海天考研--专项突破填空

1、已知f=2,则lm f(3 -h) -f(3) 2h 设彳 x =1 t2 y =cost ，则 海天考研-专项突破 填空题（高数部分）数三 专用 （周蔷编辑整理） 考研高数三卷面的第二部分为填空题，标准化题量6题, （其中高数4+线代1+概率1） 对历年考研真题进行统计，其中填空部分高频考点如下： 涉及一元函数导数运算的问题 涉及极限相关的冋题 . 涉及多兀函数相关冋题 四. 涉及常微分方程的问题 五. 涉及积分学的问题 六. 涉及幕级数的问题 七. 与经济联系的相关问题 八. 杂题（涉及函数性态方面诸多零碎知识点） 一、一元函数导数运算在填空题部分主要涉及： 1. 导数的极限定义表达式及其

2、应用 2. 各种（）类型函数求导运算（一阶，二阶）其中要求对求导公式以及运 算法则，复合函数运算法则等做到极其熟练。（题型涉及求1.导函数，2. 在某点处导数值） 3. 拓展到抽象型函数的求导，高阶导数，N阶导数的递推，其中熟记一些重 要结论和命题，以及总结一些运算的技巧 4. 导数的几何意义，涉及在某点处切线，法线的求法 5. 综合其他高等数学章节知识 真题演练： 若 f （t） =lim t（1+l）2tx,则（t） =. x (5) 设函数y =y(x)由方程exHy + cos(xy) =0确定，则业= dx d 2 (6) 2 xcost dt =. dx 3 J. （2）设 f （

3、x）连续且，L f （t）dt =x,则 f =. d /2 (7) sin(x-t) dt = dx 0 t2 (8)设 x=e_,y = J0ln(1+u )du,求 d2y t _0 (9) 设函数y = y(x)由方程y = 1_xey确定，则dyL_o = dx1 _ (10) 设 y =(1 +sin x)x，则 dy x= . (11)设y = y(x)是由方程xy eyx 1确定的隐函数，则 2x t2 (12)设 f (x) et dt 1 , y 二 f (x)的反函数是 y 二(x)，则(1) = (13) 曲线sin xy In y-x二x在点0,1处的切线方程为 .

4、(14) 曲线y = In x上与直线x + y = 1垂直的切线方程为 . (15) 设函数f (x)在x=0点的某个邻域内连续，且|计里=：2，则曲线y=f(x) 7ex -1 在x=0处的法线方程为. (16) x - I 曲线0 y =t2 ln(2t2) 1- t 丄2 9 e U在(0, 0)处的切线方程为 (17) (18) ”八、X 二 cost cos21 t ,宀十 二 曲线 1 lim (cos x)ln(1*)= x_0 (8) lim 皿山= x0 1 - cos x (9)设f (x)在x =0点的某邻域内连续，且f (0) =1，则 x t dt.(u)du li

5、m x 0 (10)若函数y =f(x)处处二阶可导，且点(p, f(p)是曲线y -0 2 sin x -f(x)的拐点， 则 lim lim f(p k h)-f(p k)-f(p h) f(p) 0 ILh0kh kh (11 )已知函数 f(x)连续，且 lim 1 一 CSxf (x)二 1，则 f(0) = t (ex -1)f (x) (12) limarCtanxsinx X 2 (13)当 x 0时，：(x) =kx2与：(x) = .1 xarcsinx _._cosx是等价无穷小, 1 2x x 2 (15) lim n_sc 1 0e sin nxdx 二 (16) 设

6、a为非零常数，则lim(耳)x =. x a 1 2 一 (17) 已知当x_. o时,(1 ax )3 -1与cos x -1是等价无穷小，则常数a = (18) 2x 极限lim xsin x +1 (19)若 lim 罗 x (cosx _ b)二 5，则 a 二， b = xT0ex _a (21) lim x : X3X21 2xx3 (sin x + cos x) = (22) cosx e e lim x 0 31 x2 -1 三、多元函数微分学在填空题部分 涉及：1.二元具体型或者抽象型函数在某点处的一阶或二阶偏导数， 2. 二元函数具体型或者抽象型在某点处的全微分， 3. 多

7、元抽象型函数(高频：二元)的高阶偏导数，以及相关涉及偏导数的 代数式计算或者化简 真题演练： (1)由方程 xyz x2 y2 z2所确定的函数 z=z(x,y)在点(1,0, _1)处的全微分 dz =. -.2 设u =esin二则一在点(2,-)处的值为 . ycxcyn :2 设z =丄f (xy) + y(x + y), f,护具有二阶连续导数，则上兰=. x玫 设f (u, v)为二元可微函数，z = f (xy, yX)，则兰= 农z 设函数f u,v具有二阶连续偏导数，z = f x, xy ,则 (1,2) (7)设z = f(xy,-)，且f有二阶连续偏导数，则 x j2z

8、 .:xy (8)设函数f u,v由关系式f xg(y) , y= x - g(y)确定，其中函数g(y)可微, 2 f 且 g(y) =0，则一 占朋v (9)设二元函数 z =xex4y +(x+1)ln(1+y)，则 dz (1,0) (10 )设函数f (u)可微，且 1 . 2 2 f 0,则z = f 4x- y 在点(1,2)处的全微分 2 dz ,2 (11)设f (u, v)是二元可微函数, z = fd),则三一宀 x y rx ry Pz (12)设 z = (x + ey)x，则竺 Ex (1,0) x (13)设函数 z = (1 + x)y，则 dz|(10)= y

9、 四、常微分方程在填空部分主要涉及： 1各类微分方程的解法(一阶，二阶) 2非齐次微分方程的解的结构 3反问题，通过通解或者特解来构造微分方程 4. 熟记二阶微分方程的特解相关设法，以及通解结构 真题演练： (1)方程ysinx = ylny满足科一 =e的特解是 (2丿 微分方程y + y tan x =cos x的通解为y= 微分方程y“2y +2y =ex的通解为. 2x (4) y“4y =e 的通解为 y = 微分方程xy ” +3厂=0的通解为 . 设y =ex(asin x bcosx)(a,b为任意常数)为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解 该方程为. yy “ + y Q =

10、 0满足初始条件 y(0) = 1,y IO)=丄的特解是. 2 (8) 已知 f (ex)=xe*,且 f=0,则 f(x) = (9) 微分方程y = y(1 x)的通解是. x (10) 二阶常系数非齐次线性方程y ” 4y+3y = 2e2x的通解为y=. (11) 微分方程xy y =0满足条件y 1 =1的解是 y. (12) 若二阶常系数线性齐次微分方程y ay by =0的通解为y二G Qx e： 则非齐次方程y ：ayby =x满足条件y 0 = 2, y 0 =0的解为y二 (13) 设二阶常系数线性微分方程y 二:詡ly = e的一个特解 为y =ex +(1 +x)e，

11、则此方程的通解为 . (14) 二阶常系数非齐次微分方程y-4y+3y = 2e2x的通解为y=. (15) 微分方程y =. y(1 X)的通解是 x 1 (16) 设 f (x)是连续函数，且 f(x)=x+2(0 f (t)dt,则 f (x) =. (17) 微分方程y + y = e=cosx满足条件y(0)=0的解y= (18) 3阶常系数线性齐次微分方程y-2y+y-2y =0的通解为y= (19) 微分方程(y+x2e心)dx xdy = 0的通解是y=. (20) 微分方程x/ + 0满足初始条件y(1) = 2的特解为. (21 )微分方程xy，y =0满足条件y(1)=1

12、的解y二. (22 )微分方程 女=_()满足y 乂三=1的特解为_. dx x 2 x (23)微分方程xy+2y = xlnx 满足y(1) = 1的解为. 9 五、积分学在填空题部分主要涉及： 1. 定积分计算(重点：特殊类型函数，或者应用特殊方法求解的定积分题型，奇 偶性,周期性，熟记一些重要结论，以及公式)， 2. 定积分几何意义(求面积，旋转体体积)， 3. 广义积分计算 4. 二重积分(交换积分次序，特殊形式的积分函数的计算，选取合适的坐标系， 对称性) 5. 反问题(通过积分值求参数) 6. 简单综合(其他相关章节知识点融合，比如：极限等) 真题演练： 2 2 y2 (1)积分

13、 J0 dx e dy的值等于 2 1 1 (7)1 訂 dx = (8) 由曲线y=l nx与两直线y=e_x及y=0所围成的平面图形的面积是 0 (9)若函数f (x, y)在D : x 2 设区域d为x2+y2兰R2,则(冷+)dxdy= D a b (4) 2x _x2dx= 01 _y 交换二次积分的积分次序 ：Jjdy J? f (x, y)dx = dx xln2x y2 _ 4上连续，且 xy . . f(x, y)dxdy = f (x, y) -2，贝V f (x, y) = D 1 1 2 (10) dy e dx= ，0 Ly x (11)已知曲线的方程为f(x) (1

14、 - |t|)dt，则曲线y二f (x)与x轴围成的平面图形的 4 面积为 (13) (12 )广义积分 xdx 2 2 (2 -x )1 -x y 1 Jx(1 + In2 x) 绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为 (18) 1x+x3 设a广弋 2、2 则 2 f(X)dX = (19) 设 f(x)= (20) (21) xe x2 ，圆 设 D =( x, y) x2y2 0-he (15) 设函数u, x 二 u，则 xf(x)dx = 2- (16) 设平面曲线y二-1，直线X = 2及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转所成的旋 转体的体积为 (17)设位于曲线 (e空x ： ：)下方

15、，x轴上方的无界区域为 G,贝V G 2 、 六、幕级数-填空题部分的幕级数考题主要涉及 1. 考察收敛半径，收敛区间，收敛域的求法 2. 对于某个给定的幕级数，考察其在某点处收敛发散的情况 3. 求和函数，拓展到求某个具体数项级数的和 真题演练： (1)幕级数 J-x2nJ的收敛半径R=- ni2 +(-3) 设幕级数 h anxn的收敛半径为3,则幕级数nan(x-十的收敛区间为 n去n唱 qQ 已知幕级数xan x 2 -在x = 0处收敛，在x二-4处发散， n =0 则幕级数 Wan(x-3$的收敛域为 . n =0 qQ (4)级数Z(2n +cos nkn的收敛区间为 . n =1 (6 )幂级数二n的收敛半径为 n 4 n f x 3 (7 )求幕级数的收敛域 n4 n 3 七、涉及经济问题 真题演练: (1 )设某产品的需求函数为 Q=Q(P),其对应价格P的弹性=0.2，则当需求量为10000 件时，价格增加1元会使产品收益增加 (2)设某商品的收益函数为R(p)，收益弹性为1 p3，其中p为价格，且R(1) =1，则 R(p)- 八、杂题(涉及函数性态的诸多知识点，渐近线方程，极值最值，单 调性，凹凸性，连续性，间断点，驻点，拐点，零点，切点) 真题演练: (1)设函数 f (x)二 X2 + 1,