(本科)大高数复习资料

1、()xa 6函数的极限x0时函数极限的证明()已知函数 f(X )，证明lim f (x)= A0 , Wn = g(& ，当 n aN 时，始终 有不等式 Xn - a V s成立， lim xj = aX_第三节O XT【题型示例】【证明示例】1. 由 f (x)-A s 化简得 0X-Xo cgM ), = g (g)2即对 vs 0 , =g2 )，当 0O无穷小与无穷大的相关定理与推论()(定理三)假设 f(x )为有界函数，g(x)为无穷小， 则 lim f(X)”g(x)= 0(定理四)在自变量的某个变化过程中， 若f(x)为 无穷大，则fd(x )为无穷小；反之，若f(x)为无

2、 穷小，且f(X)H0，则f-*(X )为无穷大【题型示例】计算：limf (x)”g(x)(或xt处)30 LJ函数|f (X j在X=X0的任一去心邻域U (xo ,5 )内是有界的；( I f (X j W M ,2. lim g(x)=0即函数g(x )是xt x。时的无穷小；X0(limg(x)=0即函数g(x )是xt时的无穷小；)3 .由定理可知(lim L f (X ) g (X) = 0) 第五节极限运算法则O极限的四则运算法则()(定理一)加减法则(定理二)乘除法则 关于多项式p(x卜q(x )商式的极限运算 设：r p(x)=aox m+ a1Xm-+ +am始终有不等式

3、 f (X )-A X =g(s )2.即对Vs 0 , mx =g(g )，当X X时，始终有不等式f(x)Ac s成立，lim f(X )= AX第四节无穷小与无穷大O无穷小与无穷大的本质()函数f(x )无穷小U lim f(x)=0 函数f(x )无穷大u lim f(x)=c则有limp(x) _ 严q(x) 0lim a f g(x)f (xo ) g(xo )g(xo )H0g(xo )=0,f (xo )H0g(xo )= f(Xo )=0f(x)0=(不定型)时，通常分g(x)0子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极 限值，也可以用罗比达法则求解)文档收集自网络，仅用于

4、个人学习(特别地，当limX 3【题型示例】求值lim上戶q(x)=boxn +b,xn+bn【求解示例】解：因为XT 3，从而可得xh3，所以原x3. X3.1式=lim _ = lim= limxx _9 x_3（x +3）（x-3） Tx+3其中x=3为函数的可去间断点X -9倘若运用罗比达法则求解（详见第三章第二节）0 ,X-3 0（X311解：lim_=lim =lim xx -9lx_32- T2x 6（X -9）O连续函数穿越定理（复合函数的极限求解）（）（定理五）若函数 f（x ）是定义域上的连续函数，那lim f（x）= f lim 护（X3X0 L 3 113X0 J解:l

5、imd?r = lim 空竺 VFl2x+1 丿2x+1 丿=lim 11 +2X5( 2x+1 丿1 =e =e2x=e么,【题型示例】【求解示例】求值：xmj沼 lim J = JlimTVx29 VtX -3X2 9斤片 、.一 第八节极限存在准则及两个重要极限O夹迫准则(P53) ()sinx .lim=1XT X第一个重要极限:sin xx0)【题型示例】求值:lim X-JC么+3厂2x+1 丿【求解示例】第二类间断点（无穷间断点（极限为邈）（特别地，可去间断点能在分式中约去相应公因式）r 2x【题型示例】设函数 f（X ）= Ie, X V 0应该怎样选la + X X 0择数a

6、，使得f（x）成为在R上的连续函数？【求解示例】f （0-）220-=6 =e* f（0+） = a +0+=af（0）=a9 / 92. 由连续函数定义lim f(x)= lim+f(x)= f(O)=eXT。；JO a = e第九节 闭区间上连续函数的性质O零点定理（）【题型示例】证明：方程f（x）=g（x）+C至少有一个根介于a与b之间【证明示例】（建立辅助函数）函数 W （X ）= f （X ）- g （X ）-C在 闭区间a,b 上连续；1.申（a（b）v0 （端点异号）由零点定理，在开区间（a,b ）内至少有一点 匕，使得佗）=0,即 f （匕）-g（ ）-C =0 （ 0/右），

7、求y【求解示例】解:y=f e(earcsinE+7X右rI earcs in qCe p 一+Vx +a I1丰 arcsinJx2 1厂厂2 .(e 中 一+Vx +a )arcsi n 和X f 22! w -+7x +a(找 一1 ) +(x2 +a2 )J1_(x2 _1 ) 2jx2 +a2丿2xarcsi njx2 1e -r arcsin Jx2 1一丁_”e-(earcsinw 丄)1第四节高阶导数2x2jx2 +aJ 4X Jx2 一1 J2 -x2 Jx2 + a2 丿O fUxHf（nrx）j （或 兽 dn咅）（）【题型示例】求函数 y = In （1 + X ）的n

8、阶导数【求解示例】y = = （1 + X，1 + xy(1+x =(1)(1 + x,y(tn+xF -(-oaw + xfy（n）=（_1）2 .51）! Q + X）第五节隐函数及参数方程型函数的导数O隐函数的求导（等式两边对X求导）（）【题型示例】试求：方程y = x + ey所给定的曲线 C :y = y（x在点（1 e,1 ）的切线方程与法线方程【求解示例】由y = X + ey两边对X求导即 y = x + (ey )化简得 y = 1+ey V切线方程: 11 -e1y1 =(X1 +e)1-e法线方程：y 1 = （1 e x 1 + e ）O参数方程型函数的求导【题型示例】

9、设参数方程jx = （t ），求iy=Y（t）dxV 2窗 一 dy _m）2 d y _ldx 丿 dx P（t）.dx2 A（t）变化率问题举例及相关变化率（不作要求） 函数的微分【求解示例】2 .由拉格朗日中值定理可得,x 1芦e -e =（x -1）e 立,又6，二 ex -e1化简得ee x，即证得： 【题型示例】证明不等式：当【证明示例】1.（建立辅助函数）令函数f (x)=ln(1 +x),则对lim xJ|n x0【题型示例】求值:lim10【求解示例】& 0时，ln(1 + x)x/xa0，函数f （X ）在闭区间0,x上连续，在开区 间（0,兀）上可导，并且f（x）=;1

10、+ X2 .由拉格朗日中值定理可得，亡0,x使得等式1 、ln （1 + X ）- ln（ 1+ 0）= 一E （X - 0成立，化简得 ln （1 + x）= X，又 E 亡0,x,1池1:.f （訂= yX2。=一丄 I四 x。= 0（一般地，Ijm 0时，【证明示例】1. (构建辅助函数)设 W(x) =eX X +1Xe x 1 , (X 0)2. A(x)=eX-10, ( xaO ) (X)沁(0)=03. 既证：当x0时，e x + 1【题型示例】证明：当 x0时，In(1 + x)cx【证明示例】1. (构建辅助函数)设 W(x)=ln(1 + x)-x , ( x0)12.

11、W(x)=1c0 , ( xaO)1 +x9( x)W(0)=03.既证：当x0时，In(1 + x)vxO连续函数凹凸性()【题型示例】试讨论函数y = 1 + 3x2 X3的单调性、极值、 凹凸性及拐点【证明示例】【题型示例】求 r 2dx、a +x1.2.X(t0)0(0,1)1(1,2)2(2严)y0+/+0厂+/十/ylU1U(1,3)r5r43.4.函数y =1 +3x2 -X3单调递增区间为(0,1),(1,2) 单调递增区间为(亠,0) ,(2，垃);函数y = 1 + 3x2 - X3的极小值在 X = 0时取到， 为 f (0 ) = 1,极大值在x=2时取到，为f(2)

12、= 5;函数y=1+3x2-x3在区间(=,0),(0,1)上凹， 在区间(1,2),(2, +)上凸；函数y =1 +3X2 X3的拐点坐标为(1,3 )第五节函数的极值和最大、最小值O函数的极值与最值的关系()设函数f (X )的定义域为 D，如果至M的某个邻X-1(-1,1)1(1,3f(X)0+0f(x)极小值极大值4.又V f (1)= 2,f (1)=2,f (3)=18f(X )dx称r-2ly =_3x + 6x=3x(x2)y = -6x + 6 = -6 (X -1 )令 y = x(x2)= 0解得：卜=0,卷=2y = 6( X 1 ) = 0L_x =1(四行表)域U

13、 (xM )UD，使得对x0）:/22兀兀Va +x :令 x=atant （-一 ct v）， 2 2X于是t =arctan-，则原式可化为 asect ； a对于根号下平方差的形式(a A0):/22-jTjTa. Va -X :令 X =asint ( - ct v )，2 2x于是t =arcsin，则原式可化为 a cost ； ab- x :令 x=asect( XY?)，第三节分部积分法O分部积分法（）设函数u=f（x）, v = g（x ）具有连续导数，则其 分部积分公式可表示为：judv = uv jvdu分部积分法函数排序次序：“反、对、幕、三、指”O运用分部积分法计算不

14、定积分的基本步骤：遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序；就近凑微分：（V ”dx = dv）使用分部积分公式：J udv = uv - fvdu展开尾项Jvdu = Jv udx，判断a. 若Jvudx是容易求解的不定积分，则直接计算出答案（容易表示使用基本积分表、换元法 与有理函数积分可以轻易求解出结果）；文档收集自网络，仅用于个人学习b. 若Jv、Udx依旧是相当复杂，无法通过 a中方 法求解的不定积分，则重复、，直至出现容易求解的不定积分；若重复过程中出现循环， 则联立方程求解，但是最后要注意添上常数C文档收集自网络，仅用于个人学习【题型示例】求；ex x2dx【求解示例】解：ex

15、“x2dx = Jx2exdx = Jx2dex =x2ex Jexd（x2 ） = x2eX -2 Jx eXdx =x2eX -2 Jx d(ex )= x2eX -2xeX +2jeXdx =x2eX -2xeX +2ex +C【题型示例】求 gx心nxdx【求解示例】解：ex sin xdx = -JeXd(cosx )= -ex cosx + Jcosxd(eX )次数时，有理函数 虫9是真分式；当P（x ）的次数Q（x）大于Q（X）的次数时，有理函数是假分式O有理函数（真分式）不定积分的求解思路（）将有理函数 P（x）的分母Q（x）分拆成两个没有公因式的多项式的乘积：其中一个多项式

16、可以表示k为一次因式（x-a ）；而另一个多项式可以表示为I I2l2二次质因式（X +px+q） , （ p -4qc0 ）；文档收集自网络，仅用于个人学习即: Q（x ） = Q1（X ）Q2（X）一般地：mx + n=m fx+n，则参数I m丿m2丄-丄丄c）ax +bx+c =a I X +-x+ I a a丿P2（X ）bc则参数p= b,q=caa则设有理函数 巴的分拆和式为：Q（x）P（X）P1（x）十IQ（x） （X-a$（X2 + px+qj其中P（x）A + A2（X -a ）X -a （X a ）P2（x）M1N1尹+ 氏k（X-a）M2X + N2px+q px+q）

17、22l（X2 + px+q ）+ Mix+Ni.2i（X +p x+q）M iMo fMl参数A1，A，-，Ak，N，L41由待定系N IN2数法（比较法）求出得到分拆式后分项积分即可求解x2【题型示例】求上dx （构造法）x+1【求解示例】x（x + 1x-（x + 1+1 f1 ）亠dx= 1 dx= fl x-1+亠 dxx+1x + 1、x+1 丿1 1 2 = Jxdx-J dx+J d- x x+l n（x + 1）+ C第五节积分表的使用（不作要求） 第五章定积分极其应用第一节定积分的概念与性质O定积分的定义（）bna f （xdxpLo f （纠=1（f（x ）称为被积函数，f

18、（x）dx称为被积表达式，X 则称为积分变量，a称为积分下限，b称为积分上限， a,b 称为积分区间）O定积分的性质（）bbJa f （xpx- Ja f （u duaJa f（x）dx = 0f kf（x）0x = k f f （xjdx（线性性质）（推论二）a K f （X ）+ k2g （ X ）dx = k1 Ja f （X px + k? fa x px（5）（积分区间的可加性）bcbf （xdx= Ja f（xdlx + Jc f （xjdx若函数f（x诳积分区间a,b上满足f（x）:0，b则 J f （X jdx0 ;a（推论一）若函数f（x）、函数g（x）在积分区间a,b上满b

19、b足 f （X）兰 g（x ），则 J f （xdlx J g（x）dx ;aabbIf f （X）dx 1 f（X）dxa aO积分中值定理（不作要求）第二节微积分基本公式O牛顿-莱布尼兹公式（）（定理三）若果函数 F（x）是连续函数f（x）在区间 a,b 上的一个原函数，则bJa f（x）dx=F（b）-F（a）O变限积分的导数公式 （）（上上导一下下导） 色识f（t dt = f （X）A（X）- f F（X）L（X）dx qx）【题型示例】lxm01t2f e dtV V ” 2XJcosx【求解示例】20e dt 0 limLt2dx cosx(X2 )t2 13解停xmJ3上 Zt

20、 JHt2+3dtJg + 3xf2 1 t2以 尸 2(3 人丄 c-cos2 Xe 0 -e= lim XT0d . ._cos2x2x0(sin X e引m垃L *心(2x)-cos2 x.cosx e +sin x= lim XT2_cos2 x c .eCsin xcosxC 522=9 =33(分部积分法)bbJa u(x /(xpx =u(x)v(x ) Jav(x)u(xdxbLb bJa u(X dv(x 尸 Lu( X )v(x)l - Ja v(x du(X )O偶倍奇零()设f(x)C-a,a，则有以下结论成立：a=2 m pqs x（sin X +cosx ） 2sin xcosx1丄1=一 e =一2 2e第三节定积分的换元法及分部积分法O定积分的换元法（）（第一换元法）bb