一元二次方程综合培优

1、亠元二次方程拓展提高题1、已知x25x 200032-_2乞1的值是X 2A、8、已知a2若ab 1已知方程已知已知ab已知已知已知10、若方程2004a 10,则2a24007a2004a2 1，且2x22x5a22ax2005a27 0 , 7b2005b3a 40没有实数根，则代数式J6 x，贝U y的最大值为c 0， abcc 0，则（B、C、 aab c2ab2x px q1622m 20060,则a0的二根为X1 ,X2 ,Ja2且 X11 , p q8a160 ,则 X2A、小于1B、等于1C、大于131X 0的一个根，则4D、不能确定12、若 3x2:X:1,则9x43c 21

2、2x 2x7x 2008()A、 2011B、2010C、 2009D、 200813、方程J3x2J3x22的解为.14、已知2x26x2 y0 ,则 X2y22x的最大值是（）A、14B、15C、16D、1815、方程2X2|x|2m恰有3个实根，则m ()A、1B、1.5C、2D、2.516、方程23x3Q 白&上、/tK*米（7*卡日口斗tT （X29的全体实数根之积为（）X3x7A、60B、60C、10D、1011、已知3是方程x21的值为X1 : X22 :3，则 X2 X1217、关于X的一元二次方程2x 5x a 0 （a为常数）的两根之比A、B、2C、D、18已知是方程X2x

3、 10的两个实根，则19、若关于2aX的方程上X亠竺只有一解,XX X求a的值。2k 1 x中考真题1、若X 11，则 X314的值为（）XX2、已知实数、 满足2310，2 310，且1，则2 3的值为（）A、1B、3C、-3D、103、实数X、y满足方程X2 2y2 2xyX 3y10，则y最大值为（)A、1c 3c、3B、一D、不存在2244、方程X2X 3X 11的所有整数解的个数是（)A、2B、3C、4D、55、已知关于X的方程ax bx c 0的两根分别为3和1,则方程bx2cx aI 0的两根为( )A、1-和11B、-和 1c、-和1D、1和132326、实数X、y满足X2xy

4、 y22，记2u Xxy2y ，则u的取值范围是（)A、2-u (62B、2 u 2c、1 u6D、1u 2337、已知实数m，n满足2m m 20090，4120090 mn1，则-nm已知方程k的取值是（)9、2 xn n0的两实根的平方和等于11,k2A、C、110、设a， b是整数，方程X2 axb 0有一个实数根是$7 4丿3，则a b13、已知方程ax4 a 3 X2 3a 0的一根小于 2，另外三根皆大于 1，求a的取值范围。14、已知关于X的方程X2 2x k 0有实数根X1， X2且y x； x；，试问：y值是否有最大值或最小值，若有，试求出其值，若没有，请说明理由。215、

5、求所有有理数q,使得方程qx q 1 X q 1 0的所有根都是整数。21、已知x5xA、 2001答案：D解析：由x 2 35x1 2元二次方程培优题及参考答案20000 ,则2002C、 2003D、 200420004x:1 2x 22000x2 4x2CX 2xx 22004 x 2004归纳：本题解决的方法是通过降次达到化简的目的。2 22、已知 a 2004a 10,则 2a4007a2a1答案：2002解析：由 a22004a 10得：a212004a ,2a 2004a 1 ,原式20042 2004a 14007aa 2120022004 aa归纳：本题解决的方法是通过降次达

6、到化简的目的。23、若 ab 1，且 5a 2005a7 02a,7b 2005b 50，则一b答案：7521 a a2004解析:由7b22005b15 0 得：5 -b2005 1b ab1，即把a和1作为一元二次方程b5x2 2005x70的两根归纳:1 ab b本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。 24、已知方程2x 2ax 3a4 0没有实数根，则代数式Ja28a 16 |2 a答案：2考点：。分析：由方程2x22ax 3a化简代数式。40没有实数根，得0 ,求的a的范围，然后根据此范围解答：解：已知方程2x22ax 3a 40没有实数根0，即 4a24 2

7、 3a 40, ac, ab 6a则代数式 Ja2 8a 16|2 a| |a 4| |a 2|归纳：本题考查了一元二次方程根的判别式。当0时，方程没有实数根。同时考查了一元二次不等式的解法、二次根式的性质和绝对值的意义。5、已知 y 2xx，则y的最大值为答案：978考点：。专题：；分析:此题只需先令0,用x表示t,代入求y关于t的二次函数的最值即可。解答:2x 76 x 12 2t22t2t 122 t -410,且y关于t的二次函数开口向下，则在t -处取得最大值4即y最大值为12 1，即一8 8归纳：本题考查了二次函数的最值,关键是采用换元法，将76 x用t来表示进行解题比较简便。6、

8、已知a b cabc0，则(A、ab 0 答案：BB、C、 a b考点：。专题：。分析：由abcabc0，得到a，b两个负数,再由aab ，这c样可以把a,b看作方程然后由a bc得到a2cx 0的两根,c2.根据根的判别式得到0,解得c 2 ,解答：-abcabc可以把a, b看作方程cx ca b 2，即 a点评：本题考查了一元二次方程根的判别式：如方程有两个实数根，则 元二次方程根与系数的关系以及绝对值的含义。0 .也考查了27、已知 a b 8, ab c 160，贝U a b c答案：0考点：；。分析：本题乍看下无法代数求值，也无法进行因式分解；但是将已知的两个式子进行适当变 形后，

9、即可找到本题的突破口。由a b 8可得a b 8 ;将其代入ab.2c.2b 8b c出b、c的值，解答：V160 ;此时可发现进而可求得a的值;c216 0 得:b2 8b 16正好符合完全平方公式，因此可用非负数的性质求 然后代值运算即可。又 abc2160 b28bc2162 20 ,即 卩 b 4 c 04, c 0- b归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握,c 0又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法.8、已知2m m 10，则2m22006答案:2005考点：。专题：。分析：根据已知条件可得到m2 m 10，然后整体代入代数式求值计算即可。解答:原式m m2 m m 2006

10、m2m 2006 120062005点评:这里注意把要求的代数式进行局部因式分解，根据已知条件，整体代值计算。29、已知 a b 4 , ab c 40,则 a答案：0考点：。专题：.分析：先将字母b表示字母a，代入ab 性质求出a、b、c的值，从而得到a b的值。解答： a b 4- ac10、若方程X px q 0的二根为X1 ,40，转化为非负数和的形式，根据非负数的代入ab c240，可得（4b2 240，即 b 2 c 0 b 2, c 0又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法。归纳：本题既考查了对因式分解方法的掌握,解题关键是将代数式转化为非负数和的形式。x2，且 Xt 1 ,

11、p q 30 ,则 x2 ()A、小于1B、等于1C、大于1D、不能确定答案：A考点：.专题：.分析：方程x2px q0的二根为X1 ,X2 ,根据根与系数的关系及已知条件即可求解。解答：方程2Xpxq0的二根为X1,X2 XiX2P ,X1 X2q X1原式 , Pq3- Xtx2X1X23- X2X1 X23X12 X2 Xi12 X112- X21归纳：本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键掌握X1 , X2是方程X2 pxq 0的两根时，為 X2P , X1X211、已知是方程x2 x0的一个根，则的值为可。答案：5考点：。专题：。分析：根据已知条件可得到1-然后整体代入代数式求值

12、计算即4解答:是方程x20的一个根-0,即 24点评：这里注意把要求的代数式进行局部因式分解,212、若 3x x根据已知条件，整体代值计算。4321，贝U 9x 12x 2x7x 2008()A、 2011答案：BB、 2010C、 20092008专题：；.分析:将3x2x 1化简为3x2整体代入9x412x3 2x2 7x2008变形的式子 3x2 3x25x 3x2 x 12 3x22010，计算即可求解.解答: 3x2x 1，即 3x2432- 9x 12x 2x 7x 20083x23x2 x21 5x 3x x12 3x2x 120102010归纳:本题考查因式分解的运用，注意运

13、用整体代入法求解。13、方程J3x 2 J3x 2 2的解为答案：-3考点：利用方程的同解原理解答。专题：。解答：(3厂3 2两边同时平方得：3x 2 3x 2 2+ 4 4整理得：J9x2 4 3x 2再平方得：12x8 解得:归纳：本题考查将无理方程通过平方的方式转化为有理方程解答。2214、已知 2x 6x y0，则 x22x的最大值是(A、14答案：BB、 15C、16D、18考点：。分析：由2x2 6x y20得y22x26x代入x2y2 2x,通过二次函数的最值，求出它的最大值。解答：2x2 6x y2 0 化为 y2 2x2 6x ,0 y , 0 x 3故 x22二次函数开口向

14、下，当 x 4时表达式取得最大值由于0x3 所以x 3时此时y 0 ,表达式取得最大值：152 2y 2x 8x x点评：本题是中档题，考查曲线与方程的关系，直接利用圆锥曲线解答比较麻烦, 思想使本题的解答比较简洁，注意二次函数闭区间是的最大值的求法。利用转化15、方程x22|x| 2 m恰有3个实根，则 m ()A、1 答案：CB、1.5D、2.5考点：；专题：。分析：因为方程中带有绝对值符号，所以讨论方程的根分两种情况：当 x2 2x 2 m .0时，原方程为x2 2x 2 m ；当x 0时，原方程为解答：当x 0时，原方程为：x2用求根公式得：x2 J4m42当x 0时，原方程为：x22

15、x2x 2 m，化为一般形式为:Jm 11用求根公式得：x2 J4m 42x2m，化为一般形式为：x22x 21 Vm 1方程的根恰为3个，而当m 2时，方程的3个根分别是X1 2 , x?X32 .归纳：本题考查未知数的取值范围，以确定字母系数m的值。216、方程x2 3x 9的全体实数根之积为(x 3x 710A、60B、60C、 10D、答案：A考点：。专题：。分析：设X23x7y,原方程化成3OC, 1 ? ftf/r -rrrl . I*- ftf/r 、， -工口 ti-口 rtry2，再整理成整式方程求解即可y解答：设X23x7y，则y -y22 y 2y 3 0，解得如1当y1

16、1时,2 X3x71，解得3殛X2当丫23时，2 X3x73，解得X2或533Oy23丿33 25602J332归纳：本题考查了用换元法解分式方程, 即换元法思想。解次题的关键是把X2 3x 7看成一个整体来计算,217、关于X的一元二次方程 2x 5xa 0 （a为常数）的两根之比X1 : X22:3 ,则 X2XiA、1B、2答案：C考点：一元二次方程根与系数的关系及求解。解答：设2x2 5x a0的两根分别为2k5a2k 3k - , 2k 3k)22,3k，由根与系数的关系得:D、x2X17 X2X1 24x1x225 241442归纳：本题考查了用根与系数的关系解决问题，关键是利用公

17、式巧妙变形。18、已知是方程X2 X 10的两个实根，则4432X答案：5考点：；。专题：。分析:由方程的根的定义，可知，移项，得2 1，两边平方，整理得解答:. 2；由一元二次方程根与系数的关系, 即可求出其值。T 是方程X2可知1；将两式分别代入又方程X20的两个实根432332 3归纳：本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系。难度中等。关键是2 a19、若关于x的方程匕x 1利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解。_1只有一解，求a的值。x答案：a 0或a考点：。分析:有一个解”先将分式方程转化为整式方程，内涵丰富，在全面分析的基础上求

18、出把分式方程解的讨论转化为整式方程的解的讨论,a的值。“只解答:原方程化为ax22 3a x12(1)当a 0时，原方程有一个解,(2)当a 0时，方程 5a2120，总有两个不同的实数根，由题意知必有一个根是原方程的增根，从原方程知增根只能是显然0不是的根，故x 1，得a 121a 时，x 2 21x -2归纳：本题考查了解分式方程。注意：分式方程转化为整式方程不一定是等价转化，有可能 产生增根，分式方程只有一个解，可能足转化后所得的整式方程只有一个解， 整式方程有两个解，而其中一个是原方综上可知当a 0时，原方程有一个解,也可能是转化后的20、已知二次函数f x2 axbx c a 0满足

19、x212对一切实数恒成立，求 f x ax? bx的解析式。考点：；。专题：。分析:x 1，由1的值；由所以a cf x，对一切实数恒成立,ax2bxx ,即 ax2一切实数恒成立,由此能求出f x的表达式。解答：解:(1).二次函数fax2bx c a0满足f取 x所以f 11，对一切实数恒成立axb 1 x c 0对一切实数恒成立ac4ac 01ac 16016 c 0c /ac 2、箱当且仅当a c4时，等式成立 f X-1x24点评:仔细解答,本题考查二次函数的性质的综合应用, 注意函数恒成立条件的灵活运用。考查函数解析式的求法,解题时要认真审题,21、已知f x2ax bx c a

20、0 .（1）对任意X1， X2，当X1X2 有 f X1f X2，求证：f Xf x1 f x22两个不相等的实根且有一根在（Xt， X2 ）内。若fXfX1 2f X2 在（ Xt，X2）内有一根为m且XtX2 2m 1 .若f X 0的对称轴为X x0.求证:2X0m .考点：；.专题：;分析：（1 ）通过计算一元二次方程的判别式大于0,可得方程有两个不相等的实数根；设方程对应的函数为g X ,由g X1 g X20，可得方程有一个根属于（X1 , X2）.（2）由题意可得a 2mxt2 X； b 2m xtX2Xt x2 2m1，故a 2 m22 2,X1X2 ，由 X0b2ac2222

21、mx1 x22m2X12竺证得结论。解答：证明:(1)Tf X1f X222 axbx-ax12 bx12c ax； bx2 c整理得:2 ax22bx2X24b28a2X2x22 2ax1b22ax2b2XiX2 2aX1b2ax2故方程有两个不相等的实数根f Xif X2X 2则 g X1 gX21f4Xif X2 2则 g X1 g X20故方程f X丄_有一根在(X1 ,2f X1 f X2./在(2(2 )方程 fxi ,X2 ）内。X2）内有一根为m f mf X1f X22 a 2m22X12X2b 2m X1X2X1X22m2m22X12X2b 2m2 2a2点评：本题考查一元

22、二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质, 体现了转化的数学思想。故X02 2X1X22X122X22 m等差数列的性质,A、3答案:考点:专题:解答:归纳:元二次方程成都四中考试真题13-1，则 X3X1冷的值为（XB、4因式分解的应用。整体思想。本题关键是将1作为整体,2、已知实数满足21-34X然后将1-7进行因式分解变形解答。X0，且3的值为（）A、1 答案：DB、310解析：由0得：10,即把和一作为一元二次方程3x 10的两根1，即10归纳：本题是通过构造一元二次方程的两根，利用根与系数的关系解决问题。3、实数X、y满足方程X2 2y2 2xy x 3y 1 0，则y最大值为（

23、）B、Ic、A、12答案：B考点：。专题：；。D、不存在1 2y x 2y2 3y 有解，所以0,这样得到y的不等式4y2 8y 3 0，解此不等式，得到找到最大值。分析：先把方程变形为关于 x的一元二次方程x2210，由于此方程y的取值范围，然后解答：把 x2 2y2 2xy x 3y 1 且此方程有解，所以4y2 8y 3.13 y 2220,即 1 2y0看作为关于x的x21 2yx4 2y2 3y 102y2 3y 10，并0， 2y 3 2y 13故y的最大值是-22ax点评：本题考查了一元二次方程0，实数根。方程有两个不相等的实数根；当同时考查了转化思想的运用和一元二次不等式的解。

24、bx c 0 （ a 0，a，b，c为常数）根的判别式。当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有方程2x2-的正根的个数为（x3个答案：D考点：；。A、B、2个分析：此题实质是求函数2y1 2x x和函数2y2-的图象在一、四象限有没有交点，根据x两个已知函数的图象的交点情况,直接判断。解答：设函数yt 2x x2，函数y21,1），对称轴x 1函数 2x x2的图象在一、三、四象限，开口向下，顶点坐标为（函数y2-的图象在一、三象限；而两函数在第一象限没有交点，交点在第三象限x即方程2x x2-的正根的个数为0个。x归纳：此题用函数知识解答比较容易，主要涉及二次函数和反比例函数图象的有关

25、性质，同 学们应该熟记且灵活掌握。5、方程x231的所有整数解的个数是（A、2 答案：CB、3考点：。专题：。分析：方程的右边是1,有三种可能，需要分类讨论。第1种可能：指数为0，底数不为0；2第2种可能：底数为1 ;第3种可能：底数为 1，指数为偶数。 解答：（1 ）当x 3 0 ,或 1 ； （3）当 x2 x 11因而原方程所有整数解是 点评：本题考查了： a0漏第3种可能情况而导致误选 6、关于x的方程ax21 丄和13x 10时，解得x 3; （2）当x x 1 1时，解得x 2x 3为偶数时，解得x 13 ,2 , 1,1 共 4个。1 （a是不为0的任意数）以及1的任何次方都等于

26、1。本题容易遗B,需特别注意。bxA、B、0的两根分别为-和1223和1，则方程bx1C、1 和 13exa 0的两根为（1 丄和12答案：B 考点：；.分析：因为方程的两个根为3和1,所以方程可以方程因式为x 10，用含式子表示b和e，代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根。解答： ax2 bx e 0的两根为 3和1整理得：ax2 2ax 3a 0. b 2a, e把b, e代入方程bx2 ex a 0，得：2ax23a3ax a 0a 2x1x10归纳：的式子表示1, X212本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把方程的两根代入方程，整理后用含b和e,然后把b, e代入后面的方程，

27、用因式分解法可以求出方程的根。7、实数X、y满足x22xy y2，记Uxyy2，贝y U的取值范围是（）2A、 一 U 63答案：A考点：。专题：。C、分析：把原式的xy变为2xy xy于0，得到xy的范围；再把原式中的围的公共部分，然后利用不等式的基本性质求出2 2xy的范围，最后利用已知示出x2 y2，代入到U中得到U 2,根据完全平方公式特点化简,xy变为2xy 3xy，同理得到解答:xy y22得: x2然后由完全平方式恒大于等xy的另一个范围，求出两范2xy , 2 2xy的范围即为u的范围。2 22xy y 2 xy 0 即 x y 2由x2xyy22 得：x2 2xyy22 3x

28、y 022 3xy 0，则 xy -xyxy则xy 23不等式两边同时乘以4 2xy两边同时加上2得：42xy2xy 6x2 xy y22x2y22xyxy y22 2xy则U的取值范围是-u 63点评：此题考查了完全平方公式，以及不等式的基本性质，解题时技巧性比较强，对已知的 式子进行了三次恒等变形，前两次利用拆项法拼凑完全平方式，最后一次变形后整体代入确定出U关于xy的式子，从而求出U的范围。要求学生熟练掌握完全平方公式的结构特点：两数的平方 和加上或减去它们乘积的2倍等于两数和或差的平方.2009 0 mn1，则nm8、已知实数m, n满足m 2009 m m 2009 0 , 4n考点

29、：一元二次方程根与系数的关系。分析：根据题意：由m2 m 20090得：2009 -m1 1由冷丄 2009 0得: n n2009 n1又因为mn 1，即一mn，因此可以把n作为一元二次方程22009x0的两根,由根与系数的关系得:解答：-m 20092009120092009把-,mn作为一元二次方程2009x2x 10的两根m归纳：本题考查的是用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解答问题, 用已知进行变形是关键所在，不要忽视了mn 1这个条件隐含的题意。9、已知方程x22k 1 xk20的两实根的平方和等于11,m本题的关键是利k的取值是（12009C、1A、3 或 1答案：C考点：；

30、。分析：由题意设方程x22kx k220 两根为 X1 , X2,得 X1 X22k 1 ,2X1X2 k 2,然后再根据两实根的平方和等于11,从而解出k值。解答：设方程x2 2k 1 x k2 2 0两根为x, , x22得x1X22kX1X2k22,2k 1 24 k22 4k 90 k -42 X1X2112X1 X22X1X2 11122k2211 解得k 1或394此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平归纳：方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题。10、设a, b是整数，方程X2 ax b 0有一个实数根是Ws，则a b答案：3考点：；。专题

31、：。分析：一个根J 74j3 2 73代入方程，得到a, b等式，再由a, b是整数，可以求出 a,b的值。2 J3，把 273代入方程有：7 432 J3 a b 07 2a b 4a J30 a, b是整数7 2a b4 a 0归纳：本题考查的是一元二次方程的解,把方程的解代入方程,由a, b是整数就可以求出 a,b的值。11、两点A (2) 考点：。 专题：；。已知函数y X2 b 1 X c ,X1 , 0)和 求证： 若txi，分析:已知解答:又X2(b, c为常数)，这个函数的图象与X轴交于两个不同的Xi1.B ( X2 , 0)且满足X22 b 2c试比较t2 bt c与X1的大

32、小，并加以证明。首先利用求根公式求出X2 b 1 X c X X!证明：(1)V令y X2 bb 1 J b 1 2 4c2X1X的值，再由X X2推出X2X11求解;0得到X2.根据t X1推出答案。1.J b 1 2 4c 12 b 2b 1 4c 1 b 2 b 2c(2)由已知 X2 bX c XX1XX2X2y x 2a 1 x（1）求实数（2）当 |x|Ml 2j2时，求a的值。考点：；。分析：（1）由一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式求出a的取值范围。设抛物线y x2 2a 1 x 2a 5与x轴的两个交点的坐标分别为（是x2 2a 1 x 2a 50的两个不相等的实数根

33、，再利用别式求a的取值范围，又抛物线y 的两旁，利用根与系数的关系确定；,0 ）、（x22a,0），且，二1 x 2a 5 0的根的判2a 1 x 2a 5与x轴的两个交点分别位于点（2, 0）把代数式变形后，利用根与系数的关系求出a的值。解答:解：（1）v关于x的方程22 x 2ax a 0有两个不相等的实数根 t2bt ctX1 tX2t t2bt cX1t X1tX2t X!tX! tx21 tXttX10 X2x 1 tX1X21- tx210 tX1tx2102即 t bt c Xi归纳:综合考查了二次函数的求根公式、用函数的观点看不等式等知识。12、已知关于x的方程a22 X 2 ax a0有两个不相等的实数根Xi和X2，并且抛物线2a 5与x轴的两个交点分别位于点（2, 0）的两旁。 a的取值范围；02设抛物线2a1 x 2a5与x轴的两个交点的坐标分别为（，0）、（，0）,且是x22a2a 50的两个不相等的实数根2a 12a 52a 1 2210a为任意实数 由根与系数关系得:2a2a 5抛物线2a2a5与x轴的两个交点分别位于点（2, 0）的两旁 2a 52 2a 14解得:由、得a的取值范围是即Xi(2)v Xi和X2是关