导数讨论含参单调性习题(含详解答案)

1、6 已知函数 f x ax ln x, F xex ax，其中 x 0, a 0. m(x + n f(x) - lnxTg(x) =m 0) 1 设函数x T. (1) 当m = l|时，函数訂(刈与 =創刈在1处的切线互相垂直，求n的值； (2) 若函数“仪卜創对在定义域内不单调，求 m-n的取值范围； 2a 3K x f(T 他 M f() ，由此即可求出结果. ，可得 h(x = flJ-fle*) + 1 h(x) = aln2a - minx - a + k(x) = aln2a - minx亠 a + x a k (x)=- ax +1 0 且k（x） = O在区间 + T内必存

2、 % = 0 ，可得 1 lnxQ = + In2a -1 ，所以 在区间内单调递减, 在实根，不妨设 2 ，（*），则|在区间卜汽；内单调递增，在区 = 0 答案第2页，总18页 h(xJ = ax + axn 使 0 - 1 h(x0) = axD + 对任意正实数W恒成立，即要求 axo ，将（*）式代入上式，得 恒成立，然后再 2a旳x f(T 他“耳一) 得*2a =叫-l) ln2a-(ax0-1 卜In冷 根据基本不等式的性质，即可求出结果. 试题解析： 、1 - n B(x)= - (i)， 4 1 1- n f(廿 1 x 1=-1 由 X ，得 ， 4，., = 5 -在卜

3、严:处的切线斜率 易知函数沪f何询刘的定义域为(0,+ )， 1 2* + 2 - m(l - n) + - I 1 m(l - n) x + (2 - m(l - n)x +1x 31 (X + I1 x(x + 1) (x + 112 1 K + 2 - m|l n) + 由题意，得 )， 的最小值为负, k(x) = aln2a - alnx- a + x a 1 ax k (x)= 0 在区间：.内单调递减，且 内必存在实根，不妨设 k(xD = aln2a alnx a += 0 % ，可得 1 lrx0 =+ In2a aKo ，(*) 则卜在区间 内单调递增，在区间 内单调递减,

4、 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 =MkJ h(K0) = (ax0 - 1)-In2a -(壮-1)1 将(*)式代入上式，得 h(xJ = ax0 +2 % ；(2) 答案第3页，总18页 恒成立, ,存在满足条件的实数 ，且 1 1 咛-22 axo = 又 % ，当且仅当 根据题意 ，取等号, 1 1 T In = In2a 暫代入(*)式，得 a =2a 即 点睛:对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，可以求函数最值 的方法，一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，然后再构造辅 助函数(刈，利用恒成立 ；恒成立卜以心丁彳

5、，即可求出参数范 2. (1)当 时，在* 8) 上为减函数；当d 时， 的减区间为 ，增区 间为a ;(2)证明见解析；(3) 一个零点，理由见解析 【解析】 试题分析：(1)讨论函数单调性，先求导 , 办 1 ax-1 一- x x x ，当no时町uo,故仪)祖a +网 上为减函数；当 时，解可得 ，故.的减区间为 (0/-) ，增区间为日 根据2-J + ，构造函数，设h(x)= 时，所以 hhWf-X是增函数，A亡-亡AO，得证；(3)判断函数的零点个数，需要研究函 本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考 数的增减性及极值端点，由(1)可知，当|a 时，臥町是先减再增的函

6、数，其最小值为 I 1 1 1 gH = aln- + a = a(ln- + 1) 0,g(e 0) 0，且 -a 1； e - 1(Oi -)(-+ 当b时，解飢町可得日，故霞刈的减区间为日，增区间为a (2)j 士卡，设 h町=，则 hx) = eK - 2k， 易知当卜寸时， 卜工;一h : r. 匚. (3 )由(1)可知，当 时，陈寸是先减再增的函数， r 111 g(_) = mln- + 5 = a(ln- + 1) 0 e _0, g(e a)0,且 a，故貳刈恰有两个零点5勺， .当k F (6 xj时，*(町二專.当k仪叫)时，f(x二gMvD .当疋丘仪严时, W =

7、g(x)0 答案第22页，总18页 在两点分别取到极大值和极小值，且 1 = (ax. + llnx. - ax_ + 3 = lnxn + + 2 11111 Inx, .Inx1 Orf(x) = a(x - -) - 4lnV(x) = al + -)-= 试题解析：（1）由题 xv2 x 当叶0时，知f（x）0,则仙是单调递减函数; 当卜“时，只有对于 “，不等式 0酝+ 4沁0恒成立，才能使 於）为单调函数，只需 “丄曲役0，解之得。壬1或1，此时比1. 综上所述，的取值范围是J ：，： -7 h bb * x2 + t)K + b f(x) = bhx - x - x0J (x)

8、= -1 + =- v 2 2 (2)冥 ，其中 b1 f(刈中砒=f(e) = b-i e * - = (1 -)b - e +. b2 + 4b (,心 2 + 0 - 71 取大值 b + b2 + 4b 若2 即 2 e O e2+l b + 4b e 上为增函数，在 上为减函数, 24 b b e - - 0, ee b 一 二, I eJ-eZ I2 e ( i b 2b- e 0, b . 2 皀 ，所以 2ez-l 要使在 则 恒有节八门恒成立，则必有 由于 - l) = e3*3e? + 1 e -1 / J e b E （，+ g） 综上所述，存在实数i 1，使得f刈0恒成

9、立. 【点睛】导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1 ）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2 ）若 -就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 咽加，若侦“恒成立 （3 ）若ff（X）g（X）恒成立，可转化为f（心in肌. 4. ( 1)当莖 时，辰在 递增； （2）见解析. 【解析】试题分析 -白-肘-2 _a + va-2 _a_Ja2-2 t + 占一2 Ir1 2 2 上单调递减，在2 上单调 ”二“时，-在区间匕“叱上单调递增; （1 ）先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究 二西+2ax + l在（-比+网）上零点情况：当方程无根

10、时，函数单调递增；当方程有两个相等 实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定 单调区间，（2）先由（1 ）知 ，且两个极值点 满足 1 Xh + X, =-=- 孔再代入化简 fi: 2 ) Ina - 得4 1 m2 -+ 0 2 2 ,利用导数研究 a1 In2 h=-Ina - - + 422单调性，最后 根据单调性证明不等式 试题解析：（1）函数的定义域为 1 2x + 2ax+ 1 g(x) = 2x + -=- 记皿刈=*仃2白）（+1，判别式心=4亠8 时, 恒成立，汕 ，所以：在区间 上单 调递增 ，记 ：心有两个不同的实数根 ，显然 a

11、 (i)若 0 0j3,曲xT 图象的对称轴2= 1 0. 两根在区间(0,-a)上,可知当x-0时函数h(x)单调递增，h(刘Ah制0,所以g(x)0 , 所以 在区间计上递增. a (ii)若“总，则hb) = 2 J + 2ax + 1图象的对称轴 x =- - 0 ，、：”-:.-:.，所以 叫丑，当叫 从9时，h凶co,所以g(x)0,所以徵)在(盼上单调递增 综上，当 於沁时，-没有极值点，当 dh寸，：有两个极值点，且 ln(x 十 a) = a -1 - In2 2 S(Ki)+ g(*J a1- 1-In2 十呂仪J =: + IM 十 a) + k2 + 2 a a a -

12、.1 = g( -) = + 1- 242 a*1 In2 h二Im - + 422 g%* 酣Jxi + x2a21 In2 剧)=Ina - - + 2242 2 a 1 a -2 hg = =o 2 a 2a ，所以 世司在时单调递增, L 2r 1 In2 h(J2) = - lnJz- + -=0 422 ，所以 ：， 所以 g() 2 5. ( 1); (2); (3)详见解析. 【解析】 试题分析：(1)根据奇函数定义可得lrteK + =* 0对冬1恒成立，再根据一次函数单调性可得只需端点处函数值非负 In* f Jk)= 即可，解不等式组可得T的取值范围(3)研究方程根的个数

13、，只需转化为两个函数 X， =x -十 m 交点个数 Inx 先根据导数研究函数K图像，再根据二次函数 试题解析： (1)1门二是奇函数，贝则.比7；恒成立, 上下平移可得根的个数变化规律 f - KX tW武X 24 怛 + a)(e + a) - 1，即 1 + ae +ae + a = 1 (2)由(1) 知fW = *，.g(Jt) = Xx + Sinx I r _ CO$x 又T在I ：l上单调递减， i h i： ， If JI I 且月对-处i】恒成立, 即帯煮对恒成立, /在上恒成立， - k - Bnl+ kt + 1 ， 即W+iR+dm +1芒o对入宁恒成立， t+10

14、 令h(町=|t + 1|入十卡sinl + 1(入牛 1)， 1 + t2 + 5inl 丰 1 2 t。恒成立， Inx 2 =x *+ m （3）由（1 ）知，方程为 当卜三黝临时， 在算吋上为增函数; 当xe*网）时，.1凶在|上为减函数; 当时，以* = f 阴=，而 Mx） = lx-e）2 + meJ， .函数fjx）、fx）在同坐标系的大致图象如图所示， 7 1 0 7 1 me2 + - 当 I 1 m * e - e ，即 ? 1 m * e - e ，即 当 当 即 2 1 m 0,所以 x xex ex 2 a 0，为了求a的范围，所以需要求 xex ex的范围，可通过

15、求导数，根据 单调性来求它的范围，求得范围是xex ex1，所以2-a 1，所以求得a的范围 试题解析：(1)当 a=-1 时，f(x)=e X-x+2，f (x) ex 1， 令f (x)0 x0;令f (x)0 x0 因为x 1,1,所以f(x)在1, 0单调递减；f(x)在0，1单调递增。 f最小值 (x)=f(0)=1 x (2) f (x) e a 当a1时，因为x ，ex 1，所以f ,(x) ex a 0恒成立， 函数f(x )在(0,+ )上单调递增 当 a1 时，即 ln( a) 0，令 f ,(x) 0 x ln( a), 令f，(x)0 x ln( a), 因为x 0 f(x)在(0,1门(a)上单调递增,在(ln( a)，+ )上单调递减。 综上所述：(1当a -1时，函数f (x)在(0,+ )上单调递增 (2) 当a 1时，函数f(x)在(0,ln( a)上单调递减，在|n a 单调递增 (3) 花必 (0,),且为 X2,都有X2 f(xj a % f(X2)a 成立， 即空上L2成立， x1x2 f (x) a 构造函数 h(x)-, x1 x2都有