11轴对称全章复习与巩固提高知识讲解

1、轴对称全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解垂直平分线的概念，并掌握其性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法 【知识网络】【要点梳理】 要点一、轴对称1. 轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 .（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对

2、称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： 关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； 如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分 线； 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴.联系：如果把一个轴对称图形沿对如果把成轴对称的两个图形看成一个（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别：轴对称是指两个图形的位置关系，对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的 称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称； 整体，那么它就是一个轴对称图形.2. 线段的垂直

3、平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点二、作轴对称图形1. 作轴对称图形（1） 几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点， 连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.2. 用坐标表示轴对称点（X, y ）关于x轴对称的点的坐标为（X, - y ）;点（X, y ）关于y轴对称的点 的坐标为（一X, y ）；点（X, y

4、）关于原点对称的点的坐标为（一 X, y ）.要点三、等腰三角形1.等腰三角形定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.等腰三角形性质 等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45 .等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等（1）线合一”）（3）（2）边”）.2. 等边三角形（1） 定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.60（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于（3）等边三角形的判定： 三条边都相等的三角形是

5、等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角为60。的等腰三角形是等边三角形 .3. 直角三角形的性质定理：，那么它所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，如果一个锐角等于30【典型例题】 类型一、轴对称的性质与应用ABC的顶点都是小正方形的顶点.在田且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角 ）个 D.4 个1、如图，由四个小正方形组成的田字格中, 字格上画与 ABC成轴对称的三角形, 形（不包含 ABC本身）共有（个 C.3【思路点拨】 分别以正方形的对角线和田字格的十字线为对称轴，来找三角形.【答案】C;【解析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算

6、个数. HEC与 ABC关于CD对称； FDB与 ABC关于BE对称； GEDM ABC关于HF对称；关于AG对称的是它本身.所以共 3个.【总结升华】本题考查了轴对称的性质; 键.确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关举一反三:【变式】如图， ABC的内部有一点 P, 点.若 ABC的内角/ A= 70 =(A.180且D, E, F是P分别以，/ B= 60,/ C= 50AB, BC, AC为对称轴的对称，则/ ADB/ BEO/ CFA)B.270C.360D.480【答案】C;解：连接AP, BP,/ D E, F 是CPP分别以AB BC, AC为对称轴的对称点/ ADB=/

7、 APB / BEC=/ BPC / CFA=/ APC,/ AD聊/ BEO/ CFA=/ APB+/ BPC/ APC= 360.A,ON上有一点B,当 PAB【思路点拨】 求周长最小，禾U用轴对称的性质，找到P的对称点来确定 A、B的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算.【答案与解析】 解：分别作P关于OM ON的对称点P，p2，连接RF2交OM于A，ON于 B.则 PAB为符合条件的三角形./ MON= 40/ RPP2 = 140 ./ RPA = - / PAB,/ F2PB = - / PBA.2 21 ( / PAB/ PBA)+/ APB= 140

8、PA聊/ PB阳 2 / APB= 280 2/PAB=/ P +/ RPA , / PBA=/ P2 +/ F2PBP +/ P2 + / RPP2 = 180/ APB= 100 【总结升华】 将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段, 这样取得周长的最小值.举一反三:【变式】如图，在五边形 ABCDEK/ BAE= 120,/ B=/ E= 90 DE上分别找一点 M, N,使得 AMN的周长最小时，则/).100 BC(A120，AB= BC, AE= DE 在AMN/ ANM的度数为130【答案】C;连接A1A2，交BC于M提示：找A点关于BC的对称点A1，

9、关于ED的对称点A2 ,点，ED于 N点，此时 AMN周长最小./ AMNb/ ANM= 180-/ MAN 而 2/ BAM= / AMN 2/ EAN=/ ANM / BAMh/ EANb/ MAN= 120 ,所以/ AMNb/ ANM= 120 .【思路点拨】 根据题意，可得 A C的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等, 从而可以解出该直线.【答案】C;【解析】 解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是（1, 2）, C点坐标是（1 , 4） AC= 6点A, C到该直线的距离都为 3 即可得直线为y = 1解决此类题应认真观察【总结升华】本题考查了坐标与图形的变

10、化一一对称的性质与运用， 图形，由A与C的纵坐标求得对称轴.举一反三:Rt AOB与 Rt AOB)关于直线m对称,【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，已知A （1, 2）,则点A的坐标为（C. （ 1 , 2） D. （ 2, 1）【答案】D;提示：因为 Rt AOB与Rt AOB关于直线m对称，所以通过作图可知，A的坐标是（一2, 1）.【高清课堂：389304轴对称复习：例10】【变式2】如图， ABC中,点A的坐标为（0, 1），点C的坐标为（4, 3），点B的坐标为 （3, 1）,如果要使 ABD与 A ABC全等，求点 D的坐标.肿4321C-3 立-10

11、 i23 45 -1-2-【答案】解：满足条件的点 D的坐标有3个（4, 1）; （- 1, 1）; （- 1, 3）.类型二、等腰三角形的综合应用軌、CHL ABE、F、H.易证PE+PF=CH证明过程如下:(2012?牡丹江)如图， ABC中.AB=AC P为底边BC上一点，PE!AB PF丄AC 垂足分别为图图如图，连接AP. PE! AB PF丄 AC CHLAB111 $ abp = AB? PE Sacp = AC? PF $ ABC = AB?CH222又abp +SACPABC ，111 - AB?PEAC?PFdAB?CHT AB=AC； PE+PF=C.H222(1 )如图

12、，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：(2)填空：若/ A=30 , ABC的面积为49,点P在直线BC上,且P到直线AC的距离为PF,当PF=3时，贝U AB边上的高 CH=.点P到AB边的距离PE=.【答案】7; 4或10;【解析】解：(1)如图，PE=PF+CH证明如下：/ PE1AB PF! AC CHL AB111 $ abp =AB? PE $ ACP = AC? PF $ abc=AB?CH222 abp = SacP + Sa ABC，1 1 1丄 AB?PE二 AC?PF丄 AB?CH2 2 2又 AB=AC

13、PE=PF+C；图(2)在 ACH 中，/ A=30, AC=2CH1 $ ABC =-AB?aH, AB=AC21 X 2CH?CH=492 CH=7分两种情况： P为底边BC上一点，如图./ PE+PF=CH PE=CHPF=7-3=4 ; P为BC延长线上的点时，如图./ PE=PF+CH PE=3+7=10故答案为7; 4或10.【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积, 问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键.难度适中，运用面积证明可使,/ 4 = 24 .求 N ADB 的度数.5、已知，如图，/ 1 = 12 ，/ 2= 36,/ 3 = 48【答案与解析】解：将

14、ABD沿AB翻折，得到 ABE，连结CE, 则 ABD ABE , BD =BE,NADB =NAEB, / 1 = / 5= 12 .:.厶 EBC =4 +N2+ N5 =60E:厶ABC =N3 =48.AB =AC . 又/ 2 = 36, N BCD =N3+N4 =72,:，厶 BDC =NBCD ,BD =BC BE = BC BCE为等边三角形.- BE =CE.又AB = AC, AE垂直平分BC AE 平分 N BEC 1 N AEB = NBEC =30 2 ABD 全/ ADB= 30【总结升华】直接求NADB很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与 等的三角形，从

15、而使其换个位置，看看会不会容易求.举一反三:【变式】在 ABC中，AB= AC, / BAC= 80, D为形内一点，且/ DAB=/ DBAr 10 ,求/ ACD的度数.【答案】解：作D关于BC中垂线的对称点 E,连结AE, EC, DE ABDA ACE AD= AE, / DAB=/ EAC= 10 ./BAC=80 ,DAE= 60,A ADE为等边三角形AED= 60DAB=/ DBA= 10./ AD= BD= DE= EC/ AEC= 160,/ DEC= 140/ DCE= 20/ ACD= 30类型三、等边三角形的综合应用Cl)(2)（1）如图（1）所示，当点F是否在直线N

16、E 上?（2）如图（2）所示，当点在点B左侧时，请你判断 EN与MF有怎样的数量关系？点在BC上时，其他条件不变，（1）的结论中（2）证明；若不成立，请说明理由.EN与MF的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图【答案与解析】解：（1）EN = MF，点F在直线 NE 上.证明：连接DF, DE , ABC是等边三角形，AB = AC = BC .又 D , E, F是 ABC三边的中点， DE , DF, EF为三角形的中位线. DE = DF = EF,/ FDE = 60.又/ MDN +/ NDF = / MDF , / NDF + / FDE =/ NDE , DMN为等边三角形，/ MDF =/ NDE .DM = DN , / MDN = 60(DF = DE在 DMF和 DNE中,NMDF =NNDE，dm =DN DMF N DNE ,MF = NE，/ DMF =/ DNE ./ DMF + 60 =/ DNE + / MFN/ MFN = 60 FN / AB ,又 EF/ AB , E、F、N在同一直线上.(2)成立.证明：连结 DE , DF, EF, ABC是等边