弹性直梁问题的变分原理及有限元素法

1、第二章弹性直梁问题的变分原理及有限元素法讨论的问题：一变剖面的梁，一端x=0固支，另一端 x=：l简支。承受轴向拉力N，分布横向载荷q x以及端点弯矩M|的作用。控制微分方程及边界条件（以梁的挠度w表示）d2dP.2Ejd_wEJ 2dx.2d w_N 牙二qdxd2dx2.2d w .EJ 2 Nw dx2在x = 0处:在x =1处:（广义固支）-EJd 2wdx2自然边界条件（M M|0称谓：把满足方程及全部边界条件的挠度叫真实挠度，精确解；把满足基本边界条 件但不满足微分方程和自然边界条件的挠度叫（变形）可能挠度。i） 最小势能原理（变分原理）把载荷看作是不变的已知函数，把挠度看作是可

2、变的自变函数。整个系统的势能包括三部分:（1）梁的应变能：（2）轴向应变能:ioEJ1 Ydwf2oN1 V列22 dx（3）横向载荷势能:l二 p = - 0qwdx M lw l后项取加号，是为着能够得到自然边界条件的结果系统总势能二：N -dw I qwSx + MMI) idx丿*除w为可变外，其余变量假定为已知的不变量。最小势能原理：在所有变形可能的挠度中，精确解使系统的总势能取最小值 。由于二w是w的二次函数，不用变分法而用较初等的方法也能作出数学证明。证明过程:设wx是精确解，它满足微分方程及所有边界条件。设wk x是某一变形可能的挠度，仅知道它满足:dw .w = w0,0dx

3、在X =1处:w = wi令：.w = wk-w=wk = w lw-w是一有限量，而不是变分当w- 0时，才是w的变分。由上式关系知 w满足:在 x =0处，lw = 0j_w = 0与Wk相应的总势能:.2 d wkdx2 ；2 -.-qwk dx M lwk l J=1wk 二二 w =w 二二 w 亠 211 w,二w 厂丨 = w其中:01 dxdx2 詈 7 wdx Ml w l二2 w鳥 EJd LW-N2dw 丫dxdxNote:：w,w满足基本边界条件，可得（功的互等定理）冲wdx-M.w I J EJd2 Wd2w -dWdWdx dxdxdx dx功的互等定理：第一组力在

4、第二组位移上所做的功等于第二组力在第一组位移上所做的功。（真实力状态关于虚拟位移作功；虚拟位移产生的虚拟力关于真 实位移作功）此式表明：11n （w,心w ）= 0二；Wk =二 w j亠丨.上 W2 2由二：w的算式，当N 一0时，二 ：w -0 或当N : 0 （轴受压）未达到临界压力时，二2丄w _0。所以：二 wk：i.w式中的等号只有在 w为刚体位移时才能成立（即弹性能仅为零的情况）。以上即是证明的最小势能原理。上述的证明可普遍适用于其他类型的边界条件；也适用于其他复杂弹性力学体系。精确解既然是使总势能取最小值，那么必有：二 w = 0即：d2 f d2、 d2_6n = |- EJ

5、 耳-N 弓 一4 弘dx + Ejw(l )+ M i 5w(l )= 00 dxdx2 丿dx2.2 、EJdF-NEJw”I M| =0 （正好补足了可能挠度尚未满足的边界平衡条件） 所以，最小势能原理与平衡条件（边界及内部）完全等价。说明：尽管变分法与原问题的微分方程系统等价，但具体求解时，变分法涉及的导数阶次要低（这是能量法的优点，求得的解可能满足微分方程的连续性要求，也可能不满足）能量逼近解（不是真解）不能满足力的自然边界条件（选取可能位移时一般很难取得满足力的边界条件，故一般情况有限元不能获得满足力边界条件的解）。从这点上看，只能是近似解。当然，如果在满足力的边界条件的那些函数集

6、合中选，则解的精度要大大提高（即更为逼近）。强调三点：上述证明的是真实挠度使系统势能取最小值。又通过变分法证明了系统能量的极值曲线满足梁的微分控制方程（平衡方程）。需要深入认识的是：系统能量泛函中要求的挠度为可能挠度（即满足连续性与位移边界条件的曲线，但不满足微分方程）；变分的结果恰使极值曲线应满足微分方程及自然边界条件，补 足了真实解的所需条件（理论上的等价性）。微分方程解与能量泛函解对函数连续性的要求是不同的，故能量方法对函数的连续性要求较放松。以后在广义变分原理中会看到对解函数的连续性要求更低。ii）用Ritz法求解梁的弯曲问题考虑：x =0端固支，x =1端简支，变剖面梁在轴向拉力和横

7、向载荷联合作用下的平 衡问题，求挠度函数（当EJ为变数时很难求解精确解）。n求解：设挠度表达式为：W = 0 -二qi吕dP式中，；：0是变形可能的某一特解，即0和0是X的连续函数，且满足下列非齐次的位dx移边界条件：在 X =0 处， =W0,八0dx在 x = l 处， 0 =Wd理为n个适当选定的变形可能的齐次解，即和 乜都是x的连续函数，并且满足dx齐次的位移边界条件，即：d半在 x = 0 处，匚=0, - = 0dx在 x = l 处，=0i是n个待定常数。改成用矩阵表示（便于计算机运算及与有限元方法对比） 记：一2，叮 二 1,；nT WJ，未定系数矢量 由最小势能原理确定。(1

8、)代入能量泛函:將；_qwRx(2)代入w的计算举例:d 2wdx2=（汀）（：；：:严T -）Note：2 - 2 ：；”T * ( .: -T -)（申02代入积分式后成为常数，对变分无意义，故可在变分意义下忽略掉。(-T T )二為即- : j jiji j=送勺瓦Aj$ =送qQ =巴Tq = Ta广i jiA = -1-1原式=T . .“T .同理得其他项的计算结果。最终有: 冷 T（K NG） Fti d2 :二 EJ ddx2d2 二 厂dx dxK = K T（刚度矩阵）| di0 dxd ：TdxdxG二G （几何刚度矩阵）I.0qdx -MI - 0 EJd2。dx2d2

9、dx2N”dxdx2 dx（3）计算二 0i壬2,，n-1- TIjK NGyK NG心0注意求导运算的规则：在行乘列的数中，对行变量求导，列向量不变；对列向量求导得行 向量的转置。同时注意到上式中的矩阵对称性，即：于是得:1t 1-lT K NGK NG二K NG =F上面的计算推导显粗，细做：令：K N G = K K =KTKij-Zi亠 fkKj2一i j-、Fr-ikiKron ec记号kj j+z Kik J-Fk = 0Kik 二 Kki=7 Kik icH=zjKkj =JP2卜a33lX3 若X2二U代入上述方程，并移项后得（此时P2应为未知量，否则三个方程解两个未知量本身就是矛盾的，应多消掉一个方程）ai x3X3= Pi -印2匸&23X3 二 P2 一 a22Ua31 Xa33X3 二 P3 a32U求解时，仅解ai1Ha31ai3Xia33 1X3 I lp3-a32U这相当于在方程中，划掉第2行或第2列（但应注意对右端项的处理）a110a13 丨 X1Ip1 a12U010花u，卫310a33 八X3 Jf3 a32u “置1法:大家可能担心，所求解不满足原第二个方程。的确如此，因为置入了特