G立体几何理科2015年Word版含答案

1、数 学G单元立体几何G1空间几何体的结构19. G1、G11 如图 1-7，长方体 ABCD ABCD 中，AB= 16, BC= 10, AAi= 8,点 E,F分别在AB , DC 上 , AE= DF= 4.过点E, F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.Cl片图1-7（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF与平面a所成角的正弦值.19.解：（1）交线围成的正方形 EHGI如图所示.X作 EML AB 垂足为 M 贝U AM= A1E= 4, EM= AA= 8.因为四边形EHG为正方形，所以 EH= EF= BC= 10,于是MH=#eH eM=

2、6,所以AH= 10.以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D - xyz,A(10 , 0 , 0),H(10, 10 , 0),日10, 4, 8) , F(0 , 4, 8)，所以 FE= (10, 0 , 0) ,(0, 6 , 8).设 n= (x , y ,z）是平面a的一个法向量，则In FE= 0 ,J0x= 0 ,即fd HE= 0, 6y + 8z= 0，所以可取n= (0 , 4 , 3).又 AF= ( 10 , 4 , 8),故|cosn, XF | =也|n| AF 15所以AF与平面a所成角的正弦值为 窖19. G5 G1、G11如图

3、1-6,已知四棱台 ABCD- ABCD的上、下底面分别是边长为3 和6的正方形，AiA= 6,且AA丄底面ABCD点P, Q分别在棱 DD, BC上.(1)若P是DD的中点，证明：AB丄PQ若PQ/平面ABBA ,二面角P - QD- A的余弦值为7,求四面体 ADPQ勺体积.图1-619 解：方法一：由题设知，AA , AB AD两两垂直，以 A为坐标原点，AB AD AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为A：0 ,0, 0) ,Bi(3, 0, 6),DtO,6,0) , D(0, 3, 6),Q6, m 0)，其中m= BQ 0 me6.(

4、1) 若 P是 DD的中点，则 P0 , 2 , 3 , PQ= 6 , m-9 , 3.又AB= (3 , 0 , 6),于是 AB PQ=18 18= 0,所以 AB丄 pQ 即 AB丄 PQ33 由题设知，DQ= (6 , m 6 , 0) , DD= (0 , 3 , 6)是平面PQD内的两个不共线向量.设6x+( m 6) y= 0 , -3y+ 6z = 0.1n1 = (x , y , z)是平面PQD勺一个法向量，贝U in1 n2取y = 6,得n1= (6 m 6 , 3).又平面AQD勺一个法向量是 n2= (0 , 0 , 1),所以cos n1 , n2=: = J2

5、2 7 = f2 =.丨 n 1I I n2l1 寸(6 m +6+ 3 7( 6 m + 45333而二面角P- QD A的余弦值为7,因此7（ 6 m2+ 45 = 7，解得-4或-8（舍去），此时 Q6 , 4, 0).设 DP=入 Dd(00 Cn/ ABC= , AD/ BC BC= 2AD= 2AB= 2,将梯形 ABCD AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为2 n 4 n 5 nA.盲 B. T C.盲 D . 2 n7. C 旋转后的几何体为一个底面半径为1,高为2的圆柱挖去一个底面半径为1 ,高1为1的圆锥，所求几何体的体积为n X 12X 2- n X

6、12X318. G1、G4 G11 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1-3所示,在正方体中，设 BC的中点为M GH的中点为N(1)请将字母F, G H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);证明：直线MN/平面BDH(3)求二面角 A-EGM的余弦值.DC GE ABF18.解：点F, G, H的位置如图所示.证明：连接 AC BD交于点O连接OH OM因为M N分别是BC GH的中点,所以 OM CD 且 OM= CDHIN/ CD 且 HN= 2CD 所以 OM HN OM= HN所以四边形MNH是平行四边形, 从而MN/ OH又MN平面BDH OHI平面BDH所以

7、MN/平面BDH(3) 方法一: 过M作MPL AC于P.在正方体 ABCDEFGH中, AC/ EG所以MPL EG过P作PKl EG于 K,连接KM所以EGL平面PKM 从而KML EG所以/ PKM是二面角 A EGM的平面角.在 Rt CMP中 PM= CMin45 =设 AD= 2，贝U CM= 1, PK= 2.2 -在 Rt PKM中, KM=# pK+ pM =PK 2 f2 所以cos / PKM=荷寸即二面角A-EG M的余弦值为目23方法二:!GR如图，以D为坐标原点，分别以 DA DC中方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Dxyz.设 A* 2，则 M1

8、, 2, 0), G(0 , 2, 2) , E(2 , 0, 2) , 0(1 , 1, 0),所以 &E= (2 , - 2, 0),血(1, 0, 2).设平面EGM勺一个法向量为 ni = (x, y, z),2x 2y= 0,x + 2z = 0 GE= 0,由$ T 得* n1 MG= 0,取 x = 2,得 ni= (2 , 2, 1).在正方体ABCDEFGH中, DOL平面AEGC则可取平面 AEG的个法向量为 n2= 6O=(1 , 1, 0),所以cosni n25, n2= | n1| | n2| =4+7+1 V7+1+ = 3故二面角A-EG M的余弦值为2坐310

9、. G1、G2 一个几何体的三视图如图1-3所示(单位：m),则该几何体的体积为W视图正视ffl810.3n根据三视图可知几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积2V= n X 1 X 2 +3m.!B 0M观图图1-3G27.A.C.7.283X 1 X 1 = 3 n (m )空间几何体的三视图和直观图G2 一个四面体的三视图如图1-1所示，则该四面体的表面积是（）1B四面体的直观图如图所示，设O是AC的中点，贝UOB= 1，因此PB=/2,于是 Sapab= Sapb=X (寸2)2=乎,SPAU Saabu 2X 2 X 1= 1,故四面体的表面积S= 2X1+ 2X = 2+W，故选

10、B.6. G2 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图1-2，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 （）1A.1B.1C-1D.6. D几何体的直观图为正方体 ABCD- ABCD截去了一个三棱锥 A- ABD，如图所示.易知V三棱锥A- ABD =取正方体，所以V三棱DTJAbCDu 5故选D.X.11. G2圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图1-4所示.若该几何体的表面积为16 + 20 n，贝U r =（）r视图2ri图1-4A. 1C. 411.B由三视图可知，此组合体的前半部分是一个底面半径为r,高为2r的

11、半圆柱（水平放置），后半部分是一个半径为 r的半球，其中半圆柱的一个底面与半球的半个圆面重合,1 1IQIQQQQ所以此几何体的表面积为2r 2 r + 2 n r + n r + n r 2r + 2 n r = 4r + 5n r = 16 + 20 n ,解得r = 2.5.G2某三棱锥的三视图如图1-2所示，则该三棱锥的表面积是（）左）图1-2A.C.5.C 根据三视图可得到直观图（如图所示）.取D为BC的中点，根据题意可知，ADI BCAD= 2, BC= 2, SA= 1,且 SAI平面 ABC在 Rt SAB中，SB= Q1+4+ 1 =6,同理 SO6 1所以 SBC是等腰三角

12、形，所以 BC边上的高SD=76=5.所以三棱锥的表面积是2X 2X 2 + 2 X 沿X 1 + 2 X 2X= 2 + 2 逵.现将该工件通过切削，加工成一10. G2、G7、个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为材料利用率=新工件的体积(原工件的体积正视ffl傭视图俯视图图1-3A.亠 B. 169 n 9 n C.42 1)3 D.12(羽1) 37t7t10. A 方法一：由圆锥的对称性可知，要使其内接长方体最大，则底面为正方形，令此正四棱柱的底面对角线为2X,高为h,则由三角形相似可得，x =h= 2 2x,x (0 ,1)，其

13、体积 V长=(/2x)2h= 2x2(2 2x) W2x+x + 2 2X316=27当且仅当x=3时取等号，V圆锥方法二：由圆锥的对称性可知,2其体积 V长=(72x)2h= 2x2(2 2x) = 4x3 + 4x2，令 V长=12x2 + 8x= 0,得当 x= 3时，V1616122278长取最大值一.又V圆锥=3% X 1 X 2= 3 n，得利用率为2 = 9n，故选A.3n冗5.G2 一个几何体的三视图如图1-3所示，则该几何体的表面积为（）t212/主视图左视图A.C.+ 4 D . 3n + 45.该几何体是底面半径为俯观ffl图1-31、母线长为2的圆柱被其轴截面截开的半个

14、圆柱，其1 1表面积为 Y 2n X 1X 2 + 2X XnG2 一个几何体的三视图如图210. G1、2X 1 + 2X 2= 3 n + 4.1-3所示（单位：m）,则该几何体的体积为搐视图正视图810.3n根据三视图可知几何体是圆柱与两个圆锥的组合体，其体积2V= n X 1 X 2 +12X - X n X31X 1 = In (m3)3m.1 0M观图图1-3八 C3A. 8 cmf 3B . 12 cmQ 323C.亍 cmf 403D. y cmt2I正視图Xt flid 视图/I图1-12.C 该几何体为一个正方体和一个正四棱锥的组合体,1故该几何体的体积 V= 23 + -

15、X33232X 2 X 2= (cm3)，故选 C.35. G2G7、G8某几何体的三视图如图 1-2所示，则该几何体的体积为 （）左視图1A.3 +n2B. 3 +n込+ 2n5. A由三视图知，该几何体为一个半圆柱与一个三棱锥的组合体，其中半圆柱的底1,所以该面圆的半径为1、高为2，三棱锥的底面为一个等腰直角三角形，斜边上的高为1 1 1 1几何体的体积 V= 3X X 2X 1 X 1 + 2 n X 12X 2= 3 + n .G3平面的基本性质、空间两条直线14. G3, G9如图1-2所示，四边形 ABC和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上, E, F分

16、别为AB, BC的中点设异面直线 EM和AF所成的角为0 , 则cos 0的最大值为214 - 分别以AB AD AQ为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，并设正方形边长5为 2, QMh mo w mc2),则 aF= (2 , 1, 0) , EMh ( 1 , mAF- Em所以 cos 0 = 77y_2-| AF - I EMv5m+令f(m=丙誌(0 w 2)，则(2 m X 10mf(m =5 55m+ 25因为me,所以f ( m 0,22故 f ( n) max= f (0) =-,即 卩 COS 0 的最大值为-.5513. G3如图1-4，在三棱锥 A BCD中，AB=

17、AC= BD= CD= 3, AD= BC= 2,点 M, N 分别为AD, BC的中点,则异面直线 AN13.7连接ND取ND的中点为E,则ME/ AN则异面直线 AN CM所成的角为/ EMC2 “2因为 ANk ND= M(h/32 12 = 2 /2,所以 ME=V2, CE= Q (也 2+ 仁血，贝U cos / EMCCIM+ mE CE8 + 2 37=2CM- ME = 2X2X护=8.DG4空间中的平行关系5.G4 G5已知m n是两条不同直线,a , 3是两个不同平面，则下列命题正确的是A.a , 3垂直于同一平面，则a与3平行B.m n平行于同一平面，则 m与n平行C.

18、a , 3不平行，则在a内不存在与3平行的直线D.m n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面5.如图，在正方体 ABCD- ABCD中，平面ADEAi,平面ABEA都垂直于平面 ABCD但这两个平面不平行， A错；直线 AD和AB都平行于平面ABCD但这两条直线不平行，B错；平面ADDA1与平面ABCDT平行，但平面 ADDi内的直线AD与平面ABCDF行，C错；D的逆否命题是“若 m n都垂直于同一平面， 则m n必平行”,此逆否命题为真，故D正确.BOl*AlAl1 9. G4 G1 1如图1-4所示，在多面体 ABD DCBA中，四边形 AABB, ADDA, ABCD匀为正方形，E为B

19、D的中点，过 A, D E的平面交 CD于F.(1)证明：EF/ BC;(2)求二面角E - AD - B的余弦值.图 1-41 9.解：(1 )证明：由正方形的性质可知A1 B/ AB/ DC且A1 B = AB= DC所以四边形A B CD为平行四边形， 从而B C/ A D.又Ai D?面Ai DE B C?面 A DE所以B C/面A DE又B C?面 B CD,面 A DR面 Bi CD= EF,所以 EF/ BC(2)因为四边形 AAB B, ADDA1 , ABC均为正方形，所以 AA丄AB AA丄AD AB! AD且AA = AB= AD以A为原点，分别以AB AD AA为x轴

20、，y轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系 可得点的坐标A(00 0)B(0 0)D(00) A (00)B ( 1 , 0 , 1 ) , D (0 , 1 , 1 ).因为E点为B D的中点，所以E点的坐标为(0.5 , 0.5 , 1 ).设面 ADE的一个法向量n1= (1, S1, t1) , A1E= (0.5 , 0.5 , 0) , AD= (0 , 1, 1), 由n1丄A1E, n1丄AD,得1, S1, 11应满足方程组0.5 r 1 + 0.5 S1= 0,S1 11= 0,令 11= 1,可得 n1= ( 1,1, 1).设面AiBCD勺一个法向量n2= (r

21、2, S2, t2),品=(1 , 0, 0), Ab= (0 , 1, 1),由此同理可得n2 = （0 , 1,1) 结合图形知，二面角E-A1D-B的余弦值为pn汙右=是=申16. G4 G5如图1-2，在直三棱柱 ABC- ABC中，已知 ACI BC BC= CC,设AB的中点为 D, BCQ BC= E.求证：（1） DE/平面 AACC;(2) BC 丄 AB.Cl16证明：（1）由题意知，E为BC的中点,又D为AB的中点，因此DE/ AC又因为DE?平面AACC, AC?平面AACC,所以D曰平面AACC 因为三棱柱 ABC- ABC是直三棱柱,所以CC丄平面ABC因为AC?平

22、面ABC所以AC丄CC.又因为AC! BC CC?平面BCdB,BC?平面 BCCB, BCT CC= C,所以AC丄平面BCCB.又因为BC?平面BCCB，所以BC丄AC因为BC= CC,所以矩形 BCCB是正方形，因此 BC丄BC因为AC Bi C?平面B AC A8 B C= C 所以BC丄平面BAC4又因为AB?平面Bi AC所以BC丄AB.A2 , G4设a , 3是两个不同的平面，m是直线且m? a . m/ 3 ”是a /3 ”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件4B 当m?a , m/B时，不能确定平面a与3平行；当a / 3时，根据平面与

23、平面平行的性质，可以推出 m/B .7A2 , G4, G5若l , m是两条不同的直线,m垂直于平面a ,则“I丄m是“ I II a”的(A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件7B 若 ml a , I 丄 m 贝 u I ? a 或 I II a;若 ml a , l / a ,贝U l _L m 故选 B.i7.G4G 1 1如图1 -3,在几何体 ABCDE中 ,四边形ABCD是矩形，ABL平面BEC BE!ECAB= BE= EC= 2 , G F分别是线段 BE DC的中点.(1 )求证：GF/平面ADE 求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余

24、弦值.?FC17.解：方法一：（1）证明：如图，取 AE的中点H,连接HG HDC又G是BE的中点,所以 GH/ AB 且 GHk 2AB又F是CD的中点,所以DF= 2CD由四边形ABCDi矩形得，AB/ CD AB= CD所以 GH/ DF,且 GHk DF从而四边形HGF是平行四边形,所以GF/ DH又DH?平面ADE GR平面ADE所以GF/平面ADE如图，在平面 BEC内，过B点作BQ/ EC因为BE1CE所以BQI BE又因为A吐平面BEC所以A吐BE A吐BQ以B为原点，分别以BE BQ BA的方向为X轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，贝y AA0 , 0, 2) , B

25、(0 , 0, 0) , E(2 , 0, 0) , R2 , 2,1).因为AB!平面BEC所以BA= (0 , 0 , 2)为平面BEC的一个法向量.设 n=(X, y,z)为平面AEF的一个法向量.又 XE= (2, 0 ,2), Xf= (2, 2, 1),jn - Afe= 0 , 由f TIn Xf= 0 ,得x 2Z= 0 ,2x + 2y z = 0 ,取 z = 2,得 n= (2, 1, 2),从而cosTn BA 42n, BA=,|n| IBA 323所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为23方法二:(1)证明：如图，取又G是BE的中点，所以GM AE又AE?

26、平面ADE GM平面ADE所以GM平面ADE在矩形ABCD中，由 M F分别是 AB CD的中点得 MF/ AD又AD?平面ADE MF?平面ADE所以MF/平面ADE又因为GMT MF= M gm平面GMF MF?平面GMF所以平面GM/平面ADE因为GF?平面GMF所以GF/平面ADE同方法一.G H分别为AC BC的17. G4 G5中占I 八、求证：BD/平面FGH，求平面FGH与平面ACFD所成的若 CFL平面 ABC AB1 BC CF= DE / BAC= 45 角（锐角）的大小.C17 .解： 证法一：连接 DG CD设cm GF= O连接OH在三棱台DEF-ABC中 ,AB=

27、 2DE G为AC的中点,可得 DF/ GC DF= GC所以四边形DFC平行四边形,则O为CD的中点.又H为BC的中点,所以OH/ BD又OH平面FGH BD?平面FGH所以BD/平面FGH证法二：在三棱台 DEF-ABC中,由BC= 2EF, H为BC的中点,可得 BH/ EF, BH= EF,所以四边形BHFE为平行四边形,可得BE/ HF在 ABC中, G为AC的中点，H为BC的中点,所以GH/ AB又 GHT HF= H所以平面FGH/平面ABED因为BE?平面ABED所以BD/平面FGH连接BG设AB= 2，贝y CF= 1.方法一：在三棱台 DEF-ABC中,G为AC的中点,由

28、DF= 2AC= GC可得四边形DGC为平行四边形,因此DG/ FC又FCI平面ABC所以DGL平面ABC,G是AC的中点，在 ABC中, AB! BC / BAC= 45 所以 AB= BC GBL GC因此GB GC GD两两垂直,以G为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系G-xyz , 所以 G(0 , 0, 0), B(羽，0, 0), qo , /2, 0), DO , 0, 1), 可得 H俘，芈,0)F(0 , V2, 1), 故*俘，, 0)F= (0 ,/2, 1).设n= (X, y, z)是平面FGH勺一个法向量，则由謨0，可得x: y= 0， Im GF= 0,I角+

29、 z = .可得平面FGH的一个法向量n= (1 , - 1, J2).因为&是平面ACFD勺一个法向量，&B= 血,0, 0),所以cos &B nGB- n所以平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小为60 .方法二：作 HML AC于点M作MNL GF于点N,连接NH由FCI平面ABC得HML FC,又 F8 AC= C,所以HML平面ACFD因此GFL NH所以/ MNH即为所求的角.在 BGC中, M/ BG MHk 1BG=，由 GNg GCF口 MN GM 可得FC= GFJ6 从而MN=芝-.6由HML平面 ACFD MN?平面ACFD得 HML MN因此tan / MN

30、比,所以/ MNh+ 60,所以平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小为6018. G1、G4 G11 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图1-3所示,在正方体中，设 BC的中点为M GH的中点为N（1）请将字母F, G H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）;证明：直线MN/平面BDH（3）求二面角A-EGM的余弦值.nC ABF18.解：(1)点F, G, H的位置如图所示.(2)证明：连接 AC BD交于点O连接0H 0M因为M N分别是BC GH的中点,所以 0M CD 且 0M= 2CDHIN/ CD 且 HN= 2CD所以 0M HN 0M= HN所以四

31、边形MNH是平行四边形,从而MN/ 0H又MN平面BDH 01?平面BDH所以MN/平面BDH(3)方法一:过M作MPL AC于P.在正方体 ABCDEFGH中, AC/ EG所以MPL EG过P作PKX EG于 K,连接KM所以EGL平面PKM从而KML EG所以/ PKM是二面角 AEGM的平面角.设 AD= 2，贝U CM= 1, PK= 2.在 Rt CMP中 PM= CMin 45 =芈.在 Rt PKM中, KM=# pK+ pMtPK 22即二面角所以 cos / PKM= KMT 号,A-EG M的余弦值为3方法二:如图，以间直角坐标系BD为坐标原点，分别以 6A 3C方向为x

32、轴，y轴，z轴的正方向，建立空Dxy乙E(2，0，2)，O(1，1, 0),设 AD- 2，则 M1 , 2, 0), qo , 2, 2),所以 GE= (2 , - 2, 0) , MGf ( 1, 0, 2).设平面EGM勺一个法向量为 ni = (x, y, z),h 1 (Ge= 0,fex 2y= 0,由$得fI,n1 MG= 0,- x + 2z = 0,取 x = 2,得 ni= (2 , 2, 1).在正方体ABCDEFGH中, DOL平面AEGC则可取平面 AEG的一个法向量为 n2= 张(1 , 1, 0),所以 cos = |nn-L一半|n | Pl 5由题知二面角

33、EAEB为钝角，所以它的余弦值为一 芈.因为BE1平面AOC所以BE1OC即BE- OC= 0.因为盲E= (a 2, yJ3(a 2), 0),Sc= ( 2,羽(2 a), 0),所以fE- OC= 2(a 2) 3(a 2)2.f f4由BE- OC= 0 及 0a2，解得 a =-.37.A2, G4, G5若I , m是两条不同的直线,m垂直于平面a ,则 “ I 丄 m 是 “ I II a”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.B 若mla , I 丄 m 贝 U I ? a 或 I IIa ；若 ml a , l/ a ,贝U I丄

34、m故选B.19. G5 G1、G11如图1-6，已知四棱台ABCD- ABCD的上、下底面分别是边长为 3和6的正方形，A1A= 6,且AA丄底面ABCD 点 P, Q分别在棱 DD, BC上.(1)若P是DD的中点，证明：AB丄PQ3若PQ/平面ABBA，二面角P - QD- A的余弦值为7，求四面体 ADPQ勺体积.图1-619.解：方法一：由题设知，AA, AB AD两两垂直，以 A为坐标原点，AB AD AA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为Q(6 , m 0)，其中 m= BQ 0 me 6.(i )若 P是 DD的中点，则 P0 , I , 3 , PC= 6 , m-923.又AB = (3 , 0 , 6),于是 AB PQA0 , 0, 0) , B(3 , 0, 6) , D(0 , 6, 0) , D(0, 3, 6),=i 8 i 8 = 0,所以 AB丄 PQ 即 AB 丄 PQ 由题设知，6Q= (6 , m- 6 , 0) , bb= (0, 3 , 6)是平面PQ内的两个不共线向量.设|j ni DQ= 0 ,ni = (x , y , z)是平面PQD勺一个法向量，贝U ini DD= 0,6x+( m- 6) y= 0 , 3y+ 6z = 0.取y = 6,得ni