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文档简介
1、专题九解析几何第二十七讲双曲线答案部分1 B【解析】由题可知双曲线的焦点在x轴上,因为C2 = a2+b2 =3 +1 = 4 ,所以c=2,故焦点坐标为(2,0) , (2,0).故选Bx2r2. B【解析】因为双曲线一 -y2=1的渐近线方程为y=、一 X,所以N MON =60 不 3-妨设过点F的直线与直线x交于点M,由iOMN为直角三角形,不妨设3NOMN =90,,则 NMFO=60,又直线MN过点F(2,0),所以直线MN的方程为y =-V3(x-2),y =-加-2)厂亍X,得屈所以M(l呼 y =所以|OM 1 =2+(弓)2 W,所以 |MN 1 = J3|OM 1 = 3
2、 故选 B3. A【解析】解法一 由题意知,e = C,所以c = J3a,所以b=Jc2 -a2 =72a ,a所以 J迈, 所以该双曲线的渐近线方程为y = -x = Vlx , 故选A aa解法二 由e= Jl +(-)2 = ,得-=42,所以该双曲线的渐近线方程为y = 土“ X = x 故选 A a4. C【解析】不妨设一条渐近线的方程为则F2到y =-x的距离d = |bC| a在 RtAF2PO 中,|F2O|=c,所以 |PO|=a ,所以I PF, 1= 辰,又I FQIc,所以在iRPO与RUF2PO中,根据余弦定理得COSN POFr =f -(辰_cosN POF2
3、一2ac即 3a2 +c2 -(辰)2 = 0 ,得 3a2=C .所以e = = J3 .故选C.a5. C【解析】通解 因为直线 AB经过双曲线的右焦点, 所以不妨取 A(C,),aB(c, 丄),a取双曲线的一条渐近线为直线bx - ay = 0,由点到直线的距离公式可得4=需bc b2|bc + b21 bc+b2,d2 = 2 Ta因为d1+ d2=6,所以魁+沁1=6,所以2b = 6,得b=3 .2 2X yc因为双曲线 p-务=1(a 0, b aO)的离心率为2,所以一=2 ,ba所以a2 +b2,所以a2 +922=4,解得 a =3 ,a所以双曲线的方程为2L =1,故选
4、C.9优解由dd2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b = 3.因为双曲线2Xa22yc=1(a 0, b0)的离心率为2,所以一=2 ,b所以2丄2a +b=4,所以a2+92=4,解得 a2 =3 ,a所以双曲线的方程为2=1,39X2故选C.6. A【解析】双曲线 C的渐近线方程为bx ay = 0,圆心(2,0)到渐近线的距离为d-Ug-些,圆心(2,0)Ja2 +b2c到弦的距离也为 d= J22 -1 = 73,13. B【解析】由双曲线定义得PF| - PF2 = 2a = 6,即3-PF2I = 6,解得 PF2 = 9,7.9.所以竺=羽,又C2CB【解析】由题意
5、可得:22c+ b,所以得c = 2a,所以离心率e = =2,a,c=3,又 a2+b2=c2,解得 a2 =4 ,2b2=5 ,=1 .B【解析】设F(c,0),双曲线的渐近线方程为y = _bx,由kpF = 4a=72, c2 =a2a =2运.D【解析】不妨设A在第一象限,X2A(X, y),所以!y =+ y2 = 4 b -X 2-c c,由题意J4 + b22bj4 + b2故四边形ABCD的面积为4xy=4x亠.各宀=2b ,j4+b2 J4 +b24 + b2 2解得b2 =12 .故所求的双曲线方程为一-丄=1412,选D .2 210. A【解析】由题意得(m +n)(
6、3m -n) 0,解得2 2-m n o, a0 , a a+m a(a +m)b0,所以当ab时,0- 1,a0乜1 ,a+m a a|_所以01 1 ,叫1,而-a+ma(叭(字)2,a a+m所以01 02 .所以当a A b时,ee2 ;当 a b 时,15. C【解析】由题意,选项 A,B的焦点在X轴,故排除A,B , C项的渐近线方程为2j24=0,即 y = 2x,故选 C.16. A【解析】由题意知 a2 = 2 , b2 =1,所以 c2 =3,不妨设 F1 ( J3,0) , F2(J3,O),所以MF1 =-Xo,-yo), MF2 =,-yo),又2M(xo,yo)在双
7、曲线上,所以 节y2=1,即x: =2+2y2 ,MF1MF2 =Xo -3 + yo =3yo 1 co,所以-3 yo 丰,故选17. A【解析】 由题意b2b2A(a,o), B(c,),C(c,),由双曲线的对称性知aD在x轴上,设 D(x,0),由-0BD 丄 AC 得一 c-xb2”亠=-1 ,解得a -cb4吕,所以b4C - X =a2(c -a)a + Ja2 +b2= a+c,所以 Pycc2a-a2 =b2=与 1a18.19.20.二0 c - 1,而双曲线的渐近性斜率为 P,所以双曲线的渐近线的斜率取值范围aa是(1,0)U(0,1),选 A -X2【解析】双曲线方程
8、为3m2=1,焦点F到一条渐近线的距离为b = J3,选A .3【解析】 0 k 0,25 -k aO,本题两条曲线都是双曲线,又25 +(9 -k) =(25 -k)+9 ,两双曲线的焦距相等,选 A .2a【解析】依题意得二?c2:5a2 +,所以a2 = 5 , b2 = 20,双曲线的方程为 b222X- -=1.52021.B【解析】由双曲线的定义得IIP Fi|-1 PF2|=2a,又 |P Fi| + | PF2 |=3b ,2 2 2 2所以(|P F1I+I PF2I) -(I PFi|P F2I) =9b -4a,即 4|P Fi | PF2|=9ab ,hvQKQhv因此
9、 9b2-4a2 =9ab,即 9()2-一4=0,则(一+1)(aaa3b-4)=0,22. C【解析】由题知,渐近线方程为-舍去),则双曲线的离心率Jv()22 2 2 c a +b 2 =2a ab2a2故选C.23. D【解析】双曲线G的离心率是e,&in2 日(1 +tan2 日)e2 =sin日24. A【解析】设双曲线的焦点在53,双曲线C2的离心率是cos91 ,故选D.cos日x轴上,则由作图易知双曲线的渐近线的离心率b 24b 223() 3 ,吒1 + () 4,既有 a3a3又双曲线的离心率为 e =C =1 B-)2,所以 e 2 .a V a32225.C【解析】双
10、曲线26.c =3,- e =a故选A【解析】设双曲线2計的半焦距为c,则2c=10,c=5.又.C的渐近线为|_y =-x,点P(2,1)在C的渐近线上,a又 c2 = a2 +b2,二 a = 2 J5?b = J5,二 c 的方程为2Z=1.20527.【解析】2 22x-2= S可变形为=1,贝U a248=4 , a = 2, 2a = 4.故选 c.28.【解析】29.【解析】223b2圆 C : (x-3)2 +y2 =4,c=3,而一 =2,贝U b=2,a2 =5,应选 A.c3由双曲线方程可知渐近线方程为y = X,a故可知a = 2 .30.2 2【解析】双曲线 -=1(
11、0,0)的渐近线为a by= x,由双曲线的一条渐a近线与抛物线的准线的交点坐标为(一2, - 1)得- = -2,即P = 4 ,Pb又 一 +a =4 a = 2,将(2, 1)代入 y = x得 b =1,2a c = Ja2 +b2 = 45,即 2c = 2V5 .31.B【解析】由双曲线 E的中心为原点,P(3,0)是E的焦点可设双曲线的方程为2 2Xy2 _1(a ab+b2 =9),设 A(Xi,yi),B(X2, y2),即32.则2X1 -X2Xi +X2 2-120+15153 + 12则宁新曲=4 ,故E的方程式为2 2x_ y_45=1 .应选B .D【解析】设双曲线
12、的方程为22一占=1(a0,b0),其渐近线为y =a b“x ,ay22=1 的右焦点为(3, 0), a +5=9 , a =4, a =25点(4, 2)在渐近线上,所以b =1,由e = A + (52丘2V a233. C【解析】由题意,F ( 1, 0),设点P(Xo,yo),则有 里 =1,432解得y。2 =3(1-丸4因为 FP =(X0+1,y0), OP =(X0,y0),2 2X0T T2 T Tx0x0所以 OP FP =x0(X0 +1) + y。=OP FP =X0(X0 +1)+ 3(1丄)=丄 + X0 +3 ,44此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0 = -
13、2,因为-2 x0 0 )的一条渐近线为y=-J3x,所以丄=丿3 ,aa【解析】设P(x, y),(x1),因为直线x-y+1=0平行于渐近线x-y =0 ,所以c的最大值为直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间距离,为-1V233【解析】2占=1(a:0,bA0)的渐近线为 y = -x ,ba则 A(2Pb22pb )2丿,a a2B(一竽2p) , g:x2=2pm0)的焦点 F(0勺,2245.46.48.49.2pb2 p 则 kA-a2.2a +b2a_9-4ce =-ay=x【解析】抛物线的准线y=W,与双曲线的方程联立得2 2据已知得a2(1 +上y) =c2,由|AF |
14、=c得一+a2=c2,4b4a = b,所以所求双曲线的渐近线方程为y = x ._ 32x22“+着),根由得a2=b2,即【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程y = 卫X可解得交点为2aam bm、 A(,),3b-a 3b-a am am 点(3b a 3b + a,-am bm、古1B(,),而 kAB =,由 | PA 冃 PB|,可得 AB 的中3b+a 3b+a3bm + bm3b-a 3b + a)与点P(m,0)连线的斜率为-3,可得4b2 27宀【解析】2x2 =k ,将点(2,2 )代入5【解析】H=2=e4a2 16/3+1【解析】由已知可得,22=a ,2y 2设与
15、丄-x =1具有相同渐近线的双曲线4的方程中,2 c2 a25 16的方程为得k = -3. 双曲线的方程为PFl = 2ccos30 = Z3c, PF2 = 2csin30 =c,由双曲线的定义,可得 J3cc=2a,贝y e=-=-=4i +1 . a J3 T50.44【解析】由题意得,I FP I-| PAF6 , |FQ|QA|=6,两式相加,利用双曲线的定义得 I FP 1+1 FQ 1=28,所以 iPQF 的周长为 | FP | + |FQ | + | PQ|=44 .51.2J3【解析】由双曲线的方程可知a=1,c = J2,二PFi - PF2 =2a =2,二 PF1
16、-2 PF1 PF2 + PF2=4.- 2TPF1 丄 PF2,二 PF1 +PF22 2= (2c)22IPF1IIPF2(PF1 +PF2)2 =8+4=12, PF1 + PF2 =273=4,2 x 52. 1, 2【解析】双曲线的 一42L =1渐近线为y =2x ,162莒=1的渐近线为b2y =bx,所以有b =2aa2 2b = 2a,又双曲线 彳2_爲=1的右焦点为(J50),所以a2 b2C =75,又 C2 =a2 +b2,2 2 2 2即 5=a +4a =5a ,所以 a =1,a=1,b = 2 .53. 2【解析】由题意得 m o,. a = jm,b = Jm
17、2 +4c = Jm2 +m + 4.由 e=c=j5 得 m2+m+4=5,解得 m=2. a2 254. =1【解析】由题意可知双曲线的焦点(J7,o),(点0),即c = J7,又因43双曲线的离心率为,所以a = 2 ,故b2=3 ,所以双曲线的方程为455. 2【解析】由22 y= 1(b0)得渐近线的方程为 x -=0,即卩y = bx,由一条b渐近线的方程为y =2x 得 b = 2 .56.【解析】(1)设F(c,O),因为b=1,所以c=7a齐11cc直线OB方程为y = x,直线BF的方程为y =(X c),解得B(-,)aa2 2a1c3又直线 OA的方程为y=-x,贝y
18、 A(c,-), kAB =.aaa2又因为AB丄OB,所以3(),解得a2 =3,故双曲线C的方程为 一y2=1.a a3x0 xx0 x 33yo(2)由( 1) 知 a =,则直线 l 的方程为y0y =1(y0 H 0),即 y 32x0 33yo因为直线AF的方程为x=2,所以直线I与AF的交点M(2,)33直线l与直线X =的交点为n(3 2)2 陀)mMF24(2Xo_3)2则 U2 22NF29应+(Xo 2)22因为是C上一点,则旦_yo2 =1代入上式得32 2 MF24(2Xo -3)2 2 2NF 9yo +(xo -2)24(2xo -3)= 29Xo 1+(x0 -2)23_4=3,所求定值为mf _2V3NF 357.【解析】(1)设C的圆心的坐标为(X, y),由题设条件知IJ(x +亦)2
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