圆锥曲线综合试题(全部大题目)含标准答案

1、1. 平而上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 X2 = 2py外一点P(心,凡)的任一直线与抛物线的两个交点为c、D.与抛物线切点弦AB的 交点为Q。(1) 求证：抛物线切点弦的方程为xox = p(y+)b)；(2) 求证：丄+|PC| PD PQ2. 已知左点F (1, 0),动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N, 且莎帀 = 0,1顾1=1顾I.(1) 动点N的轨迹方程；(2) 线与动点N的轨迹交于A, B两点，若鬲亦=*,且4石勺ABIS4质，求直 线/的斜率*的取值范围.2 2 2 23 如图，椭圆C|：罕+匚=1的左右

2、顶点分别为A、B, P为双曲线G：罕-匚=1右支4 3-43上(兀轴上方)一点，连AP交C,于C,连PB并延长交C：于D,且AACD与APCD的而积相 等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.x(II) 若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60 ,求此双曲线的方程：(III) 满足(II)的双曲线上是否存在两点P, Q关于直线去 尸尸1对称，若存在，求出过P, Q的直线方程：若不存在，说明理由。6如图(21)图，Jf (-2, 0)和再(2, 0)是平面上的两点,动点尸满足：PM + PN = 6.(1)求点尸的轨迹方程:若|PM|PN| =21-cos 乙 MPN7已知F为椭略+斧1(

3、小0)的右焦点,直细点F且与双曲线一-二=1的两条渐进线厶仏分别交于点M.N ,与椭圆交于点A,B a b8若如期气，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。（II）若丽顾=0 （O为坐标原点）,E4 = |V,求椭圆的离心率0。8设曲线G：7+r=1（为正常数）与C2: y2 = 2（x + in）在X轴上方只有一个公共点P。（兀一兀），=2（也一儿）化斜为直后由于丄+丄=旺+尤2 _2（兀+冰）x2 xxx2 +2pk另一方而,由于P（0、0）所以切点弦方程为：一兀（大一兀）=0-2儿）所以兀+2冰 1 _ x0 + pk為=1x0 + pk x3 + 2pk从而1 1 2i=册 X羽1 1 21P

4、C PD PQ2.设动点N的坐标为（3）,则go）叫）（5）网=（_,分2序=（1,_弓）,由丽莎=0得- x + = 0因此，动点的轨迹方程为/=4x（x0）.424（I）求实数加的取值范用（用表示）:（II）O为原点，若G与x轴的负半轴交于点A,当（）“时，试求SOAP的面积的最2大值（用“表示）。1. （1）略（2）为简化运算，设抛物线方程为（x-x0）2=2/Xy-y0）点Q, C, D的坐标分别为（勺 儿）心卩X）心2，2）点P（0,0）,直线y =x2 一 2(x0 + pk)x + x； + 2/?y0 = 0一方而。要证丄+_!_=丄PC PD PQ1 1 2只须证：I-=X】

5、勺兀(2)设与抛物线交于点A (弧“)当与x轴垂直时， 则由为= -4.得儿=2近吐=-2十2| AB1= 4迈 0)上，有y； =4兀,用=4入故儿儿=-8又 y=4-r,尸Jcx+b 得 /c4y+4b=0y8 分 所以兰=_&b = 一2k4 = 16(1 + 2L),I AB |2= 11匚(竺因为4庙口 ABIS4所以96S上(卑+ 32)3480.解得直线1的斜率的取值范囤是7-】5于1】12分3由题意得 C 为 AP 中点,设 C(xo,yo)M(-2.O), P(2.q + 2.2儿),3 吋 + 4.叮=12 3(2%+ 2尸 - 4, = 12,把C点代入椭圆方程、P点代入

6、双曲线方程可得j3“+4解之得：33, 故* 牙),P(4,3),又5(2,0)L2联立故直线pd的斜率为2z2 = 2,直线pd的方程为v=2Cv_2).OA OB =+ yy2 = xx2 + （匕 + rh）（kx2 + m） =（ + k2 ）xx2 + km（xx + x2） + nr（1 + 5宀-空+ ，芈 疋一1-k2k2-又因为x内 0，所以疋-1 o,从而丽 OB2.综上，当AB丄x轴时，鬲面取得最 小值2.解法二：(I) 同解法一.(II) 设A, B的坐标分别为,贝IJ(和必),(x2,y2),则彳-7 = U + X)(兀 一 yr) = 2(/ = 1,2).令 s

7、r- = Xj + ytj =xf 一 %,则 s = 2,且 0/ 0(, = 1,2)所以OA OB = xx2 + yy1=sx +人）（归 +4）+ #（峙 一/）（归一。）* 2,时=成立.J =_）2=丄$2 +丄也A JS$2“2 = 2,当且仅当甲2 = Vz，即“2 2所以丙亦的最小值是2.5. 当k二0或2-1或24时，C表示直线：当kHO且kH-l且kH4时方程为 y匚y + = l，为椭圆的充要条件是：匕10且土匕0.3工纟二1 + 1 k + 1k4-Rk4-Rk 41即是 0k2 或 2k4为双曲线的充耍条件是 4纟二14, k 4_k当Rv-l或k4时,双曲线焦点

8、在轴上卫2=匕1上2=11得6, k k 一4当lk0时,双曲线焦点街轴上z,2= y =,=6.不符. kR -4综上得双曲线方程为：辛-茅=16 2y = -x + m6x2-2y2=7(III) 若存在，设直线PQ的方程为：yFm消去y 得:4” + 4/nx- 2m2 -7 = 0m设P0的上点是M (A；,儿)，则(),.存在满足条件的P、Q,直线PQ的方程为.v = -A-| 乙6. (1)由椭圆的左义，点尸的轨迹是以用为焦点，长轴长2尹6的椭圆.因此半焦距长半轴尹3,从而短半轴 b=ya2-c2 =y/5 ,2 2所以椭圆的方程为+ = 1.952由PM卜|刖| =得1111 1

9、cosMPN| PM 卜| PNcos MPN = PM | 列-2因为cosMPN HP不为椭圆长轴顶点，故P、H、N构成三角形在刊中,|M/V| = 4,由余弦定理有= PM +|P7V|2 -2|PM|.|PN|cosMP/V.将代入，得 42=|PA7|2+|P?/|2-2(|PM|.|P/V|-2).2故点尸在以、”为焦点，实轴长为2JJ的双曲线y-y2 = l.由(1)知，点尸的坐标又满足牛+ * = 1,所以由方程组+9 =45,解得,才+3尸=33羽x = .2 严互 2即尸点坐标为攀爭或俘普.7解：期吟是直细与双曲线两条渐近线的交点,Ia:.=tan =,即 a = Q3b2

10、分a 63双曲线的焦距为4./+沪=44分解得，a2 =b2= .椭圆方程为y + y2=l5分(II)解：设椭圆的焦距为2c,则点F的坐标为(c,0)-OM 顾=0,/丄厶直线厶的斜率为-,直线/的斜率为巴，ab直线/的方程为y = Cb由y = -(x-a)b . 解得)4c ab y=r4c10分。.点A在椭圆上，+存“12分(3c2 +a2)2 +a4 = 6a2c2 .(3, +1)2 +1 = 16,宀宀=0宀膂 椭圆的离心率是呼.+ v2=1a2= x2 +2a2x + (2m-l)a2 = 0,y2 = 2(x + m)设f(x) = x2+2a2x + (2m-l)a29则问

11、题(I )转化为方程在区间(一)上有唯一解： 若 = 0=加=乞二L 此时心=一(几 当且仅当_dv/v 即0 vavl适合：2 若 f (a)/(一d) 0 ,则 一“ m ? = a ,此时心=一2/,当且仅当一aa-la1 加=一。，此时 Xp=-“-2，但-d-2Rv-d,从而 m 工一“。综上所述，当0 Vd V1时，加=或TV2Sa：当dhl时，-a m a o2(ID SOAP的面积是S = -avp.因为所以有两种情形：2p2 当-ama时，0-/ + aja2 -2? +1 “ ,由唯一性得xp = -a1 + ay/a2 -2/n + l。显 然，当m = a时，心取得最小值。_2/,从而，厂卜号 取得最大值2jd ,所以有 当也=匕二时，=一/, “=J1-/ ,此时s = *dj匚扎因此，有当- 亍,即 o ayj-a2 2322即丄 v a v 丄时，5nuv = aja_a。3 2HUA2解得D(,二) 故直线CD的倾斜角为90。1 1434. 解法一：(【)由PM PN二2JI知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，实半轴长a = 2 2 2又半焦距C二2,故虚半轴长b = y/c2 * 4-(r =迈所以W的方程为- = 1