正弦定理与余弦定理练习题

1、正弦定理与余弦定理 A. 30 B .30 或 150 C .60 D . 60 或 120 2. 已知锐角厶 ABC的面积为 3品,BC=4, CA=3 则角C的大小为（） A. 75 B .60 C .45 D .30 1 已知 ABC中，a=4, b=4j3, A=30$ 贝U B等于() 3.已知右ABC中，a,b, c分别是角A, B,C所对的边，若（2a + c）cosB + bcosC = 0,则角B的大小为（ A. ji 6 2 : 4. 在 ABC中, a、b、 c分别是角A、B、 sin C =2, sin A C的对边若 b a = 3ac，则三 B =() A. 300

2、 B. 60 C. 1200 D. 1500 5. A. 在厶ABC中, 105 B, C的对边分别是 B. 60 C. 15 D. 105 或 角A, a, b, c.已知 a=5g：l|, c=10, A=30，贝U B等于( 15 3 7斥 6.已知心ABC 中，BC =6, AC =8,cosC = ,U 心ABC 的形状是（） 96 A. 锐角三角形B 直角三角形 C.等腰三角形D 钝角三角形 7.在|MBC中，内角代B,C的对边分别为a,b,c，且B = 2C ,|2bcosC 2ccosB = a，则角A的大小为（ A. 9. A. 锐角三角形 在AABC中, 1 ，那么cosC

3、 = .不能确定 ） B. 4 10 .在 ABC 中， 等腰直角三角形 2 C. 2 D. 1 3 3, 4 sin A:sin B :sin C =3:2:4 B .直角三角形 C .钝角三角形 D （ a, b, c分别为角A, B, C所对边，若a =2bcosC，则此三角形一定是 A. A. JI B. JI C. 31 D. 1 2 3 4 6 2 2 2 (2) 若b=2,A ABC的周长为2 ；+2,求厶ABC的面积. ABC A,B,C a, b,c a二bcosC csinB B b = 2 ABC 21在 ABC中，a, b, c分别是角A, B, C的对边，已知3 b2

4、 - c3a2 2bc (1) 求 si nA ; 3c,求 b, c. 22 22.已知 ABC的内角A , B , C的对边分别为a , b , c，且满足sin(2A十B) =2+2cos( A + B). sin A (I)求b的值； a (n)若 a =1, c = 7，求 ABC 的面积. 23在 ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a2 , c5 , cosB = 3 . 5 (1) 求b的值； (2) 求sinC的值. 二、填空题 24已知在 AABC 中，C=1|,10,川工石0。，则 cos =_. 2 2 2 25.AABC中，若 a =b +c -bc，

5、贝y a= a3.B =王_。抑- 26 .在AAHC中，角代B,C所对边长分别为a,b,c，若 帝斗，则b=. 27在2C中，已知- 4 3，丄C =4，三=30，则.7 C的面积是. 28 .在 ABC中，角A , B , C所对的边分别是a , b , c，设SABC的面积，S 3 (a2 b2 - c2)，则C的 4 大小为. 29 .在：ABC中,已知 ab = c_，则这个三角形的形状是 cos A cosB cosC 参考答案 1. D 【解析】 试题分析: a b sin A sinB sinBSinA/3sin3l4 I3 a442 O ab，” B a A=30 96 4

6、二 B =60 或 B =120，选 D. 考点：正弦定理、解三角形 2. B 【解析】 试题分析：S出BC =*AC BC sinC = 丄 3 4sin C= 3 ,则 sinC 卫 ，所以 2 2 C = 60，选 B. 考点：三角形面积公式 3. C 【解析】 试题分析：由已知和正弦定理得 (2si nA+s in C)cosB+s in BcosC=0,展开化简得 2s in A cos B +si nA = 0,由 12兀 2，B 一 考点：1.正弦定理；2.两角和的正弦公式；3.已知三角函数值求角 4. C 于A为三角形内角，所以 A丰0,sin AHO,所以cosB =- 【解

7、析】 ,选C. 试题分析：由正弦定理可得，sin C = =2斗c = 2a ,又b a2 = 3acn b la ,由余弦定理可得， sin A a 2 2 2 2 c a +c b-2 a1 cos B2 2ac4a2 又 BE （0,兀），所以 ZB =120“ 考点：1.正弦定理；2.余弦定理. 5. D / 0V CVn, / C=45 或 135, B=105 或 15, 故选D. 【点评】本题主要考查了正弦定理的应用解题的过程中一定注意有两个解，不要漏解. 6. D 【解析】 试题分析：由余弦定理得 22275 AB =628 -2 6 825 ,所以最大角为B角，因为 沁卫25

8、一0 2疋6疋5 所以B角为钝角，选D. 考点：余弦定理 【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之 间的关系，从而达到解决问题的目的其基本步骤是： 第一步：定条件 即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向 第二步：定工具 即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化 第三步：求结果 7. A 【解析】 试题 分析：由正弦 定理得 2sin BcosC 2sin C cos = sin A = sin (B + C)=sin BcosC + cosBsin C 2222 2 tanC JtanC3 33

9、sin BcosC =3sinCcosB,sin 2CcosC=3sinCcos2C,2cosC =3(cosC sinC ) TETEJI QB=2C,.;C 为锐角，所以 C=-,B=-,A=-，故选 A. 632 考点：1、正弦定理两角和的正弦公式；2、三角形内角和定理 8 C 【解析】 2 + b? _ 2 试题分析：由题可根据正弦定理，得a2+ b2c2,. cos C = -一0,则角C为钝角 2ab 考点：运用正弦和余弦定理解三角形 9. D 【解析】 试题分析： a2 + b2 c21 sin A:sin B:sin C =3:2: 4/P a: b: c =3: 2: 4 ”

10、 cosC = 2ab4 考点：正余弦定理解三角形 10. C 【解析】 试题分析：在给定的边与角的关系式中，可以用余弦定理，得 2 2 2 a +b -c a = 2bg 2ab 那么化简可知 2 2 2 2 2 2 所以 a =a +b c , 即卩b =c , b=c，所以三角形 ABC是等腰三角形.故选 C. 考点：余弦定理判断三角形的形状. 11 . B 【解析】 试题分析：根据二倍角的余弦公式变形、余弦定理化简已知的等式，化简后即可判断出 解：co4，诗(1+cosB)签， ABC 的形状. 在厶ABC中，由余弦定理得, 6 化简得，2ac+a2+c2- b2=2a (a+c),

11、则 c2=a2+b2, ABC为直角三角形, 故选：B. 12. C 【解析】 sinB的值，由b小于a，得到B小于 B的度数. sinB= 试题分析：由A的度数求出sinA的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出 A,利用特殊角的三角函数值即可求出 a - -b 得 sinA sinB 1寸 由正弦定理 解：T A=60,a=4:, b=4:, / b b，/ AZ B,./ B= 6 考点： 14. B 【解析】 2 2 试题分析： bcosC ccosB 二 as in A sin BcosC cosBsi nC 二 si n A sin B C 二 sin A ji sin A =1.

12、A二，三角形为直角三角形 2 | 考点：三角函数基本公式 15. A 2 A be 小2 A b +c b A b cos 2cos 1 : ;1 +cosA= - +1= :-cos A 2 2c 2c c c c 【解析】试题分析: sin B sin A C V-.二 cosA =: sinAcosC =0 cosC = 0,C ，选 A sin C sin C 考点：正弦定理，二倍角的余弦，两角和的正弦 16. B 【解析】试题分析: Q sin C 二 2sin A c = 2a Q cos B = a2c2 -b2 a2 c2 -4 acsin B J 1 2 15 24 2ac

13、2ac 考点：正余弦定理解三角形 17. C 【解析】 15 2 4 7 试题分析：由余弦定理可得 cos A = ,2 2 2 b ca 2bc 2 1 c 3 2c 考点：余弦定理解三角形 18. (1) 2; (2) 3. 【解析】试题分析：(1)先运用余弦定理求得 c/ 2b 3 ，进而求得 再运用正弦定理求 sinC的值即可 11 获解；(2)利用三角形的面积公式建立关于b方程求解. 试题解析：(1)由余弦定理可得 a2 =b2 +c2 _2bcx 2 2 ，即 sin C =-；=， 75 则 cosC 所以tan C二2 1.c 12血门 v2门 一bcsin A =3 ，故 x

14、b 汇=3 2 232 (2)因 即b=3 b2 _a2 =c2代入可得 ，再代入 b2a2 丄2 可得 a卫b 即 b2 -a2 +c2 =V2bc，将 2 3 2 3 考点：正弦定理余弦定理等有关知识的综合运用. 19. (1) B= (2) - 3 3 【解析】解：(1)由正弦定理可得:品敲护8記 申1皿, abb tanB= _ / Ov BVn, (2)由余弦定理可得 b2=a2+c2 - 2accosB, 即 a+c? - ac=4 , 又b=2,AABC的周长为 22, a+c+b=2 . +2, 即 a+c=2：;， csinB= 1 V3=2/3 2 3 2=5 【点评】本题

15、考查了正弦定理、余弦定理、三角形周长、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题. 20. (1) B=1. 4 【解析】试题分析： (2) 2 1 (1)由题为求角，可利用题中的条件a = bcosC csinB，可运用正弦定理化边为角, 再联系两角和差公式，可求出角B （2）由（1）已知角B ,可借助三角形面积公式求，先运用正弦定理表示出所需的边，再利用正弦三角函数的性质, 化为已知三角函数的定义域，求函数值得最值问题，可解。 试题解析.（1）： a=bcosC+csinB, 由正弦定理可得 ：sinA=sinBcosC+sinCsinB, / sin ( B+C =sin

16、BcosC+sinCsinB ，即 cosBsinC=sinCsinB , v sinC 丰 0, sinjj- cosB=sinB , tan B1, B0,二, B=.。 cosB4 兀3兀 3兀 3兀） （2）由（1）可得 A C -二- B 二 , C = -A,A；-I0, 44 4 I 4丿 由正弦定理可得： a cb2 =2 2 , sin A sin C sin B o-二 sin a = 2、. 2sin A,c = 2、一 2sin C /2 sin AsinC =2/?sin Asin ( - A I 14 丿 2、2sinA 二 I2 cosA sin A 2 = 2s

17、in AcosA+2sin2 A=sin2A+1 cos2A= J2sin(2A寸)+1 , (ji )( 5 二 、，小兀Ji 2A- | I , 二当 2A -二 4 )I 4 4 42 （3兀） AO， 即A 叮时，S ABC取得最大值为.2*1 考点：（1）利用正弦定理进行边角互化解三角形。 （2）利用正弦定理进行边角互化及正弦函数的性质。 2.2 3 【解析】试题分析：（1 ）将已知条件变形结合余弦定理可得到 cosA,进而可求得sinA ; （2 ）由余弦定理可得到关于 Sbc =1 acsin B = * x2/2sin A x2/2 sinC sin 寸 b,c的关系式，由三角

18、形面积得到关于b,c的又一关系式，解方程组可求得其值 试题解析： 2 2 2 (1) v 3 b c =3a 2bc, .2 22. bc-a1 = 2bc3 1 cosA =- 又 /A是三角形内角 3 2旋 si nA =. (2) 3 bcsinA =2 , bc= 3 2 2 2 3 a = 2 ，由余弦定理可得 2 b2 +C2、 (+1 12丿 / bc0,.联立可得 32 1 =b2 c2 -2bc 3 b =2c =1. 2 考点：余弦定理解三角形及三角形面积求解 22. (I) b=2 ； (II ) a 【解析】 试题分析: (I )利用两角和的正弦、余弦公式，化简 sin

19、(2A +B) =2 +2cos(A + B)，得到 sinB = 2sin A ,利用正弦 sin A 定理得到b =2 ； (II )由(| )可求得b=2，先求出一个角的余弦值，再求其正弦值，最后利用三角形面积公式求 面积. 试题解析: 解析：(I) sin (2A + B)=2+2cos(A+B), sin A sin(2A B) =2sin A 2sin Acos(A B), sinA (A B) =2sin A 2sin Acos(A B), sin(A B)cos A-sin Acos(A B) = 2sin A , b a - sin B =2sin A , b =2a , ,

20、 cosC = 2 2 2 a b -c 1471 2ab Smbc JabsinC12 - 3 2 2 2 ，即 ABC的面积的 考点：三角函数与解三角形 23. (1)17 (2) 17 【解析】试题分析：由三角形余弦定理 2 2 2 b二a c -2accosB，将已知条件代入可得到 b的值；(2)由正弦定理 b c sin B si nC ，将已知数据代入可得到 sin C的值. 试题解析：(1)由余弦定理 b2二a2 2 c2 -2accosB，得 b2 =4 25 -2 2 517 , b =、17 3 4 bc 17 5 W17 sin B，由正弦定理 ,sin C = 5 5 sin B sin C 4 sin C 17 5 (2)V cos