知两个锐角不能确定一个直角三角形C.已知一个锐角和一条边不能确定一个直角三角形D.已知一个锐角和一条边可以确定一个直角三角形3.已知：如图，AD=BC , AE , CF 角（除直角外）.（

29、）A.3F , AE=CF , 则图中有D.6对相等的D.SASBC至U D,使 CD=AC则 AC BD=（）.4： 1 D . 2： 3ABDA EBC的条件是（）/ 仁/2 , AB=EB/ 仁/2 ,/ C=/ D4. 已知：如图， AC是/ BAD和/ BCD的角平分线，则 ABCA ADC用判定.（）A.AAA B.ASA或 AASC.SSS5. 如图，Rt ABC中，/ B=90,/ ACB=60，延长A . 1: 1 B . 3： 1C 6.如图，在下列给出的四组条件下，不一定能推导出A.BE=BA , BD=BC ,/ 仁/ 2B. / 3=/ 4 ,C.AB=EB ,/ 仁

30、/ 2 , AD=ECD.AB=EB ,ACL CD垂足分别是 A, C, AD=BG由此可判定全等的两个三角形是7.如图，已知ABL AC,和8.已知：如图,AE , FC 都垂直于 BD ,垂足为 E、F , AD=BC , BE=DF .求证：OA=OC.9.已知：如图,DN=EM 且 D阻AB于 D, EMAC于 E, BM=CN 求证：/ B=/ C.10.已知：如图 于 E , F .求证：AE=DF,BC 是 ABCn DCB 的公共边，AB=DC , AC=DB , AE、DF分别垂直BC11.已知：如图,AB=CD , D 、B 至U AC的距离 DE=BF 求证：AB/ C

31、D12.已知：如图,OC=OD , AD 丄OB于 D , BC 丄OA于 C.求证:B13.如图，已知:/ ACB和/ ADB都是直角，BC=BD E是AB上任一点，求证:CE=DEB14.已知：如图，/ A=/ D=90, AC, BD交于 O, AC=BD求证：OB=OC15.如图，在等腰直角三角形ABC中，/ ACB=90,直线I经过点C, AD丄I, BE丄I,垂足分别为D E.求证：AD=CE课后练习:1.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（A. 一条直角边和一个锐角分别相等B.两条直角边对应相等C.斜边和一条直角边对应相等D.斜边和一个锐角对应相等2.在下列定理中假命题是

32、（A.B.C.D.3.如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CD CE 的平分线。则/ 1与/2的关系是（A./ 1/2 DAB上的高与中线， CF是/ ACB.不能确定）一个等腰三角形必能分成两个全等的直角三角形 一个直角三角形必能分成两个等腰三角形 两个全等的直角三角形必能拼成一个等腰三角形 两个等腰三角形必能拼成一个直角三角形4. 在直角三角形 ABC中，若/ C=9C）, D是BC边上的一点，且AD=2CD则/ ADB的度数是（）A.30 B.6C C.12CD.15C5. 如图，已知 BD丄AE于B, C是BD上一点，且 BC=BE要使 Rt ABC Rt DBE应补充的条

33、件是/ A=/ D或或或。度。6. 如图，在 ABC中, ADX BC于 D, AD与 BE相交于 H,且 BH=ACDH=DC那么/ ABC=7. 如图，AD/ BC, / A=900, E 是 AB上一点，/ 仁/ 2, AE=BC 求证：/ DEC=908.如图所示，已知AD是/ BAC的平分线，DEAB于E, DF丄AC于F,且BD= CD求证：BE=CF9.已知BD= CD BFl AC, CE! AB.求证：D在/ BAC的平分线上.10.如图，在 ABE和 ACD中，给出以下四个论断： AB=ACAD=AEDAM=A ADI DC,AEl BE以其中三个论断为题设，填入下面的“已

34、知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程已知：求证：11.已知在 Rt ABC中，/ C= 90, AC= BC, AD为/ BAC的平分线，DEI AB垂足为 证： DBE的周长等于AB.12.如图， ABC中，/ ACB=90 ,CE丄 AB于 E,AD=AC,AF平分/ CAE交 CE于 F.求证：FD / CB13.如图，A E、F、C在一条直线上， AE=CF过E、F分别作 DE1 AC, BF丄AC,若 AB=CD 请回答下列问题：(1) BD平分EF; (2)若将DEC的边EC沿 AC方向移动变为图2时其余 条件不变，上述结论是否成立，

35、请说明理由。能力提高:1.已知：/ AOB=90 , OM是/ AOB的平分线，将三角板的直角顶 P在射线0M上滑动，两直角边分别与OA 0B交于C D. PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论2.如图，已知在 ABC中，/ ACB=96, / CAB=30, ACD ABE都是等边 ,DE 交 AB于 F,求证：DF=EFAC3.已知BD CE是 ABC的高，点 P在BD的延长线上，BP=AC点Q在CE上，CQ=AB判断线段AP和AQ的关系，并证明.4.如图，点 C在线段 AB上，DA1AB, EB丄 AB, FC丄 AB 且 DA=B(C EB=AC FC=AB / AFB=5T ,求/

36、 DFE的度数.角的平分线的性质到角两边距离相等的角平分线性质:.角平分线上任意一点到角两边的距离相等0 点在角的平分线上。.角平分线的画法：.例1.已知0是 ABC三条角平分线的交点，ODL BC于D,若0D= 5, ABC的周长等于 20,则 ABC的面积等于 Sa abc=例2.如图， ABD的三边 AB BC CA的长分别是 20、30、40、其中三条角平分线将 ABD分为三个三角形，则S必BO : S尿。:SAO等于 例 3.如图：在 ABC中，/ BAC=90 , / ABD=1 / ABC,BCI DF,垂足为 F,AF 交 BD于 E。求证: 2AE=EF.C例4.如图：在 A

37、BC中，/ B,/ C相邻的外角的平分线交于点 0求证：点D在/ A的平分 线上。D例5.如图所示，已知 ABC中，AD平分/ BAC E、F分别在BD AD上.DE=CD EF=AC求 证：EF/ AB.例6.在 ABC中，ABAC AD是/ BAC的平分线.P是AD上任意一点.求证： AB-ACPB-PC例 7.如图，/ A+/ D=1800, BE平分/ ABC CE平分/ BCD 点 E在 AD上.(1)探讨线段AB CD和 BC之间的等量关系；(2)探讨线段BE与CE之间的位置关系.D例8.如图，已知在 ABC中, AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF

38、求证：AC=BE课堂练习：1.如图所示，在 ABC中，P 为 BC上一点，PR! AB于 R, PS丄 AC于 S, AQ= PQ PR= PS 则 下列三个结论中正确的是A.和B().和 AS= AR PQ/ AR .和D .BRPA CSP全对CA2.如图，AB=AC BEL AC于 E, CF丄 AB于 F, BE、CF交于点D,则 ABEA ACF;、BDF CDE点D在/ BAC的平分线上，以上结论正确的是(A.B.C.D. 3.在 ABCn ABC中， AB=AB; BC=BC; AC=AC;/ A=/ A;/ B=/ B;/ C=/ C;则下列哪组条件不保证ABCA ABC.(A

39、. B. C.D.4.如图，已知点 P到BE、BD AC的距离恰好相等，则点P的位置：在/ B的平分线上;在/ DAC的平分线上；在/ EAC的平分线上；恰是/B,/ DAC / EAC三个角的平分线的交点。上述结论中，正确结论的个数有(A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4个5. / AOB的平分线上一点 M , M到OA的距离为1.5 cm，贝U M到0B的距离为6. 如图，AB/ CD 0是/ BAC / ACD的平分线的交点， OEIAC于E ,且0E= 2,贝U AB与CD间的距离等于D,且7. 已知 ABC的周长是15, / ABC和/ ACB的平分线交于点 0过点 0作ODL

40、 BC与点 0D=2 求 ABC的面积。8.已知BD= CD BF丄AC, CEL AB。求证：D在/ BAC的平分线上.F,交C9.如图，在 ABC中，AD交BC于点D,点E是BC中点，EF/ AD交CA的延长线于点 AB于点G若BG=CF求证：AD为/ BAC的角平分线.10.已知 ABC / B=/ C, D E分别是 AB及AC延长线上的一点，且 BD=CE连接 DE交底BC于G求证GD=GE11.如图，A, B两点位于一个池塘的两端，小丽想用绳子测量 A、B间距离，但是绳不够长.你能帮她设计测量方案吗？如不能，说明困难在哪里；如果能，写出方案，并说明其中的道理.a课后练习：1.如图，

41、在 Rt ABC中，/ ACB=90 , CD 的平分线。则/ 1与/2的关系是(A. / 1/ 2D.不能确定2.尺规作图作/ AOB的平分线方法如下： 以0为圆心， 再分别以点C、D为圆心，以大于 IcD长为半径画弧，2)C . AAS任意长为半径画弧交 0AOB于 C D,两弧交于点 P,作射线0P由作法得 OCP ODP的根据是(A . SAS B . ASA3. 如图，在 ABC中，AC=BC/ ACB=90 . AD平分/ BAC BEX AD交AC的延长线于 F, E为垂足.则结论： AD=BFCF=CDAC+CD=ABBE=CFBF=2BE其中正确结论的 个数是()A . 1B

42、.2C. 3D. 44. 如图在 Rt ABC中，/ C=90, BD是/ ABC的平分线，交于点 D,若CD=n AB=m则 ABD 的面积是5.已知：如图，/B=/ DEE AB=DE 要说明 ABCA DEF,(1)若以“ ASA为依据,还缺条件(2)若以“ AAS为依据,还缺条件(3)若以“ SAS为依据,还缺条件6.如图，C为线段AE上一动点（不与点 A, E重合），在AE同侧分别作正三角形 ABC和正三角形CDE AD与BE交于点0, AD与BC交于点P, BE与CD交于点Q,连结PQ以下五个结论:（把AD=BEPQ/ AE;AP=BQDE=DP/ AOB=60 .恒成立的结论有你

43、认为正确的序号都填上）。7.如图，0M平分/ P0QMAL0P,MBL 0Q A、B 为垂足，AB交 0M于点 N.求证：/ 0AB2 0BA8.已知/ ABC=3/ C,/ 仁/ 2, BE1AE,求证：AC-AB=2BE.9.已知，如图，在四边形 ABCD中, BOAB, AD=DCBD平分/ ABC求证：/ BAD+Z BCD=180 .10.如图：在 ABC中，/ A=60,/ B,/ C的平分线 BE CF相交于点 0。求证：0E=0F11.已知AM为 ABC的中线，/ AMB/ AMC勺平分线分别交 AB于E、交AC于F.求证：BE+CFEF能力提高：1.如图， ABC中， 则 D

44、BE的周长等于A. 10cm BC = 90).8cmC,AC= BC, AD是/ BAC的平分线，DEI AB于 E,若 AC= 10cm,.9cm2. 如图所示，表示三条相互交叉的公路，相等，则可供选择的地址有（）A.1 处B.2 处C.3现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离D.4 处3. 如图,已知 AE平分/ BAC,BE上 AE于 E,ED/ AC, / BAE=36,那么/BED=4.已知在 Rt ABC中,证： DBE的周长等于/ C= 90, AC= BC, AD为/ BAC的平分线,AB.DEI AB,垂足为 C.求5.如图，在 ABC中, D,E分别为AB,AC边

45、中点，连接CD BE并分别延长至F、G,使BE=EG,CD=DF, 连接 FA,GA.求证：AF=AG.6.如图：在 ABC中，/ C=90, AC=BC D是AC上一点，AEIBD交BD的延长线于 E,且1AE=- BD,2DF丄AB于F。求证：CD=DFE7.女口图，在四边形 ABCD中, AC平分/ BAD过C作CE1AB于E,并且aE =丄（AB+AD），2求/ ABC+Z ADC的度数。8.如图：AD是 ABC中/ BAC的平分线，过AD的中点E作EFX AD交BC的延长线于 F,连结AF。求证：/ B=/ CAR9.已知 ABC中，AB=AC BD为AB的延长线，且 BD=ABABC的AB边上的中线.求证 CD=2CED10.如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于F, AF与EF相等吗？为什么?全等三角形复习一、选择题：1.如图，OA=OCOB=OD则图中全等三角形共有（A.2 对 B.3 对C.4 对 D.5 对）.有一