专题7几何辅助线图作法探讨

1、2013 年中考攻略】专题 7：几何辅助线（图）作法探讨一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图） ，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线

2、连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接

3、圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形1）构造基本图形;成，添加辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。笔者从作辅助线的结果和方法两

4、方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换；（12）旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。、构造基本图形： 每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边 上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊 四边形和圆的特

5、殊图形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。典型例题:例1.（2012湖北襄阳3分）如图,I / m,将含有45角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上,若/ 1=25，则/ 2的度数为【A . 20B . 2530D. 35【答案】【考点】平行线的性质。【分析】如图，过点B作BD / I ,直线 I / m,.BD / I / m。/ 1=25 , / 4= / 1=25/ ABC=45 , / 3=/ ABC-/ 4=45 - 25=20。/ 2= / 3=20。故选 A。例2. （2012四川内江3分）如图，a=140A.1OO0B.1O50C.1100D.1150【答案】【考点】平

6、行的性质，三角形外角性质。【分析】如图，反向延长b，形成/ 4。/ a/b,/ 3=180/ 4。又/ 2= / 1 + / 4，即/ 4= / 2/ 1。 Z3=18O0 -(N2-N1 )=18O0 -(14O0 -650 )=1O50。故选 B。例 3. (2012 广东梅州 3 分)如图，/ AOE= / BOE=15 , EF / OB , EC 丄 OB ,若 EC=1，则 EF=_【答案】【考点】角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含30度角的直角三角形的性质。【分析】作EG丄OA于F,/ EF / OB，/ OEF= / COE=15 ,/ AOE=15，/ EFG=1

7、5 +15 =30/ EG=CE=1 , EF=2X1=2。例4. （2012广东佛山3分）依次连接任意四边形各边的中点,得到一个特殊图形（可认为是一般四边形的性质）,则这个图形一定是平行四边形B .矩形C .菱形D .梯形【答案】【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。【分析】根据题意画出图形，如右图所示:连接AC ,四边形ABCD各边中点是E、F、G、H,1 HG AC, HG=-AC , EF /AC，1E电AC。. EF=GH , EF / GH。AC=BD 或四边形EFGH是平行四边形。由于四边形EFGH是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以AC 丄 BD不一

8、定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。故选A o例5. （2012江苏宿迁3分）已知点E, F, G, H分别是四边形 ABCD的边AB , BC , CD , DA的中点,若 AC 丄 BD，且 AO BD ,则四边形EFGH的形状是 .（填梯形”矩形”菱形”）【答案】矩形。【考点】三角形中位线定理,矩形的判定。【分析】如图，连接AC , BD oHG / AC E, F, G, H 分别是 AB , BC, CD , DA 的中点,根据三角形中位线定理，HE / AB / GF ,/ EF。又 AC 丄 BD ,/ EHG= / HGF= / GFE= / FEH=9O0。四边形EFGH是矩

9、形。且 AO BD，四边形 EFGH邻边不相等。四边形EFGH不可能是菱形。例6. （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，线段.AC=n+1（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段 AC同侧作正方形 ABMN及正方形BCEF，连接AM、ME、EA 得到 AME .当 AB=1时， AME的面积记为 Si；当AB=2时， AME的面积记为 S?;当AB=3时， AME的面积记为S3；;当 AB=n时， AME的面积记为 Sn .当n2时，Sn - Sn-1=【答案】2n 1o2【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积，整式的混合运算。【分析】连接BE，在线段

10、AC同侧作正方形 ABMN及正方形BCEF， BE / AM o AME 与 AMB 同底等高。 AME的面积= AMB的面积。1 2当 AB=n 时， AME 的面积为 Sn =-n2，当 AB=n 1 时, 2-1 )(nn+1 尸辛。1 2 AME 的面积为 Sn =*(n -1 )。1 12 1当 n2时，Sn -Sr, 1 = n2 -(n -1 =-(n+n22、丿 2例7. （2012江苏镇江6分）如图，在四边形 ABCD中，AD/ BC , E是AB的中点,连接DE并延长交CB的延长线于点 F,点G在BC边上，且/ GDF= / ADF。(1)求证： ADE BFE;（2）连接

11、EG,判断EG与DF的位置关系，并说明理由。【答案】【考点】【分析】解：（1）证明： AD / BC,./ ADE= / BFE （两直线平行，内错角相等）/ E 是 AB 的中点， AE=BE。又/ AED= / BEF , ADE BFE ( AAS )。（2） EG与DF的位置关系是 EG丄DF。理由如下:/ ADE= / BFE，/ GDF= / ADF ,/ GDF= / BFE （等量代换）。 GD=GF （等角对等边）。又 ADE BFE , DE=EF （全等三角形对应边相等） EG丄DF （等腰三角形三线合一）。平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。（1

12、）由已知，应用 AAS即可证明 ADE BFE。O(2)由/ ADE= / BFE , / GDF= / ADF可得/ GDF= / BFE，从而根据等角对等边得 GD=GF ;由（ ADE BFE可得DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得EG 丄 DF。例8. （2012广西南宁10分）如图，已知矩形纸片 ABCD , AD=2 , AB=4 .将纸片折叠，使顶点 A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB , CD交于点G, F, AE与FG交于点O.（1）如图1，求证：A , G , E, F四点围成的四边形是菱形;（2）如图2，当 AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点 N是

13、线段BC的中点;（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕 FG的长.【答案】解：(1)由折叠的性质可得，GA=GE , / AGF= / EGF ,DC / AB , / EFG= / AGF。/ EFG= / EGF。二 EF=EG=AG。四边形 AGEF是平行四边形(EF / AG , EF=AG )。又 AG=GE，四边形AGEF是菱形。(2)连接ON, AED是直角三角形，AE是斜边，点 O是AE的中点, AED的外接圆与BC相切于点 ON 丄 BC。【考点】点O是AE点N是线段的中点， ON是梯形ABCE的中位线。BC的中点。(3) OE、ON均是 AED的外接圆的半径，二OE=OA=

14、ON=2。 AE=AB=4。在 Rt ADE 中，AD=2 , AE=4, / AED=30。2V3在 Rt OEF 中，OE=2 , / AED=30 , OF = 。二 FG= 2OF = 3翻折变换(折叠问题)，折叠对称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】(1)根据折叠的性质判断出 AG=GE , / AGF= / EGF，再由CD / AB得出/ EFG= / AGF，从而判断出EF=AG，得出四边形 AGEF是平行四边形，从而结合 AG=GE，可得出结论。(2)连接ON，贝U ON丄BC,从而判断出 ON是梯形ABCE的中位线，从而可得出

15、结论。(3)根据(1)可得出 AE=AB，从而在 Rt ADE中，可判断出/ AED为30。，在Rt EFO中求出FO,从而可得出FG的长度。练习题:1.(2012宁夏区3分)如图，C岛在A岛的北偏东45方向，在B岛的北偏西25方向，则从C岛看A、B两岛的视角/ ACB = 度.2. ( 2012浙江嘉兴、则点D到斜边AB3. ( 2012江苏南京舟山 5分)在直角 ABC中，/ C=90 AD平分/ BAC交BC于点D，若CD=4 ,的距离为8分)如图，梯形ABCD 中，AD/BC，AB=CD，对角线 AC、BD交于点0, AC丄BD，E、F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA的中点(1

16、)求证：四边形 EFGH为正方形;(2)若AD=2，BC=4，求四边形 EFGH的面积。4.( 2011湖南怀化3 分）如图，已知直线 a / b , / 1=40 / 2=60 则/ 3等于 【】A、100D、205.( 2011湖北恩施3 分）A、43 B、60C、40将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果/a =43；则/ B的度数是【】C、30D、600,村庄C的村民在公路的旁边建三个加1i的距离为4公里，则村庄 C到公路12的6. （2011广东茂名3分）如图，两条笔直的公路11、12相交于点 工厂 A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5 公里，村庄 C到公路距离是【】A、3公

17、里 B、4公里 C、5公里 D、6公里的边长为2,7. （ 2011辽宁辽阳3分）如图，已知菱形 ABCD/ BAD = 60 若DE丄AB，垂足为点 E,则DE的长为8.（2011贵州黔东南4分）顺次连接一矩形场地ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H ,得到四边形EFGH , M为边EH的中点，点P为小明在对角线 EG上走动的位置，若AB=10米，BC=1O/3米,当PM+PH的和为最小值时,EP的长为9.（2011广西玉林、防城港10分）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形 AEFG，线段EB和GD相交于点H .(1)

18、求证：EB=GD ;(2)判断EB与GD的位置关系，并说明理由;若 AB=2 , AG= y/2，求 EB 的长.10.ABCD（2011湖南衡阳10分）如图，在矩形中，AD=4cm，AB=m （ m 4）,点P是AB边上的任意（不与点 A、B重合），连接PD,过点P作PQ丄PD,交直线BC于点Q .当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求出此时 AP的长；若不存在，说明理由;连接 AC，若 PQ / AC ,求线段BQ的长（用含m的代数式表示）;若 PQD为等腰三角形,求以 P、Q、C D为顶点的四边形的面积 S与m之间的函数关系式，并写的取值范围.、构造等腰（边）三角形：当

19、问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。典型例题:例1. （2012浙江丽水、金华 4分）如图，在等腰 ABC中，AB = AC , / BAC = 50 / BAC的平分线与AB的中垂线交于点 0,点C沿EF折叠后与点0重合，则/ CEF的度数是 _【答案】50o【考点】翻折变换（折叠问题），等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质

20、得出/OBC = 40 以及/OBC =/ OCB = 40 再利用翻折变换的性质得出EO= EC，/ CEF = / FEO，进而求出即可:连接BO, AB = AC , AO是/ BAC的平分线，二AO是BC的中垂线。BO = CO。/ BAC = 50 / BAC的平分线与 AB的中垂线交于点 O,/ OAB =/ OAC = 25o等腰 ABC 中，AB = AC , / BAC = SO。，：/ ABC =/ ACB = 65。/ OBC = 65- 25= 40o / OBC = / OCB = 40。点C沿EF折叠后与点 O重合， EO= EC，/ CEF=/ FEO。/ CEF

21、 =/ FEO =( 180 2X40)吃=50。例2.（2012甘肃白银10 分）如图，已知 ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB 上,/ EFB=60 ,DC=EF.（1）求证：四边形 EFCD是平行四边形;(2)若 BF=EF，求证：AE=AD .C【答案】 证明：（1 ） ABC是等边三角形，/ ABC=60。/ EFB=60 , / ABC= / EFB。二 EF/ DC (内错角相等，两直线平行)/ DC=EF，四边形 EFCD是平行四边形。（2）连接BE。/ BF=EF ,EFB是等边三角形。 EB=EF,/ EBF=60 。/ DC=EF ,-EB=DC OE AB

22、C是等边三角形，/ACB=60 , AB=AC o/ EBF= / ACB o AEB ADC ( SAS) AE=AD o【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质,【分析】(1)由 ABC是等边三角形得到/ B=60，而/ EFB=60，由此可以证明 EF/ DC ,而DC=EF ,然后即可证明四边形 EFCD是平行四边形;(2)如图，连接 BE，由BF=EF , / EFB=60可以推出 EFB是等边三角形，然后得到EB=EF ,/ EBF=60，而DC=EF，由此得到 EB=DC，又 ABC是等边三角形，所以得到/ ACB=60 , AB=AC，由A

23、E=AD。SAS即可证明 AEB ADC，利用全等三角形的性质就证明例3. (2011上海12分)如图，在梯形 ABCD中，AD/BC , AB= DC,过点D作DE丄BC ,垂足为E,并 延长 DE 至 F, 使 EF= DE .联结 BF、CD、AC .(1) 求证：四边形 ABFC是平行四边形；求证四边形 ABFC是矩形.(2) 如果 DE2= BE-CE ,【答案】解：(1)证明：连接BD。梯形ABCD中,AD / BC, AB=DC，二 AC=BD , / ACB= / DBC/ DE 丄 BC , EF=DE , a BD=BF , / DBC= / FBC。 AC=BF , /

24、ACB= / CBF。二 AC / BF。四边形ABFC是平行四边形;(2)v DE2= BE-CE ,匹=21 。BE DE/ DEB= / DEC=90 , BDE DEC。/ CDE= / DBE ,/ BFC= / BDC= / BDE + / CDE= / BDE +/ DBE=90 。四边形ABFC是矩形。【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质,矩形的判定，等量代换。【分析】(1)连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC / BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形。(2

25、)利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。练习题:1.(2011山东潍坊3分)已知长方形 ABCD , AB=3cm , AD=4cm，过对角线 BD的中点0做BD的垂直平分线EF，分别交2. ( 2011辽宁辽阳3分)如图，已知菱形 ABCD的边长为2,/ BAD = 60若DE丄AB，垂足为点 E,则DE的长为 3.(2011湖北十堰8分)如图，AB是半圆0的直径，点 C为半径0B上一点，过点 C作CD丄AB交半圆0于点D，将 ACD沿AD折叠 得到 AED，AE交半圆于点F，连接DF。(1)求证：DE是

26、半圆的切线;(2)连接0D，当OC=BC时，判断四边形 ODFA的形状，并证明你的结论。4. (2011四川巴中10分)如图所示， ABC的外接圆圆心 0在AB上，点D是BC延长线上一点,DM丄AB于M，交AC于N，且AC=CD . CP是 CDN的ND边的中线.(1) 求证： ABC DNC ;(2)试判断CP与O 0的位置关系，并证明你的结论。5.(2011广东河源9分) 如图，等腰梯形 ABCD中，AB / CD , AD=BC。将 ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合.(1)点C是否在以AB为直径的圆上？请说明理由；当AB=4时，求此梯形的面积.三、构造直角三角形：

27、通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。典型例题:例丄心0口广东广州5分）在RtAABC中，ZC=90% AC=9, BC=12,则点C g| AB的距离是【】扎戲 B. A2 c.丿D.竝52544【答案】乩【苇点】勾股定理，点到直线的距离，三角形的面积.【分析】根据题意画出相应的图形，如图所示.在 RtiABC 中，ACT, BC=12,根据勾股定理得；电JX+lF15.过C作CD丄AB,交AB于点D,则由 S ABC=丄AOBoLaBCD,得= 2竺=兰32AB 155二点C到AB的距离是-故选A5例2. （2

28、012广西柳州3 分）已知：在 ABC中，AC=a , AB与BC所在直线成 45角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即 cosC=-J5）,则AC边上的中线长是 5【答案】壓a或逅a。10 10【考点】【分析】分两种情况:ABC为锐角三角形时，如图 1 , BE为AC边的中线。作 ABC的高AD，过点E作EF丄BC于点F。在 Rt ACD 中，AC=a , cosC=2j5 ,5ffil解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。 CD= _75a,5ADa。5在 Rt ABD亠75375中，/ ABD=45 , BD=AD=a。 BC=BD+CD= a。55麻 a,

29、 EF=- AD=匪 a。2 101点E是AC的中点，EF / AD , EF是 ACD的中位线。 FC=丄DC=2 5 BF=-75a。5在Rt BEF中，由勾股定理，得 BE = JbF2 +EF2 =2_785布、ABC为钝角三角形时，如图 2, BE为AC边的中线。作 ABC的高AD 。2在 Rt ACD 中，AC=a , cosC=_75 ,5- CD= J爲a, AD=5a。5在 Rt ABD 中，/ ABD=45 , BD=AdW5a。 BC= BdW5点E是AC的中点， BE是 ACD的中位线。二BE= - AD=275a。10综上所述，AC边上的中线长是睜或乞10例3.（20

30、12广西河池3分）如图，在矩形 ABCD中，AD AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为 MN，连结CN .若 CDN的面积与CMN的面积比为1 : 4，贝U MN的值为【BMC. 25【答案】D。【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。【分析】过点N作NG丄BC于G,由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质, 可得四边形 AMCN是菱形，由 CDN的面积与 CMN的面积比为1: 4,根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得 DN : CM=1 : 4，然后设DN=x，由勾股定理可求得 MN的长，从而求得答案:过点N作N

31、G丄BC于G, 四边形ABCD是矩形，.四边形 CDNG是矩形，AD / BC。 CD=NG , CG=DN , / ANM= / CMN。由折叠的性质可得： AM=CM , / AMN= / CMN , / ANM= / AMN o AM=AN。.二AM=CM，四边形 AMCN是平行四边形。/AM=CM，四边形 AMCN是菱形。/ CDN的面积与 CMN的面积比为1 : 4, DN : CM=1 : 4。设 DN=x，贝U AN=AM=CM=CN=4x , AD=BC=5x , CG=x。二 BM=x , GM=3x。在 Rt CGN 中,在 Rt MNG 中,NG =JCN2 CG2 =

32、J(4x $ X2 =5/T5X ,MN =JgM2 + NG2 = J(3x Y + i =2届 ,.MN 2屈c匚站出,=2/6。故选 D oBM x例4.（ 2012北京市5分）如图，在四边形 ABCD中，对角线 AC, BD交于点E, / BAC=90 0, / CED=45 0,/ DCE=9O0, DE= 4 , BE=2Q .求CD的长和四边形 ABCD的面积.【答案】 解：过点D作DH丄AC ,/ CED=45 , DH 丄 EC , DE= EH=DH=1 o又/ DCE=30 , DC=2 , HC= 73。/ AEB=45 , / BAC=90 , BE=2 72 , A

33、B=AE=2 o AC=2+1+=3+73。- S四边形ABCD =1咒2 M3+V3 + 2 咒1 X(3+ 応=9+严 o【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质,半得出CD的长，求出 AC, AB的长即可得出四边形 ABCD的面积。例5. （2012山东莱芜9分）某市规划局计划在一坡角为16o的斜坡AB上安装一球形雕塑，其横截面示意图如图所示.已知支架AC与斜坡AB的夹角为280,支架BD丄AB于点B,且AC、BD的延长线均过O O的圆心，AB = 12m,0 O的半径为1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离（结果精确到0.01m,参考数据：cos28o

34、0.9 sin62o 0,9 sin44o 0,7 cos46o 0.7.)【答案】解：如图，过点 0作水平地面的垂线，垂足为点在 Rt AOB 中，coNOAB,即 cos280OA12_OA12 12OA = 比COS2800.9/ BAE=160,./ OAE=28 0 + 160=440。13.333。在 Rf AOE 中，沁0AEO!，即 sin440OEa：13.3332 OE 止 13.333xsin44 俺 13.3330.7 止9.3339.333 + 1.5=10.833 10.83n)。【考点】【分析】答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为解直角三角形的应用，锐角三角函数定

35、义。10.83 m。如图，过点 O作水平地面的垂线，构造 Rt AOE。解Rt AOB ,求出OA ;解Rt AOE，求出OE,即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。例6.（ 2012山东聊城7分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边P处观看小亮与爸爸在湖中划船（如图）.小船从P处出发，沿北偏东60划行200米到达A处，接着向正南方向划行一段时间到达B处.在B处小亮观测妈妈所在的 P处在北偏西37方向上，这时小亮与妈妈相距多少米 （精确到米）？（参考数据：sin37 0.60cos37 0.80tan37 0.71.41 忑1.73【答案】解：作PD丄AB于点D ,【考点】由已知得

36、PA=200米，/ APD=30在 Rt PAD 中,PD由 cos30=，得 PD=PACOS30PA在 Rt PBD 中，,/ B=37 ,=2003=10/3 （米）。由 Sin37 唱，得 PB=S50.6答：小亮与妈妈的距离约为288 米。解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数。【分析】作PD丄AB于点D，分别在直角三角形 PAD和直角三角形 PBD中求得PD和PB即可求得结论。例7.（2012吉林省8分）如图，在扇形 OAB中，/ AOB=90，半径OA=6 .将扇形OAB沿过点B的直 线折叠，点O恰好落在 AB上点D处，折痕交OA于点C,求整个阴影部分的周长和面积.【答案

37、】解：连接OD。根据折叠的性质,CD=CO , BD=BO , / DBC= / OBC, OB=OD=BD。二 OBD 是等边三角形DBO=60。1/ CBO= - / DBO=30。/ AOB=90 , OC=OB?tan / CBO=& =/3。3- SDC =ShBC =1%OBX0C=iX6c273=6/3 ,2=9 兀,AB空，-3兀180U90 机 62S扇形 AOB =360整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+ AB AC+OC+OB+ AB 6+6+3% 12+3 冗。整个阴影部分的面积为：S扇形AOB S空DC S曲BC =9兀一6 J3 6/3 ：= 9兀一12%/3

38、。【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值, 弧长的扇形面积的计算。【分析】连接OD，由折叠的性质，可得 CDCO , BDBO , / DBC / OBC，则可得 OBD是等边三角形，继而求得0C的长，即可求得 OBC与 BCD的面积，又由在扇形 OAB中，/ AOB90，半径0A6 , 即可求得扇形 OAB的面积与AB的长，从而求得整个阴影部分的周长和面积。练习题:1.（2012四川绵阳3分）已知 ABC1中，/ C 90 tanA= - , D 是 AC 上一点，/ CBD / A，贝U sin/ABD】。3C.10D3/10102. （

39、 2012山东青岛8分）如图，某校教学楼 AB的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 220时,教学楼在建筑物的墙上留下高2m的影子CE;而当光线与地面的夹角是 450时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13m的距离（B、F、C在一条直线上）.（1）求教学楼AB的高度;（2）学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.（参考数据:sin220 , C0S220J5 , tan22o2)8165A3. （ 2012湖北襄阳3分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD 如图，已知小明距假山

40、的水平距离距地面的高度为1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点 C,BD为12m，他的眼镜此时，铅垂线OE经过量A ( 4廳+1.6) mB (123+1.6) mC (473+1.6) mD. 4j3m角器的60刻度线，则假山的高度为【O与尺下沿的端点重合,4. （ 2012江苏南京2分）如图，将45的/ AOB按图摆放在一把刻度尺上，顶点OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点 B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将 37。的/ AOC放置在该尺上，则 OC与尺上沿的交点 C在尺上的读数约为 cm（结果精确到0.1 cm,参考数据:775)5. ( 2012福建福州 4分)

41、如图，已知 ABC , AB = AC = 1 , / A = 36 , / ABC的平分线 BD交AC于点D，则AD的长是 , cosA的值是 （结果保留根号）6. （ 2012陕西省8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先 在湖岸上的凉亭 A处测得湖心岛上的迎宾槐 C处位于北偏东65方向，然后，他从凉亭 A处沿湖岸向正C处与湖岸上的凉亭 A处之间的距离（结果精东方向走了 100米到B处，测得湖心岛上的迎宾槐 C处位于北偏东45方向（点A、B、C在同一水平面上）.请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 确到1米）(参考数据：sin25 止 0.4

42、226,cos25 止 0.9063tan25 止 0.4663,sin65 止 0.9063,cos65 a： 0.4226, ta n65 7.（ 2012江苏连云港10分）已知B港口位于A观测点北偏东53.2方向，且其到 A观测点正北方向的距离BD的长为16km，一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的 BC方向航行，15m in后达到C处,现测得C处位于A观测点北偏东79.8方向，求此时货轮与A观测点之间的距离 AC的长（精确到0.1km）.（参考数据：sin53.2 0,8Cos53.2 0.,6(sin79.8 0,9Sos79.8 0,18an26.6 0.,52 1.4

43、1 5 2.24)卫观测点8. （ 2012四川乐山10分）如图,在东西方向的海岸线 I上有一长为1千米的码头 MN，在码头西端 M的正西方向30千米处有一观察站O.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30方向，且与O相距2CV3千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于 0的正北方向，且与 0相距20千米的B处.（1）求该轮船航行的速度;（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由.（参考数据:四、构造全等三角形： 通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证（解）的目的。典型例题:例1. （ 2012浙江绍兴5分）如图，在矩

44、形 ABCD中，点E, F分别在BC, CD上，将 ABE沿AE折叠,使点B落在AC上的点B处，又将 CEF沿EF折叠，使点 C落在EB与AD的交点C处.则BC : AB的值为 DF等腰三角形的性质，全等三角【苇点】翻折变换（折g间题）,折g的性质，拒形的性质，平行的性质, 形的判定和性质，鋭三角函数定义，特殊甬的三函数值【分析竝接CC，沿AE折醫，使点B落在AC上的点B处, 又将CEF沿EF折盏 使点C落在 田与AD的交点C处,EAEC, 二/ECOZECB/ ZDCr=ZECC ZECC=ZDCC.二ccr是WECD的平分线口YZCBC-ZDTir/.ACBVACDCUAAS），二CBCD

45、.又TAB JAB,二日是对线 AC 中点，即 AC=2AB. .ZACB=30 /.tanZACB=tan30=BC= AB=BC辰例2. （2012山东泰安3分）如图，AB / CD , E, F分别为AC , BD的中点，若 AB=5 , CD=3，贝U EF的长是【4 B. 3 C.【答案】【考点】三角形中位线定理,全等三角形的判定和性质。【分析】连接DE并延长交AB 于 H，/ CD / AB ,/ C= / A , / CDE= / AHE 。 E 是 AC 中点，DE=EH。： DCE HAE ( AAS )。 DE=HE , DC=AH F 是 BD 中点， BH=AB - A

46、H=AB1EF 是 DHB 的中位线。 EF=_BH o2-DC=2 o EF=1。故选 D o例3. (2012山东德州12分)如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片 ABCD，点P为正方形 AD边上B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，的一点(不与点 A、点D重合)将正方形纸片折叠，使点折痕为EF，连接BP、BH .(1)求证：/ APB= / BPH ;(2)当点P在边AD上移动时， PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论;(3)设AP为x,四边形EFGP的面积为S,求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在,求出这个最小值；若不存在，请说明理由.GG(备用图【答案】

47、解：(1)如图 1,v PE=BE , / EBP= / EPB .又/ EPH= / EBC=90 ,/ EPH -/ EPB= / EBC -/ EBP,即/ PBC= / BPH o又 AD / BC， / APB= / PBCo / APB= / BPH o(2) PHD的周长不变为定值 8。证明如下:如图2,过B作BQ丄PH,垂足为Qo由(1)知/ APB= / BPH ,又/ A= / BQP=90 , BP=BP , ABP QBP (AAS )o AP=QP , AB=BQ oG又 AB=BC , BC=BQ o又/ C= / BQH=90 , BH=BH , BCH BQH (HL ) CH=QH oGBEFC全等, PHD 的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8(3)如图3,过F作FM丄AB，垂足为 M，贝U FM=BC=AB 。又 EF为折痕， EF丄BP。/ EFM+ / MEF= / ABP+ / BEF=90EFM= / ABP。又/ A