比例线段与相似性质和判定

1、 j比例线段与相似性质和判定 考纲要求 内容 基本要求 略咼要求 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简 单的推理和计算；会利用三角形的相似解 决一些实际问题 知识讲解 比例的性质 a c b d a c b - a c b d a c b d a c b d a c b d a c b d 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. ad bc,这一性质称为比例的基本性质，由它可推出许多比例形式 c a b a b b a b b -J -（反比定理）; c b（或-）（更比定理）; d b b a c d -（合比定理）; d d c d （分比定理）; d

2、 c d c d （合分比定理 ）； （b d n n 0） m -（等比定理）. n b 二、成比例线段 1比例线段 对于四条线段a , b, c, d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如卫 b d （即a:b c:d ）,那么这四条线段a , b , c, d叫做成比例线段，简称比例线段. 2 比例的项 在比例式a （ a:b c:d ）中，a , d称为比例外项，b ,c称为比例内项，d叫做a,b , c的第四 b d 比例项. a b 三条线段一 - （a: b b :c）中，b叫做a和c的比例中项. b c 3 .黄金分割 * ACB 如图，若线段AB上一

3、点C把线段AB分成两条线段 AC和BC （ AC BC ）,且使AC是AB和BC的比 例中项（即AC2 AB BC ）则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中 毕业班解决方案初三数学上匕例线段与相似性质和判定教师版Page 1 of 11 5135 AC 丁AB 0.618AB，BC TAB 0.382ab，AC 与 AB 的比叫做黄金比. 三、平行线分线段成比例定理 1 .定理 两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例. 2 .推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 3. 推论的逆定理 如果一条直线截三角形的两边（或两边的

4、延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角 形的第三边. 4. 三角形一边的平行线性质 平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成 比例. 如图，AB II CD II EF，则 AC BD , CE DF 下，AE称为全，上述比例式可以形象地表示为 CE DF AC AC BD， 上上 下下， AE BF， AE 下 下 上 ，上 上， 全 A LI 5 1 CE BD D匸.若将AC称为上，CE称为 BF 上下 全，全 B D E F X ”字型.则有 当三条平行线退化成两条的情形时，就成了 BC II EF AE AF , AE A

5、F EF . EB FC AB AC BC A ”字型, 学案提升 考点一：比例的性质 ?考点说明：如果要考查多以选择和填空为主，重点掌握等比性质 【例1】若X y Z，则* y 3Z的值为 3 45 3x 2y z 【答案】25 4 毕业班解决方案 初三数学上匕例线段与相似性质和判定教师版 Page 2 of 11 【答案】 4 【拓展】若a b a c b c k，则k的值为 cba 【答案】 2或 1 提示：等比性质， 若 a b c 0 时，k 空-_c)2，若 a b c 0 ,则 k 1 a b c 【例2】 已知x :y:; z 1:3:5 ，求 3y z的值 x 3y z 【解

6、析】 解法一: 设 x y z k，贝U x k , y 3k , z 5k x 3y z k 9k 5k 5 1 3 5 x 3y z k 9k 5k 3 解法二 :由 x :y: z 1:3:5 得 y 3x, z 5x x 3y z x 9y 5x 5 x 3y z x 9x 5x 3 【答案】 5 3 【巩固】 已知： x y z 求 x y 3z. 2 3 4 3x y 【解析】 设- y z k x 2k,y 3k,z 4k，代入 x y 3z 中得原式11 2 3 4 3x y 3 1，则 4 ace d f 【解析】由-及比例的性质可知: b d f 4 -e 1 也可用过渡量

7、”来求! b d f 44 【答案】11 3 考点二：黄金分割 ?考点说明：如果要考查可能出现在22题之中，需要掌握黄金分割的定义 【例3】如图所示，乐器上的一根弦 AB 80 cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点 C是靠近点B 的黄金分割点（即 AC是AB与BC的比例中项），支撑点 D是靠近点A的黄金分割点，贝U 【解析】 【答案】 【例4】 AC cm , DC cm 点C是靠近点B的黄金分割点， AC:AB 又点D是靠近点A的黄金分割点, DC AC BD AB 80.5 80 40.5 40 80 .5160 专，即AC专AB 40.5 40 , 80 40 540 , 80

8、BD 80.5 160 如图所示，在黄金分割矩形 ABCD AB BC 中，分出一个正方形 ABFE，求匹 2CD 毕业班解决方案 初三数学.比例线段与相似性质和判定.教师版 Page 3 of 11 AED 【解析】/ AB AC 5 1 .BC2 2 AB5 1 BC AB 2 5 1 AB 5 1 BC AB BC BF FC , AB .FC 5 1 【答案】 CD CD 2 FC 5 1 CD 2 考点三：平行线分线段成比例定理 ?考点说明：平行线分线段成比例定理的考查多数以选择或填空的形式展开 【例5】如图，DE II BC,且DB AE，若AB 5, AC 10,求AE的长. 【

9、解析】 Q DE II BC AD AE AD AE AB AC DB EC AB 5, AC 10, BD AE AD AB 1 AD DB AEAE AE AC 2 ，AE EC AC AE 10 AE AE 1 10 AE 10 AE 2 3 【答案】 10 3 【例6】 如图, 已知 DE II BC ,EF II AB，则下列比例式中错误的是 A . AD AE B. CE EA AB AC CF FB C. DE AD D. EF CF BC BD AB CB 【答案】C 毕业班解决方案 初三数学.比例线段与相似性质和判定.教师版 Page 4 of 11. 2DE , AA 【解

10、析】由DE II BC，可得AD AE ，故A正确由EF II AB ,可得 EF CF CE AB AC AB CB CF 确.由DE II BC，可得 DE AD ，而 AB BD , C错误. BC AB EA，故D , B正 FB 【拓展】如图, ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P 若AD 求证：AP 3AB 【答案】过点D作PC 的平行线，交AB于点 H . Q HD II PC,AD 2DEAH AD PH DE 2 AH HD II PC,BD BH BD CD1 PH CD BH PH AP AH PH 3PH,AH BH AB 2PH AB

11、BH PH AP 3PH 3AB 老师可引导学生通过作如下辅助线来证此题： 2PH 2BH 3, AC 9，贝U AB的长为 【例8】 如图，在 OCE 中, AD II BE、BD II CE，若 OA 【答案】 3 提示：设 AB x , OA 则 OB 3 x, BC 9 x, OA AB 代入即可求得 OD OB DE BC 【例7】 已知，如图边长为 2的等边 ABC , DE II BC 【答案】丄 2 毕业班解决方案 初三数学上匕例线段与相似性质和判定.教师版 Page 5 of 11 求证：BC AB 1 BP BQ 【答案】证明过程略。 提示: BC DQ AQ AQ AB

12、AQ AB BQ BP PQ BQ， BQ BQBQ BQ 【例9】 已知，如图在平行四边形 ABCD , P为BC上任一点，连接 DP交AB的延长线于Q ABQ 考点四：梅涅劳斯定理 ?考点说明：梅涅劳斯型在选择和填空中考察较多, 需要熟练掌握该定理以提高解题速度 梅涅劳斯定理：如果一条直线与 ABC的三边 AB、BC、CA或其延长线交于 F、D、E点，那么 AF BD CE FB DC EA 证法一：如左图, 过 C 作 CG II DF 1 这条直线叫 ABC的梅氏线, ABC叫梅氏三角形. DB DC .AF FB FB FG， BD CE AF FB FG 1 DC EA FB FG

13、 AF EC FG AE AF 证法二： .AF 如中图，过 A作AG II BD交DF的延长线于G AG BD BD CE DC FB BD， DC DC ，EA AG AF BD CE AG BD DC 1 三式相乘即得： FB DC EA BD DC AG 证法三： 如右图, 分别过 A、B、C作DE的垂线，分别交于 H1、H2、 H3 贝V有 AHi II BH2 II CH 3, AF BD CE AH1 所以 FB DC EA bH2 业坐1 CH 3 AHi 【例10】如图，在 ABC中，M是AC的中点, E是 AB上一点，且 AE 丄AB，连接EM并延长，交BC 4 的延长线于

14、D，则 BC CD A 毕业班解决方案初三数学上匕例线段与相似性质和判定教师版Page 6 of 11 【答案】2 【解析】以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法: 看 ABC为直线EMD所截，由梅涅劳斯定理可知，AE BD CM i EB DC MA f 1t, BDBC 又 AE -AB，AM CM，故 32 4DCCD 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影 的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1,先讲变式1再介绍本解法 【例11】如图，在 ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点， BE交AD于点0 AO 【答案】（

15、1）A0 AD 2 3 ； 【解析】梅氏定理，看 AO DB CE OD BC EA AO AD t AE 1 （2）当时， AC 3 ADC被直线BOE所截可知 AE 1 1，而 AC n 1 1 ;当胆1时，jAO 2 AC 4 AD CE nAE， BD CD，故 AO AD 【巩固】如图, （1）如果E是AD的中点，求证： AF 1 FC 2 ； AD是 ABC的中线，点 E在AD上, （2）由（1）知，当E是AD中点时, 重合），上述结论是否仍然成立， 当歴 AC F是BE延长线与AC的交点. AF FC 若成立请写出证明，若不成立，请说明理由 1 2 ED AE成立，若E是AD上任

16、意 丄时，些 n 1 AD 不 (1) 当AE 1 -时，求 AO的值； AC 2 AD (2) 当AE 1 1养 、时， 求-AO的值； AC 3 4 AD (3) 试猜想 AE1 -时AO的值，并证明你的猜想 AC n 1 AD 【答案】（1）见解析；（2）结论依然成立 【拓展】在 ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM 于 G、H 两点，求证： BG:GH:HM 5:3:2 毕业班解决方案 初三数学上匕例线段与相似性质和判定教师版 Page 7 of 11 【解析】利用梅涅劳斯定理，得 把 BCM看成梅式三角形, 把 BCM看成梅氏三角形,

17、 考点五：相似三角形的性质 AF看成梅氏线, 故 MH 1 HB 4 AE看成梅氏线， 故 MG 1 -，所以 BG:GH : HM 5:3: 2 GB 1 ?考点说明：利用相似三角形的性质如对应边成比例，求线段的长，或者转化角度。 【例12】如图，四边形 ABCD是平行四边形, 则 BF:FD （） A. 4: 5B.4:9 C. 4:10D. 5: 9 【答案】B E 为 BC 上一点，AE 交 BD 于 F。若 BE: EC 4:5 , 【例13】已知E为梯形 ABCD 一腰AB上一点，且AE: EB 2:1 , EF II BC交CD于F , AD 5 , EF 7 , 则BC长为（）

18、 A. 8 C.10 B. 9 D. 11 A E- B M - / E B A AD EC 【答案】A提示：方法一，分别取 AE、DF中点，连接MN，则MN6 , BC 2EF MN 8 2 方法二：过点 D 作 DH II AB 交 EF 于 G，则 BH AD 5 , FG 2 ,二 CH 3 ,二 BC 8 【例14】如图，在梯形 ABCD中，AB II CD , AB a , CD b , E为边AD上的任意一点, EF II AB，且 EF交BC于点F 若E为边AD上的中点，贝U EF （用含有a , b的式子表示）； 若E为边AD上距点A最近的n等分点（n 2，且n为整数）， 则

19、EF （用含有n , a , b的式子表示） C -F l I B 【答案】丄卫,b （n 1）3提示：参考例7方法二 2n 【例15】如图，n 1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设厶B2DQ的面积为3 , B3D2C的 面积为S2， BnQnCn的面积为Sn，则S2=； Sn = （用含n的式子表示） 【例16】 如图，在 ABC中，AB 6 , AC 4 , P是AC的中点，过 P点的直线交 AB边于点 Q，若以A、 Q为顶点的三角形和以 A、B、C为顶点的三角形相似，则 AQ的长为（ 【答案】 A. 3 B. 3或- 3 D.f 3 考点四：相似三角形的判定 提示： G D1

20、 AC1C2D2 AC2 B2C2 AC2 B3C3 AC3 ?考点说明：熟练掌握相似三角形的判定方法， 【例17】如图，小正方形的边长均为 1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 ABC相似的是（） 【答案】 【例18】在ABC中, B 25，AD是BC边上的高，且AD2 BD DC，贝U BCA的度数为 【答案】65或115 注意分类讨论，如图有两种可能 【例19】如图，已知 DAB EAC，若再增加一个条件就能使结论 AB DE AD BC成立，则这个条件可 以是 【答案】答案不唯一，如 【例20】已知：如图，点 P是边长为4的正方形ABCD内一点, PB 3, BF BP于点B，试在射

21、线BF上 找一点M，使得以点 B,M,C为顶点的三角形与 ABP相似，作图并指出相似比 k的值. 【答案】k 1或4提示：已知， ABP CBF 欲使以点B,M ,C为顶点的三角形与 ABP相似，只要使 3 毕业班解决方案 初三数学.比例线段与相似性质和判定教师版 Page 9 of 11 111 ABP及 CBF的两边对应成比例. 【例1】已知等腰直角 ABC中, 的垂线，交斜边 AB于 求证：BL LK . E、D分别为直角边 BC、AC上的点，且CE CD，过C、D分别作AE ,K . 则CE CF ，于是可证 ACE也 BCF , 于是1 2, 1 F 90 , 2 F 90 二 AE BF CL II KD II BF , .CD KL 1 CF BL - BL LK . 若MABC内任一点， AM , BM , CM 求证： MD AD ME FM BE CF 1 . 【答案】延长AC至F，使CF CD