一阶线性电路暂态分析的三要素法[高教书苑]

1、第三章 电路的暂态分析 1高级教育 第一章第一章 讨论电路的基本概念和基本定律讨论电路的基本概念和基本定律 。 如：电路模型、电压和电流的参考方向、基尔霍夫定律、 电源的工作状态及电路中电位的计算等。这些内容是分析与 计算电路的基础。 第二章第二章 介绍几种常用的电路分析方法。介绍几种常用的电路分析方法。 有：支路电流法、节点电位法、实际电源模型的等效变 换、叠加原理、和戴维宁定理。 第三章第三章 讨论直流一阶电路的暂态分析。讨论直流一阶电路的暂态分析。 介绍：用“三要素法”分析暂态过程。 2高级教育 3高级教育 4高级教育 稳态：稳态：是指电路的结构和参数一定时，电路中电压、电流是指电路的结

2、构和参数一定时，电路中电压、电流恒定恒定 或周期性变化或周期性变化。 换路：换路：指电路指电路接通、断开或结构和参数接通、断开或结构和参数发生变化发生变化。 先讨论暂态过程产生的原因先讨论暂态过程产生的原因-动态元件、换路定律动态元件、换路定律。 后讨论暂态过程中电压、电流后讨论暂态过程中电压、电流随时间变化的规律随时间变化的规律。 暂态：暂态：电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态所经过的过渡经过的过渡 状态状态。 动态元件动态元件:是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系是指在电容元件和电感元件的电压和电流约束关系 是通过导数或积分来表达的。是通

3、过导数或积分来表达的。 换路发生换路发生很长时间很长时间后重新达到稳态。后重新达到稳态。 5高级教育 含有储能元件的电路，在换路瞬间储能元件的能量 不能跃变，即： 换路瞬间换路瞬间：设为设为 t t=0=0。 换路前终了瞬间换路前终了瞬间：以：以 t=0t=0表示。表示。 换路后初始瞬间换路后初始瞬间：以：以 t=0+t=0+表示。表示。 换路定则换路定则： 电感元件的储能电感元件的储能不能跃变不能跃变 2 2 1 LL LiW 电容元件的储能电容元件的储能 不能跃变不能跃变 2 2 1 CC CuW 状态变量状态变量 在直流电路换路瞬间，电容电压保持不变，电感电流保持不变。 独立初始值独立初

4、始值 6高级教育 第一章第一章 电路及其分析方法电路及其分析方法 【例例3.13.1】设：开关设：开关S S闭合前闭合前L L元件和元件和C C元件均未储能。元件均未储能。 试试：确定确定S S闭合后闭合后电路中各电流与电压的初始值。电路中各电流与电压的初始值。 解解：由由t t=0-=0-的电路得：的电路得： 4 R3 + U 6V t =0 2 S R1 R2 4 uC C + + iC iL t=0- i LuL uC(0+)=0 iL (0+) =0 uC(0-)=0 iL(0-) =0 电容元件短路。电容元件短路。 电感元件开路电感元件开路 由换路定则得：由换路定则得： 则：则：画出

5、画出t=0t=0+ +时时的等效电路的等效电路 独立初始值独立初始值 7高级教育 第一章第一章 电路及其分析方法电路及其分析方法 2 (0)(0)414 LC uR iVV 由由t=0t=0+ +的等效电阻电路的等效电阻电路 12 6 (0)(0)1 24 c U iiAA RR + U R1i + uL iL R2 R3 uC + iC (0+) t=0+ 求出各独立初始值求出各独立初始值 2 4 6V (0+) (0+) (0+) (0+) 8高级教育 1. 1. 零状态响应零状态响应 2. 2. 零输入响应零输入响应 3. 3. 全响应全响应 换路前动态元件未储存能量 ，即uc（0-）=

6、0或iL(0-)=0 ， 换路时，由电源激励所产生的电路响应。 换路前动态元件已储存能量，换路时，无电源激励，输 入信号为零 。由初始储能引起的的电路响应。 指电源激励和动态元件的初始储能引起的均不为零时的 电路响应。 即：是零状态响应与零输入响应即：是零状态响应与零输入响应两者的叠加。 9高级教育 R t=0 + U 1 2 + uR + uL i L 电感电感初始储能初始储能为零为零，电路响应仅由，电路响应仅由外加电源引起外加电源引起，为，为RLRL电电 路的路的零状态响应零状态响应。 S 若若S S在在2 2位置时，在位置时，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到1 1的位置。的位

7、置。 电路中电路中外加激励为零外加激励为零，电路的响应是由电感的，电路的响应是由电感的初始储能初始储能 引起引起的，故为的，故为RLRL电路的电路的零输入响应零输入响应。 若若S S在在1 1位置时，在位置时，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到2 2的位置。的位置。 10高级教育 C C C u t u RCuRiU d dU S C R t=0 + 1 2 + uR + uC i t t 0 0时电路的微分方程为时电路的微分方程为： 设设: :S S在在2 2位置时位置时C C已放电完毕，在已放电完毕，在t=0t=0时将开关时将开关S S合到合到1 1的位置。的位置。 RC电路零状

8、态响应电路零状态响应 根据根据KVLKVL 通解=特解特解+补函数补函数 C u C u 特解取换路后的稳态值稳态值，即，即 Uuu CC )( 补函数是齐次微分方程0 d d C C u t u Rc 形式为： pt C uAe 的通解 11高级教育 S C R t=0 + U 1 2 + uR + uC i (1) tt c uUUeUe uC零状态响应表达式：零状态响应表达式： 时间常数时间常数-S S 推导整理得： t uC U 0 u 0.632U 零状态响应零状态响应曲线曲线 物理意义物理意义: : 当当t =t =时时 UeUuc632. 0)1 ( 1 是电压是电压uc增长到稳

9、态值增长到稳态值U的的63.2所需的所需的时间时间。 12高级教育 R R t t=0=0 + + U U 1 1 2 2 + + u uR R + + u uL L i i L L 根据KVLKVL t t 0 0时电路微分方程为时电路微分方程为: : S S t i LRiU d d 推导整理得： 通解=特解特解 +补函数补函数 uC零状态响应表达式：零状态响应表达式： )e1(i - L t R U 时间常数时间常数-S S R L 13高级教育 此时，通过电感的电流此时，通过电感的电流i iL L由由初始值初始值I I0 0向稳态值零衰减，向稳态值零衰减，其随其随 时间变化表达式为：时

10、间变化表达式为： R t=0 + U 2 + uR + uL i L S 1 )e1(i - L t R U t Ii - 0e iL零状态响应表达式：零状态响应表达式： t i 0 i 零状态响应零状态响应曲线曲线 U R 14高级教育 小结小结 2 2）达稳态值的快慢取决于时间常数）达稳态值的快慢取决于时间常数 。（。（ = =RC RC 或或 = =GLGL） 3 3）当直流动态电路达到稳定状态时，当直流动态电路达到稳定状态时，电容相当于开路电容相当于开路, ,电感相电感相 当于短路当于短路。其等效电路为电阻性电路。 4 4）零状态线性：当零状态线性：当输入增大输入增大 倍，倍，其其零状

11、态响应也增大零状态响应也增大 倍倍。 1 1）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均）直流一阶电路的零状态响应中，所有支路电压、电流均 从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值从初始值开始按相同的指数规律变化，最后达稳态值。 t eyty )0()( 15高级教育 代代入上式得入上式得 0 d d C C u t u RC t u C C C d d RuR 换路前电路已处换路前电路已处于于稳态稳态 Uu C ) 0( t t =0=0时开关时开关, 电容电容C C 经电阻经电阻R R 放电放电1S 一阶线性常系数一阶线性常系数 齐次微分方程齐次微分方程 列列 KVLKVL方程

12、：方程：0 CR uu UuC )0( + - S R U 2 1+ C i C u 0 t R u + c 16高级教育 0 )0( e t C u t RC t Uu C e 推导整理得： uC 零输入响应零输入响应曲线曲线 0 u U t 时间常数时间常数 =RC 当当t t = = 时，时， u uC C = = 36.8%36.8% U U = 0.368U 17高级教育 i 零输入响应零输入响应曲线曲线 0 i I0 t 0.368I0 时间常数时间常数 =L/R 当当t t= = 时，时，i iL L= =36.836.8% %I I0 0 。 电路中 u uR R和u uL L

13、可根据电阻和电感元件两端的电压电流 关系确定。 0 )0( e tiiLL t 同理可推导： 18高级教育 t i i 0 i 时间常数时间常数 =L/R 当当t t= = 时，时，u uC C= =63.2%63.2%U U。 0.632U/R 零状态响应零状态响应曲线曲线零输入响应零输入响应曲线曲线 0 i I0 t 0.368I0 时间常数时间常数 =L/R 当当t t= = 时，时，u uC C= =36.836.8% %U U0 0 。 )e1( t R U i t Ii e 0 U R 电路中 u uR R和u uL L可根据电阻和电感元件两端的电压电流 伏安特性关系确定。 19高

14、级教育 当当 0 C u t 0 C u) 53(t C u 0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 2 3 4 6 5 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e t e t e 20高级教育 小结：小结： 4. 4. 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 1. 1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响 应应 , , 都是由初始值衰减为零的都是由初始值衰减为零的指数衰减函数指数衰减函数。 2. 2. 衰减快慢取决于时间常

15、数衰减快慢取决于时间常数 RCRC电路电路 = = RCRC , , RLRL电路电路 = = L L/ /R R 3. 3. 同一电路中同一电路中所有响应具有相同的时间常数所有响应具有相同的时间常数。 t eyty )0()( 21高级教育 u uC C 全响应全响应: : 电源激励和储能元件的初始能量 均不为零时，电路中的响应。 )0()e1(e 0 tUUu RC t RC t C R1 U1 C + 1 + uC U2 + 2t=0 S 22高级教育 ) 0()e1(e 0 tUUu RC t RC t C ) 0( )e( 0 tUUU RC t 稳态分量稳态分量 零输入响应零输入响

16、应零状态响应零状态响应 暂态分量暂态分量 全响应全响应 稳态值稳态值 初始值初始值 t ffftf e)()0()()( 23高级教育 状态变量状态变量的的三要素三要素 u uC C( (0 + +) )u uC C( ( ) ) = =RCRC i iL L( (0 + +) )i iL L( ( ) ) = =GLGL 设：动态电路中任一支路电压(或电流)为f (t) 则：f f (0+ +) 待求响应的待求响应的初始值初始值 f f ( ) 待求响应的待求响应的稳态值稳态值 待求响应的待求响应的时间常数时间常数 任意变量f (t )的三要素 可以证明：f (t )f (t )完全由此三要

17、素决定。完全由此三要素决定。 即： 含源含源 电阻电阻 网络网络 动动 态态 元元 件件 R0 S U C( ) C u t R0 S I L ( ) L i t t ffftf e)()0()()( 24高级教育 )(tf t ffftf e)()0()()( 对于任何形式的直流一阶电路，对于任何形式的直流一阶电路， 【三要素法】 稳态值稳态值 初始值初始值时间常数时间常数稳态值稳态值 f f(0(0+ +) )、f f( ( ) )和和 )(tf 25高级教育 )(f )0 ( f )0()0()( 6320 fff. 26高级教育 即求解即求解直流电阻直流电阻 性电路中的电压和电流性电路

18、中的电压和电流。 【i i c c( ( )=0)=0、 u u L L( ( )=0)=0】 V5 5 55 10 )( C u 66 6 6)( L i mA3 (1)(1)稳态值稳态值 的计算的计算)( f 例：例： uC + - t=0 C 10V 1 F S 5k + - L i t =0 3 6 6 6mA S 画换路后画换路后t=t= 的等效电路的等效电路（电容（电容C C 视为开路视为开路, ,电感电感L L视为短路）视为短路）。 在在t=t= 的等效电路中，利用两类约束求各稳态值的等效电路中，利用两类约束求各稳态值。 27高级教育 1) 由由t t=0=0- -等效电路求等效

19、电路求)0()0( LC iu、 2) 2) 根据换路定则求出根据换路定则求出 独立初始值独立初始值)0()0( )0()0( LL CC ii uu 3) 3) 画画t t=0=0+ +时时等效电阻电路，求所需等效电阻电路，求所需非独立初始非独立初始 值值量量 )0( i)0( u或或 电容元件视为短路。; 0 U 其值等于 ，若 0)0( C u (1) 若， 0)0( 0 Uu C 电容元件用恒压源代替， 0 )0 ( 0 IiL 0)0( L i若若 其值等于其值等于I0 , , 电感元件视为开路。 (2) 若若 , 电感元件用恒流源代替 ， 注意：注意： )0( f(2) (2) 初

20、始值初始值 的计算的计算 28高级教育 CR0 0 R L 注意：注意： 29高级教育 R0 3210 )/(RRRR U0 + - C R0CR0 R1 R2 R3 R1 U + - t=0 C R2 R3 S 30高级教育 例例 在下图中，已知在下图中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2= =+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k ， C C= = 3 3 F F ，t t00时电路已处于稳态。用三要素法求时电路已处于稳态。用三要素法求t t 0 0 时时 的的 u uC C( (t t),),并并画出变化曲线画出变化曲线。 u uC C(0(0+ +

21、) )、u uC C( ( ) )和和 R2 R1 U1 C + 1 + uC U2 + 则：则：电容相当于开路。电容相当于开路。 2 t=0 S V2)0()0( 21 12 RR UR uu CC V4)( 21 22 RR UR uC 解解 先确定先确定三要素三要素 因：因：t t00时电路已处于稳态，时电路已处于稳态， 当当t t0 0电路处于稳态时，电路处于稳态时， 31高级教育 R2 U1 C + 1 + uC U2 + 2 t=0 S R1V2)0()0( CC uu V4)( C u sCRRm23 3 2 )/( 21 t CCCC uuuu - e)()0()( V)0(

22、t t C u 500- e24 例例 在下图中，已知在下图中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2= =+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k ， C C= = 3 3 F F ，t t00时电路已处于稳态。用三要素法求时电路已处于稳态。用三要素法求t t 0 0 时时 的的 u uC C( (t t),),并并画出变化曲线画出变化曲线。 解解 先确定先确定三要素三要素 210 /RRR 32高级教育 解解 U1 C + 1 + uC U2 + 2 t=0 S R1 R2 t (S) uC (V) 4 0 2 u uC C( (t t) ) 变化变化 曲线曲线 V t C u 500- e24 sm2 V2)0( C u VuC4)( 例例 在下图中，已知在下图中，已知U