数值计算课后答案6汇编

1、学习 - 好资料习题六解答1、在区间 0， 1上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。y10( y1)2ysin xe x(1)(2)y(0)2y(0)0解：取 h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为yn 1yn( yn1)2 (n0,1,2,)由初值 y0=y(0)=2 出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=2；x1=0.1， y1y0( y01)2211x2=0.2， y2y1( y11)2101指出：可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。2、用欧拉法和改进的欧拉法( 预测校正法 ) 求解初值问题，取步长h=0.1 。y x2 2 y(0 x 0.5) y(0) 1y解

2、：由预测校正公式yn+ 1ynhf ( xn , yn )ynhn+ 1 f ( xn , yn )2，f ( xn 1, yn 1 )取 h=0.1，本初值问题的预测校正公式的具体形式为yyn+ 1yn0.1 ( xn22 yn )n+ 1yn0.05(x22 yn ) (x22 yn 1)nn 1由初值 y0=y(0)=1 出发计算，所得数值结果如下：x0=0，y0=1；x1=0.1，y1y00.1(x22 y )0.8,00y1y00.05(x22y )( x22 y )001110.05(02)(0.1220.80.823、试导出解一阶常微分方程初值问题yf ( x, y)(x0axb

3、)y(x0 )y0的隐式欧拉格式yn 1ynhf ( xn 1 , yn 1 )(n0,1,2,)更多精品文档学习 - 好资料并估计其局部截断误差。解：在区间 x,x 上对常微分方程 y/(x)=f(x,y)两端同时积分，得nn+1yn 1ynxn 1xnf (x, y( x) dx由右矩形公式得xn 1f ( x, y(x)dxhf (xn 1 , yn1)xn所以有差分格式yn 1 ynhf (xn1 , yn 1 )(n0,1,2,)这是所谓隐式欧拉公式。对于隐式欧拉法 yn1ynhf ( xn 1 , yn1 )(n0,1,2,)假定 yn y(x n) ，上式右边的 yn 1 y(x

4、 n1 ) ，则yn 1ynhf ( xn 1, yn 1) y(xn ) hf ( xn 1, y(xn 1)y( xn ) hy (xn 1)将 y (x n 1) 按泰勒公式展开，上式为yn 1 y( xn ) hy (xn 1)y( xn )hy ( xnh)y( xn )h y (xn )hy (xn )将 y(x n 1) 按泰勒公式展开，得y(xn 1 )y( xnh)y(xn )hy (xn )h2h3y(xn )y (xn )3!2!两式相减，得y(xn 1 ) yn 1h2y ( xn )h3 y( xn ) hy ( xn )y ( xn ) y( xn ) h y (

5、xn ) hy ( xn )2!3!h2y (xn ) O(h3 )2!即y(xn 1 ) yn 1h232!y ( xn ) O (h )所以，y(xn 1 ) yn 1O (h2 )指出：可以用多种方法导出，其中差商法、数值积分方法是简单的方法。用导出。4、验证改进的欧拉公式对任何不超过二次的多项式yax2bxc准确成立，并说明理由。更多精品文档学习 - 好资料解：因为yax2bxc所以 y2axbyexf 。记 f (x)exf ，设 xiih , i 0,1,2,改进的欧拉公式为yi 1yih ( f ( xi , yi ) f ( xi 1 , yi 1)2yih( exf )(ex

6、f )( i 0,1,2, )2ii 1y0c将上式对 i 从 0 到 n 1 求和并利用初值条件得n1 h(exif ) (exif )cyn21i0eh n1( xixi1)nfhceh n 1(i1)h)nfhc2 i2 i(ih00eh2n1(ii1)nfhceh2( n1in1(i1)nfhc2i02i0i02n121 n(neh(2in)nfhceh (21)n)nfhc2i022e(nh)2fnhc12fnhc2e(nh)21 exn2fxnc axn2bxnc2所以，改进的欧拉法对任何不超过二次的多项式yax2bxc准确成立。补充题（一）1、用欧拉公式求解初值问题y0.9y(0

7、 x 1)1 2xy(0) 1当 x 取步长为 h=0.02 ，用欧拉公式解初值问题0,0.02,0.04,0.10 时的解。2、取步长为 h=0.2 ，用欧拉公式解初值问题更多精品文档学习 - 好资料yyxy2 (0x0.6)y(0)1。答案1.解：将 f ( x, y)0.9代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体y1 2 x形式为：ynyn0.9yn0.018）1h1yn ，5（,4,3n,2,1,01 2 xn12 xn取 h0.02由初值 y0=y(0)=0 出发计算，所得数值结果如下：用欧拉公式求解的计算结果nxnyny( xn )y( xn ) yn001.00001.0000

8、010.020.98200.98250.000520.040.96600.96550.00050.0630.94891.95030.00140.080.93360.93540.0018450.100.91000.92130.0113事实上，利用变量分离法，很容易求得该初值问题的准确解为： y( x) (1 2x) 0.45 表中 y( xn ) 的第一列就是精确解 y( x) 在 x xn 处的值。 y( xn ) yn 表示 y n 的局部截断误差，从表中可以看出，随着 n 的增大， y( xn ) yn 的值也在增大。所以，欧拉公式虽然计算简便， 对一些问题有一定的使用价值， 但是它的误差

9、较大， 所得的数值解精度较低。2.解：将 f ( x, y )y xy 2代入欧拉公式，得本初值问题的欧拉公式的具体形式为：yn 1yn hf ( xn , yn ) yn0.2( yn xn yn2 )更多精品文档学习 - 好资料0.8yn0.2xn yn2取步长为 h=0.2 由初值 y0=y(0)=1 出发计算，所得数值结果如下：y(0.2)y10.8 y00.2x0 y020.810.20120.8y(0.4)y20.8y10.2x1 y120.80.8 0.20.20.820.6144y(0.6)y30.8y20.2x2 y220.80.61440.20.40.614420.4613

10、补充题（二）1 、证明对任意的参数t，如下的龙格库塔方法是二阶的。yn 1ynh (k2k 3 )2k1f ( xn , yn )k2f ( xnth, ynthk1)k3f ( xn(1 t )h, yn (1 t )hk1 )分析与解答1、证明：因为 k1f ( xn , yn ) y ( xi )k2f ( xnth, ynthk1)f ( xn , yn )thf x (xn , yn )thk1 f y ( xn , yn )O(h2 )y ( xn )thf x ( xn , yn )thy ( xn ) f y (xn , yn )O(h2 )k3f ( xn(1 t )h, y

11、n(1 t)hk1)f ( xn , yn ) (1 t) hfx (xn , yn ) (1 t )hk1 f y ( xn , yn ) O( h2 )y ( x )(1t )hfx(xn, y)(1 t) hy ( x ) fy(x, y) O(h2 )nnnnn则yn 1ynhk 3 )(k2h2yn( y ( xn )thf x ( xn , yn )2y (xn )(1t )hf x ( xn , yn )(1thy ( xn ) f y ( xn , yn )t) hy ( xn ) f y ( xn, yn )O (h2 )O (h2 )ynh2h23hy ( xn )f x ( xn , yn )y (xn ) f y ( xn , yn ) O( h )22而 y(xn