数学建模客观、合理地评价学生的学习状况

1、封一答卷编号：答卷编号：论文题目：客观、合理地评价学生的学习状况（c题） 组 别：研究生参赛队员信息(必填)： 姓 名专业班级及学号联系电话参赛队员1孙海琳基础数学（07b912007赛队员2朱琳微电子（08s021106赛队员3许娜微电子（08s021067参赛学校：哈尔滨工业大学报名序号：封二答卷编号：答卷编号：评阅情况：学校评阅1.学校评阅2.学校评阅3. 评阅情况：联赛评阅1.联赛评阅2.联赛评阅3.目录摘 要10 问题重述及模型假设21学生学习情况的整体分析21.1 集对分析法理论基础21.2 模型建立与求

2、解51.3 用统计理论对集对分析结果进行检验61.4 模型总结72采用两种方法评价学生具体学习状况82.1 数据包络分析法评价学生的学习情况（第一种评价方法）82.1.1 数据包络分析方法理论基础3,482.1.2 模型的建立102.1.3 模型求解112.1.4 模型分析与成绩评估122.1.5 模型的总结及改进：142.2 统计指标分类法（第二种评价方法）152.2.1 模型建立152.2.2 成绩总结：172.2.3 模型总结及改进方向192.3 两种评价方法的横向比较203 两种评价方法的预测模型203.1 针对第一种评价方法的预测模型203.1.1 ar预测模型203.1.2 二维多

3、元回归分析模型213.1.3小波预处理数据后再预测模型213.1.4 模型总结223.2 针对统计指标分类法评价模型的成绩预测方法：223.2.1 预测模型原理以及模型建立223.2.2 统计指标分类法预测结果分析233.2.3 模型推广233.3 两种预测模型的评价244 总结24参考文献25附件2626摘 要客观有效地评价学生学习状况是教学工作中一项非常重要的工作。本文采用集对分析(spa)理论同异反态势排序这一系统方法着重从系统角度对学生四学期学习情况进行了整体分析，并用相关数理统计方法对spa得出的结论进行了印证，验证spa法关于学生整体学习状况的讨论结果的科学和准确性。为了对每个学生

4、成绩做出具体的评价，采用数据包络分析方法，提出了用相对努力程度来评价学生的学习状况的模型，在一定程度上消除了评价对象之间客观基础条件优劣对成绩评价结果的影响，而采用统计指标分类评价模型则可以客观具体地在第一时间迅速找出最需要关注的学生，弥补了数据包络分析方法在少数极端变化数据处理上的不足，两种评价方法优势互补，客观全面合理地评价了这些学生的学习状况。最后，为避免直接对每个学生四学期成绩预测会出现明显偏差的问题，提出了将整体成绩进行多元回归分析预测的模型以及对数据进行小波去噪预处理后再预测的模型。另外在假设学生均分以及方差在短期内不会发生变化的基础上，针对统计指标分类法建立了预测模型，都取得了较

5、令人满意的数据。但是值得指出的是两种预测模型都只对短期预测有效。关键词：集对分析；数据包络分析；成绩评价；预测；数理统计；小波去噪0 问题重述及模型假设评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异； 其评价结果容易引起人们将学生的学习状况差的现象仅仅从客观基础条件方面寻找原因，而对学生的主观努力程度的不足缺少分析，这样只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生不仅不能有助于改善他们的学习情况，反而会造成一定的负面影响，难以充分调动学生

6、学习的积极性。评价产生的激励作用是有限的。为此，需要找到更为全面、合理、客观地评价学生学习状况的方法和思路。以612名学生四学期成绩为例，通过这些学生连续四个学期的综合成绩作对这些学生的整体情况进行分析说明；并采用两种及以上方法，全面、客观、合理的评价这些学生的学习状况；最后根据不同的评价方法，预测这些学生后两个学期的学习情况。模型假设：1.假设每次考试的难度相同,教师每次评卷标准也相同。由于每学期学生的考试成绩跟学生的学习情况和试卷的难易程度都有关系，在本问题中，只给出学生四个学期的成绩，只能通过成绩来分析学生状况。所以这个假设是合理的。2假设所有学生所处学习生活环境差异很小，可忽略不计。假

7、设所选612个学生处在同一学习环境中，所学科目内容一样，任课老师水平，班级情况，家庭因素相仿，这样假设是因为班级、学校、家庭、社会的影响因素须由专家或权威人士调查问卷测评得到，所以认为采用的数据中不包括教师的影响因素；也不包括班级、学校、家庭、社会的影响，所以可以认为这些因素对所有同学的影响是相同的；成绩的高低变化只反映出学生的学习状况。同样这个假设是合理的。1学生学习情况的整体分析为了合理的评价学生的总体学习状况，对学生的成绩分布采用了集对分析（spa）及其同异反态势排序的展开。通过把学生成绩划分为优、良、中、差四档次,然后对照同异反态势排序的一种展开来研究学生成绩中蕴含的学习状况的信息。然

8、后用相关统计理论对集对分析出的结论进行验证。1.1 集对分析法理论基础spa即集对分析(set pair analysis)是一种着眼于对研究对象作同异反整体分析与系统层次分析相结合的一种系统分析方法,其整体性分析与层次性分析思想主要体现在集对分析中的同异反联系数：a+bi+cj (1-1)上,其中a称之为同一度,b称之为差异度,c称之为对立(相反)度,a0,1,b0,1,c0,1,a+b+c=1,j=-1,i-1,1,在不计i、j的值时,i、j分别作差异度与对立度的标记使用。文献1指出同异反联系数a+bi+cj可以根据不同的研究对象作不同层次的展开。例如,要把b作深一层次的细分,则可以把(1

9、-1)式展开成a+b1i1+b2i2+bnin+cj (1-2)当n=2时,由(1-2)式得 a + b1i1 + b2i2 + cj (1-3)为应用方便起见,本文把(1-3) 式改写成 =a + bi + cj + dk (1-4)并规定a0,1，b0,1，c0,1，d0,1，且a+b+c+d=1,i0,1,j-1,0,k=-1。在不计i 、j 、k 的值时,i 、j 、k 仅作标记使用,并称a 为同一度,b 为正差异度,c为负差异度,d 为对立(相反) 度,经以上规定的(1-4) 式称其为四元联系数。于是,可以仿参考文献1中的思路讨论a 、b、c 、d 的大小关系,从而给出同异反态势排序

10、的一种展开,见表1-11。表1-1同异反态势排序的一种展开1序号a、b、c、d的大小关系同异反态势名、分级及态势序序号a、b、c、d的大小关系同异反态势名、分级及态势序1ad,ab,bc,cd同势强同势1级(1)42a=d,a=b,b=c,cd,ab,bc,cd2级(2)43a=d,a=b,bd不成立3ad,ab,bc,cd3级(3)44a=d,a=b,bd,ab,b=c,cd4级(4)45a=d,a=b,bc,cd,ab,b=c,c=d5级(5)46a=d,ac,cd微均势1级(26)6ad,ab,b=c,cd6级(6)47a=d,ac,c=d2级(27)7ad,ab,bd7级(7)48a=

11、d,ac,cd,ab,bc,c=d8级(8)49a=d,ad4级(29)9ad,ab,bc,cd9级(9)50a=d,ad,a=b,bc,cd弱同势1级(10)51a=d,ab,b=c,cd,a=b,bc,c=d2级(11)52a=d,ab,bd5级(30)12ad,a=b,bc,cd3级(12)53a=d,ab,bd,a=b,b=c,cd4级(13)54a=d,ab,bc,cd,a=b,b=c,c=d不成立55ab,bc,cd反势微反势不成立15ad,a=b,b=c,cd不成立56ab,bc,c=d不成立16ad,a=b,bd5级(14)57ab,bc,cd,a=b,bc,c=d不成立58a

12、b,b=c,cd不成立18ad,a=b,bc,cd不成立59ab,b=c,c=d不成立19ad,ac,cd微同势不成立60ab,b=c,cd,ac,c=d不成立61ab,bd3级(33)21ad,ac,cd不成立62ab,bd,ad不成立63ab,bc,cd,ab,b=c,c=d不成立64ac,cd弱反势不成立24ad,ab,b=c,cd1级(20)65ac,c=d不成立25ad,ab,bd2级(21)66ac,cd,ab,bc,c=d不成立67ad2级(36)27ad,ab,bc,cd3级(22)68ab,bc,cd均势强均势不成立69ad,a=b,b=c,cb,bc,c=d不成立70ad,

13、a=b,bd4级(38)30a=d,ab,bc,cd不成立71ad,a=b,bb,b=c,cd不成立72ad,a=b,bc,cb,b=c,c=d不成立73ad,ac,cd强反势1级(41)33a=d,ab,b=c,cd1级(20)74ad,ac,c=d2级(42)34a=d,ab,bd2级(21)75ad,ac,cb,bc,c=d不成立76ad,ad4级(44)36a=d,ab,bc,cd弱均势3级(22)77ad,ac,cd不成立78ad,ab,b=c,cc,c=d不成立79ad,ab,bd7级(47)39a=d,a=b,bc,cd1级(23)80ad,ab,bd不成立81ad,ab,bc,

14、cd,ac,cd,从表1-1可知，四个学期均处于微同势，1级15态势序。证明学生总体的学习状况都处于微同势这一同异反态势级上。这说明这4学期成绩的态势相同，学生成绩变化幅度不大，比较稳定。2.取对立度系数k为-1。差异度b代表良等级的人数比例，由于这部分人如果通过努力成绩获得提高可进入到优档，同时要是学习退步成绩进入中档的可能远大于进入差档，所以取i=0.5，b成为正差异度。同理，差异度c代表中等级的人数比例，由于这部分人如果学习退步成绩会进入到差档，同时要是学习退步成绩进入良档的可能远大于进入优档，所以取i=-0.5，c成为负差异度。根据表达式（1-4）分别计算四个学期的联系度表达式如下：1

15、=0.2255+(0.4493/2)-(0.2288/2)-0.0964=0.23932=0.3366+(0.402/2) -(0.1797/2)-0.0817=0.36603=0.2124+(0.4951/2)-(0.2353/2)-0.0572=0.28514=0.317 +(0.469/2) -(0.1716/2)-0.0425=0.4232根据以上结果可以得出结论：数据在稳定中存在波动。即第二学期学生总体学习情况明显好于第一学期（21），同时由图1可见，第二学期里，良、中、差三档的学生都比第一学期减小，只有优档学生人数增加，说明在第二学期中每个档次的人都有在进步，总体学生学习情况良好。

16、而第三学期学生总体学习情况却差于第二学期（23），同时由图1可见，第三学期里，优，差两档的学生都比第二学期减小，中良两档学生人数增加，说明在第三学期中可能由于骄傲情绪出现，部分第二学期处于优档的学生成绩下滑入良档，同时差档学生人数减少，说明部分差档学生通过努力成绩得到提高，进入中档，总体来说，优良学生的学习状况不如第二学期，但差同学在进步。 在第四学期中学生的总体学习情况明显好于第三学期（43），第四学期里，良、中、差三档的学生都比第三学期减小，只有优档学生人数增加，说明在第四学期中每个档次的人都有在进步，使优档人数增多，总体学生学习情况良好。表明从总体上说，第三学期成绩存在下滑趋势，引起了教

17、师和学生的重视，于是在第四学期成绩有所回升提高；从第一学期到第四学期，不及格人数一直在下降。说明基础比较差的学生在四个学期内一直在努力减小与班级其他同学成绩之间的差距。图1-1 各学期各分数段的人数比例图1.3 用统计理论对集对分析结果进行检验众所周知 ,按照数理统计学的基本原理 ,理想的考试成绩的分布应该是正态分布，但是不论是采用以jarque-bera检验为基础的matlab函数jbtest，还是构造pearson统计量采用卡方检验的假设检验方法,都说明四个学期的学生成绩分布均不符合正态分布曲线。由于成绩分布不属于正态分布，根据文献2中“偏度、峰度检验法”理论，可计算出四个学期的偏态值和峰

18、值。并通过文献2中可得出峰度和偏度服从正态分布的接受域分别为： （1-5） （1-6）两式可以计算出在样本容量n为612的时候,在显著性水平=0.2的时候偏度接受域应该为(-0.0512,0.0512)，峰度的接受域应该为(2.8885,3.0919)。而经计算四个学期学生成绩的峰度和偏度分别为： 第一学期第二学期第三学期第四学期峰度：5.45249.943211.030117.2942；偏度：-1.2296-1.9094-1.9344-2.9139。可以看到四个学期的峰度和偏度都不在接受域内。四学期成绩的分布图为图1-2所示.图1-2 四学期的学生成绩的分布图1.说明学生学习情况整体中档和中

19、上档居多，出现峰值，缺乏尖子学生，差学生比较少，这符合spa理论得出的结果：四个学期均处于微同势，1级15态势序。学生总体的学习状况都处于微同势这一同异反态势级上。这说明这4学期成绩的态势相同，学生成绩变化幅度不大，比较稳定。2.可以看到四个学期的峰度和偏度的绝对值都在升高，但是峰度的提升速度比较快说明学生同一化现象比较严重，学生的综合水平很接近，这进一步验证了上面的观点。偏度的升高缓慢，但是也说明总体略微有向后的趋势，但是并不明显。3.根据数理统计可分别计算出四学期的学生成绩的均值与spa模型中四个学期的联系度进行比较，得出学生的整体学习情况的波动情况相一致。一、三学期成绩的标准差较二、四学

20、期小，这是因为一三学期优等档学生和差档学生都向良、中两档学生靠拢的原因，与spa分析的结论一致。均值 标准差 第一学期 72.5527 9.50010.2393第二学期 74.3735 10.59740.3660第三学期 73.1703 9.01320.2851第四学期 75.0630 10.24230.42321.4 模型总结 综上所述，根据spa分析中同异反态势排序把学生成绩划分优、良、中、差四档,可对照同异反态势排序的一种展开来研究学生成绩中蕴含的信息。从系统的角度看,同异反态势排序分析主要是利用了数据系统的结构信息。结构具有层次性, 得出的结论与数理统计得出的结论相一致。可以比较合理、

21、科学的反映出学生整体的学习状况。结果比较有说明性，与实际状况比较吻合。2采用两种方法评价学生具体学习状况评价学生学习状况的目的是激励优秀学生努力学习取得更好的成绩，同时鼓励基础相对薄弱的学生树立信心，不断进步。然而，现行的评价方式单纯的根据“绝对分数”评价学生的学习状况，忽略了基础条件的差异；只对基础条件较好的学生起到促进作用，对基础条件相对薄弱的学生不仅不能有助于改善他们的学习情况，反而会造成一定的负面影响，难以充分调动学生学习的积极性。绝对分数的评价结果容易引起人们将学生的学习状况差的现象仅仅从客观基础条件方面寻找原因，而对学生的主观努力程度的不足缺少分析，评价产生的激励作用是有限的。为此

22、，这对以上问题采用以下两种方式对学生的学习状况进行分析。2.1 数据包络分析法评价学生的学习情况（第一种评价方法）2.1.1 数据包络分析方法理论基础3,4数据包络分析(dea)是运筹学的一个新研究领域，是研究同类型生产决策单元相对有效性的有力工具，是以相对效率概念为基础发展起来的一种效率评价方法，具有单输入单输出的过程或决策单元其效率可简单的定义为：输出输入。具有多输入多输出的生产过程或决策单元，其效率可类似定义为：输出项加权和输入项加权和，形成了仅仅依靠分析生产决策单元(dmu)的投入与产出数据，来评价多输入与多输出决策单元之间相对有效性的评价体系。这种评价体系以数学规划为工具，利用观测样

23、本点构成的“悬浮”在整个样本上的分段超平面，来评价决策单元的相对有效性。建立评价模型的指标体系：参考指数是反映了被评对象的客观基础条件状况的数据。当前指数是通过采用某种方法对当前的状况进行测算得到的指数。设xj是第j个被评单位的参考指数，yj是该被评单位的当前指数，其中xje1，yje1,称数组(xj,yj)为第j个被评单位的指数状态。图2-1 被评对象有效主观努力程度的几何解释3将参考指数作为横坐标x，把当前指数作为纵坐标y。假设有三个被评对象参加评估，它们的指数状态分别是a(x1,y1)，b(x2,y2), c(x3,y3)，它们在平面坐标的位置如图2-1所示。评价对象b的参考指数介于评价

24、对象a、c之间，即x1x210），代表学生成绩的稳定性。再根据学生不同进步幅度的人数分布图，分成将进步程度划分为三档：进步档（8分）、稳定档（-8分到8分之间）和退步档（8分）的同学，将其分到（优档，稳定档，进步档）中；对于基础差（平均成绩在60分以下），成绩波动大（标准差大于10），但有进步（8分）的同学将其划分到（差档，不稳档，进步档）中，然后对每一类的人员及人数进行了统计。全部数据见附录第二种评价方法（数理统计分类）评价结果。图2-4 学生各统计指标人数分布图由此可见这个方法的主要优点就是，教师可以根据以上分类马上找到重点关注的学生，对相应类别的学生进行奖励和特殊鼓励。见表2-7：标准差

25、进步幅度平均成绩表2-7 各分类人数表不稳定较稳稳定优进步033退步000稳定08127良进步0422退步1131稳定171179中进步7352退步250稳定33733差进步1071退步830稳定152上表中数字居左的是属于第一级别重点关注对象，居右是第二级别重点关注对象，居中的是第三类关注对象。2.2.2 成绩总结：第一级别重点关注对象（共29人）：1. 优良中档标准差不稳定（10），进步幅度为进步或退步（|进步幅度|8）的学生；2. 差档标准差不稳定（10）的学生；所有属于（优/中/良，不稳定，进步）共7人，这二类代表学生有较大的潜力，只要通过努力就可以跨入上一档学生的行列中，而且他们通过

26、了自己四个学期来的努力取得了很大的进步。例如：中档学生354号和544号，他们在四个学期进步幅度较大，教师和家长应该对学生的努力给与积极的肯定和鼓励。激励学生学习积极性，保持状态，继续进步。学号第一学期第二学期第三学期第四学期成绩均值标准差进步幅度35451.69470.69776.02977.70569.0309911.93826.0106754442.47971.40769.81674.09864.7846410.4612621.025所有属于（差，不稳定，进步）共10人，这类学生情况复杂。一般认为，在低分段，成绩有较大起色要比在高分段容易的多，所以在这个类别，虽然绝大部分同学都着较大潜力

27、，如387号，从36分进步到71分，但是也存在着一些大起大落的学生，比如313号，其4学期成绩四舍五入后分别为27，61，54，46分。但是，无庸质疑，他们都是最需要得到关注的学生。所有属于（优/良/中，不稳定，退步）共3人，这三类的学生代表原本成绩较好的学生在短期内成绩出现大幅度下滑，可能是学生主观情绪上出现一些问题，或者受了某些外在因素的影响导致，成绩大幅下滑，对于这样的学生，教师家长因立即查明原因，尽快帮助学生解决思想存在的问题，改善学生成绩下滑的趋势。例如：565，168号学生成绩在短期内大幅下滑。更为明显的是452号同学，原本成绩优异，但从第三学期开始成绩下滑了26分，学习成绩明显下滑，急需找出问题原因改善学习状况。本类学生中属于（优/不稳定/退步）学生为0说明成绩越高（85分以上），进步幅度受到限制，有更大的进步幅度的可能性小。学号第一学期第二学期第三学期第四学期成绩均值标准差进步幅度45287.34789.27362.64364.25075.8781314.39137-23.096916876.366.6607148.2045559.27562.6100611.