时间序列模型2汇总

1、第 2 章 时间序列模型时间序列分析方法由 Box-Jenkins （1976） 年提出。它适用于各种领域的时间序列分析。 时间序列模型不同于经济计量模型的两个特点是： 这种建模方法 不以经济理论为依据 ，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制 描述时间序列的变化。 明确 考虑时间序列的非平稳性 。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分 把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。时间序列模型的应用： （1）研究时间序列本身的变化规律（建立何种结构模型，有无确定性趋势，有无单位 根，有无季节性成分，估计参数） 。（ 2）在回归模型中的应用（预测回归模型中解释变量的值）。（3）时间序列模型

2、是非经典计量经济学的基础之一（不懂时间序列模型学不好非经典 计量经济学） 。分节如下：1随机过程、时间序列定义2时间序列模型的分类 3自相关函数与偏自相关函数 4建模步骤（识别、参数估计、诊断检验、案例分析） 5回归与时间序列组合模型 6季节时间序列模型（案例分析）2.1 随机过程、时间序列 为什么在研究时间序列之前先要介绍随机过程？就是要把时间序列的研究提高到理论 高度来认识。 时间序列不是无源之水。 它是由相应随机过程产生的。 只有从随机过程的高度 认识了它的一般规律。对时间序列的研究才会有指导意义。对时间序列的认识才会更深刻。自然界中事物变化的过程可以分成两类 。 一类是确定型过程，一类

3、是非确定型过程 。 确定型过程即可以用关于时间 t 的函数描述的过程。 例如，真空中的自由落体运动过程， 电容器通过电阻的放电过程，行星的运动过程等。非确定型过程即不能用一个 （或几个） 关于时间 t 的确定性函数描述的过程。 换句话说， 对同一事物的变化过程独立、 重复地进行多次观测而得到的结果是不相同的。 例如， 对河流 水位的测量。 其中每一时刻的水位值都是一个随机变量。 如果以一年的水位纪录作为实验结 果，便得到一个水位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先不可确知的。 只有通过测量才能得到。而在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。随机过程 ：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程，

4、记为x （s, t） , s S , t T 。其中 S表示样本空间， T表示序数集。对于每一个 t, t T, x（, t ） 是样本空间 S中的一个随机变量。对于每一个 s, s S , x （s, ） 是随机过程在序数集 T 中的一次实现。随机过程简记为 xt 或 xt。随机过程也常简称为过程。随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类是连续型的 。如果一个随机过程 xt 对任意的 t T 都是一个连续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过程。如果一个随机 过程 xt对任意的 t T 都是一个离散型随机变量， 则称此随机过程为离散型随机过程。 本书 只考虑离散型随机过程 。连续型随机过

5、程离散型平稳的严(强)平稳过程宽平稳过程非平稳的严(强)平稳过程 ：一个随机过程中若随机变量的任意子集的联合分布函数与时间无关，即无论对 T的任何时间子集( t1, t 2, ,tn)以及任何实数 k, (ti + k) T, i= 1, 2, n ,都有F( x(t1), x(t2), , x(tn) ) = F(x(t1 + k), x(t2 + k), x ,(tn+ k) )成立，其中 F() 表示 n 个随机变量的联合分布函数，则称其为严平稳过程或强平稳过程。 严平稳意味着随机过程所有存在的矩都不随时间的变化而变化。 严平稳的条件是非常严 格的， 而且对于一个随机过程， 上述联合分布

6、函数不便于分析和使用。 因此希望给出不象强 平稳那样严格的条件。 若放松条件， 则可以只要求分布的主要参数相同。 如只要求从一阶到 某阶的矩函数相同。这就引出了宽平稳概念。如果一个随机过程 m阶矩以下的矩的取值全部与时间无关，则称该过程为 m 阶平稳过 程。比如E x(ti) = E x(ti + k) = ,2Varx(ti) = Var x(ti + k) = 2 ,2Cov x(ti), x(tj) = Cov x (ti + k), x (tj + k) = i j2 ,2 2其中 , 2 和 ij2 为常数，不随 t, (t T ); k, ( (tr + k) T, r = i,

7、j ) 变化而变化，则称该随 机过程 xt 为二阶平稳过程(协方差平稳过程) 。 该过程属于宽平稳过程。如果严平稳过程的二阶矩为有限常数值， 则其一定是宽平稳过程。 反之， 一个宽平稳过 程不一定是 严 平稳过程。 但对于正态随机过程而言， 严平稳与宽平稳是一致的。 这是因为正 态随机过程的联合分布函数完全由均值、 方差和协方差所惟一确定。 本书简称二阶平稳过程 为平稳过程。时间序列 ：随机过程的一次实现称为时间序列，也用x t 或 x t表示。与随机过程相对应，时间序列分类如下，连续型 * (心电图，水位纪录仪，温度纪录仪)时间序列 从相同的时间间隔点上取自连续变化的序列(人口序列)离散型一

8、定时间间隔内的累集值(年粮食产量，进出口额序列)时间序列中的元素称为观测值。 xt 既表示随机过程，也表示时间序列。 xt 既表示随机 过程的元素随即变量，也表示时间序列的元素观测值。在不致引起混淆的情况下，为方便， xt 也直接表示随机过程和时间序列。随机过程与时间序列的关系如下所示：随机过程 :x1,x2, , xT-1,xT,第 1 次观测：x11,1x2 , 1 , xT-1 ,xT1第 2 次观测：x12,2 x2 , 2 , xT-1 ,xT22第 n 次观测： x1n, x2n, , xT-1n, xTn某河流一年的水位值， x1, x2, x, T-1, xT, ，可以看作一个

9、随机过程。 每一年的水位纪录 则是一个时间序列， x11, x21, ,x T-11, xT1。而在每年中同一时刻(如 t = 2 时)的水位纪录 是不相同的。 x21, x22, ,x2n, 构成了 x2 取值的样本空间。例如， 要记录某市日电力消耗量， 则每日的电力消耗量就是一个随机变量， 于是得到一 个日电力消耗量关于天数 t 的函数。而这些以年为单位的函数族构成了一个随机过程xt, t= 1, 2, 365 。因为时间以天为单位，是离散的，所以这个随机过程是离散型随机过程。而 一年的日电力消耗量的实际观测值序列就是一个时间序列。自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳的 。如工业生产中对

10、液面、 压力、 温度的控 制过程， 某地的气温变化过程， 某地 100 年的水文资料， 单位时间内路口通过的车辆数过程 等。但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的。如一个国家的年 GDP 序列，年 投资序列，年进出口序列等。为便于计算，先给出差分定义。差分 ：时间序列变量的本期值与其滞后值相减的运算叫差分。差分分为一阶差分和高阶差分。首先给出差分符号。对于时间序列x t ，一阶差分可表示为xt -xt -1 = xt = (1- L) xt = xt - L xt(2.1)其中 称为一阶差分算子 。L 称为 滞后算子 ，其定义是 Ln xt = xt- n 。差分算子和滞后算子可以直接

11、参与运算。二次一阶差分表示为，xt= xt - xt -1= (xt - xt -1) (xt-1 - xt -2) = xt - 2 xt -1+ xt 2，或2 2xt = (1- L) 2 xt = (1 2L + L 2 ) xt = xt 2 xt-1+ xt2(2.2)k 阶差分可表示为xt-xt -k = k xt = (1- Lk ) xt= xtLk xtk 阶差分常用于季节性数据的差分，如 4 阶差分、 12 阶差分。滞后算子有如下性质。(1)常数与滞后算子相乘等于常数。Lc = c( 2)滞后算子适用于分配律。 (Li + Lj) xt= Li xt+ Lj xt= xt

12、 -i+ xt j( 3)滞后算子适用于结合律。 Li Lj xt= Li+ j xt= xt -ij( 4)滞后算子的零次方等于 1。L0xt = xt(5)滞后算子的负整数次方意味着超前。L-i xt = xt+i下面介绍两种基本的随机过程(1) 白噪声( white noise)过程( file： 5gener1， u)2白噪声过程 ：对于随机过程 xt, t T , 如果 E(xt) = 0, Var (xt) = 2 , t T; Cov (xt, xt + k) = 0, (t + k ) T , k 0 , 则称 xt为白噪声过程。图 2.1a 由白噪声过程产生的时间序列（ nr

13、nd ）图 2.1b 日元对美元汇率的收益率序列0.30.250.20.150.10.0500 0.5 1 1.5 2 2.5 3图 2.1c 白噪声过程的总体谱白噪声是平稳的随机过程，因其均值为零，方差不变，随机变量之间非相关。显然上述 白噪声是二阶宽平稳随机过程。如果xt 同时还服从正态分布，则它就是一个强平稳的随机过程。白噪声源于物理学与电学，原指音频和电信号在一定频带中的一种强度不变的干扰声。（ 2） 随机游走（ random walk ）过程（ file ： 5gener1， x1 ） 对于下面的表达式图 2.1e. 由随机游走过程产生时间序列图 2.1f. 深圳股票综合指数“随机游

14、走” 一词首次出现于 1905 年自然（ Nature ）杂志第 72 卷 Pearson K.和 Rayleigh L.的一篇通信中。该信件的题目是“随机游走问题” 。文中讨论寻找一个被放在野地中央的 醉汉的最佳策略是从投放点开始搜索。随机游走过程的均值为零，方差为无限大。xt = xt -1 + ut = ut + ut-1 + xt -2 = ut + ut-1 + ut-2 + E(xt) = E(ut + ut-1 + ut-2 + ) = 0,Var(xt) = Var( ut + ut-1 + ut-2 + ) =t2 u所以随机游走过程是非平稳的随机过程。2.2 时间序列模型的

15、分类(1) 自回归过程如果一个剔出均值和确定性成分的线性过程可表达为xt = 1xt-1 + 2 xt-2 + + p xt-p + ut ,(2.4)其中 i, i = 1, p 是自回归参数，ut 是白噪声过程，则称 xt为 p 阶自回归过程，用 AR(p) 表示。 xt是由它的 p个滞后变量的加权和以及 ut相加而成。若用滞后算子表示(1- 1L - 2 L2 - - p Lp) xt= L) xt = ut(2.5)其中 L) = 1- 1L - 2 L2 - - p Lp称为特征多项式或自回归算子。与自回归模型常联系在一起的是 平稳性问题。对于自回归过程 AR( p)，如果其特征方程

16、z) = 1- 1 z - 2 z2 - - p z p =(1 G1 z) (1 G2 z) . (1 Gp z) = 0(2.6)的所有根的绝对值都大于 1，则 AR( p)是一个平稳的随机过程。4图 2.2 AR(1)过程( file： 5gener1， x2) xt = 1 xt-1 + utAR(1)过程分析。(2.7)保持其平稳性的条件是特征方程(1 - 1 L) = 0 根的绝对值必须大于 1，满足| 1/ 1| 1也就是 | 1| 1解释如下：一阶自回归过程， xt = 1 xt-1+ ut，可写为(1- 1L) xt = ut xt = (1- 1 L)-1 ut在 | 1|

17、 1, L2 1 (在单位圆外)或+ ( 1 L) 1 1, 2 1(2)对于 AR(2) 模型，求特征方程的根要比 AR(1) 模型困难得多。下面利用特征方程的根与模型 +) ut若保证 AR(1)具有平稳性，i 0 112 4 21, 2 =(1)Li必须收敛，即 1必须满足 | 1| 1。这是容易理解的，如果| 1| 1，1iLi 发散，于是 xt 变成一个非平稳随机过程。i0由( 2.7)式有 22xt = ut + 1 ut-1 + 12 xt-2 = ut + 1 ut-1 + 12 ut-2 + (短记忆过程)因为 ut 是一个白噪声过程，所以对于平稳的AR(1) 过程E(xt)

18、 = 02 2 2 4 2 1 2 Var (xt) = u + 1 u + 1 u + =2 u1 12上式也说明若保证 xt平稳，必须保证 | 1| 1。例 1 ：有 AR(1) 模型xt = 0.6 x t-1 +ut 则，(1 - 0.6 L ) x t = ut1 2 3xt =ut= (1 + 0.6 L + 0.36 L2 + 0.216 L3+ )u t1 0.6L= ut + 0.6 ut-1 + 0.36 ut-2 + 0.216 ut-3 + 上式变换为一个无限阶的移动平均过程。(0)AR(2)过程分析。 xt = 1 xt-1+ 2 xt-2+ u t 具有平稳性的条件

19、。对于 AR(2) 过程，特征方程式是1 - 1 L- 2 L2 = 0上式的两个根是L1, L2 =1 12 4 2 2 2设 = 1 / L，则相应的特征方程是。2 - 1 - 2 = 0 其两个根是参数 2， 1 的关系求保证 AR(2) 过程平稳的 2， 1 的取值条件(或值域) 。由 (1) 式得112 4 2 112 4 21 + 2 = + = 1 2212 12 4 21 2 = - = - 244利用 (3)， (4) 式得2+ 1 = - 1 2 + ( 1 + 2) = 1 (1- 1) (1- 2 )(3)(4)无论 1, 2 为实数或共轭复数，由2+ 1 12- 1

20、11 1, 2 0 ，从而得(5) (6)2- 1 = - 1 2 - ( 1 + 2) = 1 (1+ 1) (1+ 2 )由 (2) 和 (4) 式得(7)-1 2 0 时，L1, L2 为不等实数根。 2, 1的值位于过阻尼区(自相关函数呈指数衰减) 。(3)当 12+ 4 2 0 时，根为共轭复根。 2, 1 的值位于欠阻尼区(自相关函数呈正弦震荡衰减) 。例 2 有 AR(2) 模型 xt = 0.7 xt -1 - 0.1 xt -2 + ut， 试判别 xt 的平稳性。解：有 3 种方法。解法 1：(检查 1, 2 约束条件)?1+ ?2= 0.6，- ?1+ ?2= -0.8，

21、 ?2= - 0.1，满足条件( 5)(6)(7)，所以 xt是平稳的。解法 2：(因式分解求根)特征方程为，由原式得 (1 - 0.7 L + 0.1 L2) xt = ut(1 - 0.7 L + 0.1 L 2) = 0(1 - 0.2 L) (1- 0.5 L) = 0特征方程的两个根是， L1 = 5，L2 = 2。因为两个根都在单位圆之外，所以xt是平稳的。解法 3：（观察（ 1, 2）点是否落在三角区）从图 1看，因为（ 1, 2）= （0.7, -0.1） ，落在了 AR（2） 过程的平稳域，落在了过阻尼区， 所以 xt 为平稳过程。例 3：有 AR（2） 模型 x t = 0

22、.6 x t-1 - 0.1 x t-2 + ut ，试判别 xt 的平稳性。 解：解法 1：（检查 1, 2 约束条件）?1+?2= 0.5，- ?1+ ?2= -0.7， ?2= - 0.1，满足条件（ 5）（6）（7），所以 xt是平稳的。解法 2：（因式分解求根）由原式得， （1 - 0.6 L + 0.1 L2 ） x t = ut ，特征方程为，（1 - 0.6 L + 0.1 L2） = 0 因为特征方程中各项都是实数，所以其虚根必然是共轭的。1- (0.3 - 0.1 i ) L 1- (0.3 + 0.1 i ) L = 0特征方程的两个根是，L1=10.3 0.1i(0.3

23、 0.1i)(0.3 0.1i)(0.3 0.1i)= 3 + i，L2 =10.3 0.1i= 3 - i，过程的平稳域，落在了欠阻尼区，因为两个根都在单位圆之外，所以 xt 是平稳的随机过程。 解法 3：（观察（ 1, 2）点是否落在三角区） 从图 1看，因为（ 1, 2）= （0.6, -0.1） ，落在了 AR（2）所以 xt 为平稳过程。例 4：有 AR（2） 模型 x t = 0.7 x t-1 + 0.6 x t-2 +ut ，试判别 xt的平稳性。解：解法 1：（检查 1, 2 约束条件）?1+ ?2 = 1.3，- ?1+ ?2= -0.1， ?2 = 0.6，条件（ 5）不

24、满足，所以 xt是非平稳的。解法 2：（因式分解求根）由原式得， （1 - 0.7 L - 0.6 L2） xt = ut ，特征方程为，2（1 - 0.7 z - 0.6 z 2 ） = 0（1 + 0.5 z ） （1- 1.2 z ） = 0特征方程的两个根是， z1= -2，z2 = 0.83 。因为一个根 0.83 在单位圆内，所以 xt是一个非平 稳的随机过程。解法 3：（观察（ 1, 2）点是否落在三角区）从图 1看，因为（ 1, 2）= （0.7, 0.6） ，落在了 AR（2） 过程的非平稳域，所以 xt为非平稳 过程。对于一般的自回归过程 AR （ p） ，特征多项式2p(

25、L) = 1 - 1 L - 2 L2- - p Lp = (1 G1 L) (1 G2 L) . (1 Gp L)则 xt 可表达为xt = -1 (L) ut = (k11-G1 L+ k21-G2 Lkp+ +1-GpL)ut(2.8)其中 k1, k 2, ,kp 是待定系数。 xt具有平稳性的条件是-1 (L) 必须收敛，即应有 | Gi | 1。由上式可看出一个平稳的 AR( p)过程可以转换成一个无限阶的移动平均过程(p 个无穷级数之和)。保证 AR(p) 过程平稳的一个必要但不充分的条件是 p 个自回归系数之和要小于 1，即pi i1重新分析随机游走过程。因为1 = 1，所以随

26、机游走过程是一个非平稳的随机过程。(2) 移动平均过程如果一个剔出均值和确定性成分的线性随机过程可用下式表达xt = ut + 1 ut 1 + 2 ut -2 + + q ut q= (1 + 1L + 2 L2 + + q Lq) ut = L) ut(2.9)其中 1, 2, , q是回归参数， ut为白噪声过程，则上式称为q 阶移动平均过程，记为MA( q) 。之所以称“移动平均” ，是因为 xt是由 q +1 个 ut和 ut 滞后项的加权和构造而成。 “移动”指 t 的变化，“平均”指加权和。由定义知任何一个 q 阶移动平均过程都是由 q + 1 个白噪声变量的加权和组成， 所以任

27、 何一个移动平均过程都是平稳的。与移动平均过程相联系的一个重要概念是 可逆性。移动平均过程具有可逆性的条件是特 征方程。z) = (1 + 1 z + 2 z2 + + q zq)= 0(2.10)的全部根的绝对值必须大于 1。由 (2.9) 有 L)-1xt = ut。由于 L) 可表示为L) = (1 H1L) ( 1 H2L) 1( HqL)所以有-1m1 m2mqL)-1 =(1+ 2+q), (2.11)1 H1L 1 H 2L1 HqLmi 为待定参数。可见保证 MA( q)过程可以转换成一个无限阶自回归过程，即MA( q)具有可逆性的条件 L)-1收敛。对于 | L | 1，必须

28、有|Hj| 1，j = 1，2，q成立。 -1而Hj -1是特征方程L) = (1 H1L) ( 1 H2L) 1( HqL) = 0 的根，所以 MA( q)过程具有可逆性的条件是特征方程L) = 0 的根必须在单位圆之外。 (因为 x t = L) ut是平稳的，如果变换成L)-1xt = ut 后，变得不平稳，显然失去可逆性。 )注意，对于无限阶的移动平均过程xt =( i u t -i = ut (1+ 1 L + i02L 2 + )其方差为Var(xt) =(2i2 Var (ut i) =u2 i2i0i0(2.12)(2.13)很明显虽然有限阶移动平均过程都是平稳的， 但对于无

29、限阶移动平均过程还须另加约束条件 才能保证其平稳性。这条件就是 x t的方差必须为有限值，即i2i0MA( q) 过程中最常见的是一阶移动平均过程，xt = (1+ 1 L) ut(2.14)其具有可逆性的条件是( 1 + 1L) = 0 的根(绝对值)应大于 1，即 |1/ 1| 1, 或| 1| 1。 当| 1| 1时， MA(1)过程( 2.14)应变换为12 2 3 3ut= (1+ 1L) 1xt = (1 - 1L + 12L2- 13L3 + ) xt(2.15)这是一个无限阶的以几何衰减特征为权数的自回归过程。MA(1) 过程分析。3图 2.3 MA(1) 过程( file ：

30、 5gener1， x5)E(x t) = E(ut) + E( 1 ut - 1) = 02 2Var(xt) = Var(ut) + Var( 1 ut 1) = (1+ 12 ) u2自回归与移动平均过程的关系 一个平稳的 AR( p)过程(1 - 1L - 2L2 - - pLp ) xt = ut 可以转换为一个无限阶的移动平均过程，xt = (1 - 1L - 2L2 - - pLp)-1 u t =L)-1 ut 一个可逆的 MA( q)过程xt= (1 + 1L + 2L2+ + q Lq ) ut = L)ut 可转换成一个无限阶的自回归过程，102 q -1 -1(1 +

31、1L + 2L2+ + q Lq)-1 xt = L) -1 xt= ut 对于 AR( p)过程只需考虑平稳性问题，条件是L)= 0 的根(绝对值)必须大于 1。不必考虑可逆性问题。 对于 MA( q)过程，只需考虑可逆性问题， 条件是 L) = 0的根(绝对值)必须大于 1， 不必考虑平稳性问题。(3) 自回归移动平均过程 由自回归和移动平均两部分共同构成的随机过程称为自回归移动平均过程，记为ARMA( p, q), 其中 p, q分别表示自回归和移动平均部分的最大阶数。 ARMA( p, q) 的一般表 达式是xt = 1xt-1 + 2xt-2 + p xt-p + ut + 1ut-

32、1 + 2 ut-2 + .+ q ut-q(2.16)即(1 - 1L - 2 L2 - - pLp ) xt = (1 + 1 L + 2 L2+ + q Lq ) ut 或(L) xt = (L) ut(2.17)其中 (L) 和 (L) 分别表示 L 的 p, q阶特征多项式。ARMA( p, q) 过程的平稳性只依赖于其自回归部分， 即 (L) = 0 的全部根取值在单位圆 之外(绝对值大于 1)。其可逆性则只依赖于移动平均部分，即(L) = 0 的根取值应在单位圆之外。图 2.4 ARMA(1,1) 过程( file ：5gener1， x7)图 2.5 ARIMA(1,1,1)

33、过程实际中最常用的是 ARMA(1, 1) 过程。xt - 1xt-1 = ut + 1 ut - 1(2.18)或(1 - 1 L)xt =(1 + 1 L)ut很明显只有当 1 1 1和1 1 1 时，上述模型才是平稳的，可逆的。(4) 单整自回归移动平均过程以上介绍了三种平稳的随机过程。对于 ARMA 过程(包括 AR 过程)，如果特征方程 (L) = 0 的全部根取值在单位圆之外， 则该过程是平稳的；如果若干个或全部根取值在单位 圆之内，则该过程是强非平稳的。例如，xt = 1.3 xt-1 + ut特征方程的根 = 1/ 1.3 = 0.77 )上式两侧同减 xt-1得xt = 0.

34、3 xt-1 + ut11 仍然非平稳。 除此之外还有第三种情形， 即特征方程的若干根取值恰好在单位圆上。 这种根 称为单位根，这种过程也是非平稳的。下面介绍这种重要的非平稳随机过程。假设一个随机过程含有 d个单位根，其经过 d 次差分之后可以变换为一个平稳的自回归 移动平均过程。则该随机过程称为单整自回归移动平均过程。伯克斯詹金斯积数十年理论与实践的研究指出，时间序列的非平稳性是多种多样的， 然而幸运的是经济时间序列常常具有这种特殊的线性齐次非平稳特性(即参数是线性的，xt及其滞后项都是一次幂的) 。对于一个非季节性经济时间序列常常可以用含有一个或多个单 位根的随机过程模型描述。考虑如下模型

35、(L) d yt = (L) ut(2.19)其中 (L) 是一个平稳的自回归算子。即(z) = 0 的根都大于 1。 (L)表示可逆的移动平均算子。若取xt = d yt(2.20)则( 2.19 )可表示为(L) xt = (L) ut(2.21)说明 yt 经过 d 次差分之后，可用一个平稳的、可逆的 ARMA 过程 xt 表示。随机过程 yt 经过 d 次差分之后可变换为一个以(L)为 p 阶自回归算子， (L)为 q 阶移动平均算子的平稳、可逆的随机过程，则称yt 为(p, d, q)阶单整(单积)自回归移动平均过程，记为 ARIMA ( p, d, q)。这种取名的目的是与以后各章

36、中的称谓相一致。ARIMA 过程也称为 综合自回归移动平均过程 。其中 (L) d称为 广义自回归算子 。(2.19) 是随机过程的一般表达式。当 p 0, d = 0, q 0 时，( 2.19)变成 ARMA ( p, q) 过程，d = 0, p = 0, q 0时， ARIMA 过程变成 AM( q)过程；而当 p = d = q = 0 时， ARIMA 过程变成白噪声过程。做 d yt = xt 的逆运算yt= S dxt(2.22)其中 S是无限累加(积分)算子。当d = 1 时，S xt 定义如下t2 -1 -1S xt =xi = (1 + L + L2+ )xt = (1

37、L)-1 xt= -1 xt = yt.(2.23)i则S = (1 L)-1 = -1 (2.24)单整 ( 单积 ) 与差分互为逆运算。例 5：以 yt = yt-1 + xt, y0 = 0 为例， xt中元素的逐步叠加，得到的是 yt 序列。而 yt 的差分运算得到的是 xt 序列。y1 = x1y2 = x2 + x1 y3 = x3 +x2 + x1yt-1 = xt-1 + + x3 +x2 + x1yt= xt + xt-1 + + x3 +x2 + x1可见 S是 的逆运算。 (2.23)表明随机过程 xt 经过逐步叠加之后可以得到yt。每次叠加类12 似于连续函数的一次积分

38、，这就是为什么称 AR1MA 过程为单整自回归移动平均过程。 “单 整”在这里就是积分的意思。现在容易理解，随机游走过程( 2.3)就是由白噪声过程累加一次而得到的。 给出若干具体的非平稳随机过程如下：1. ARIMA (0, 1, 1) 过程yt = ut + 1 ut 1 = (1 + 1L)ut其中 p = 0，d = 1，q = 1， (L) = 1， (L) = 1+ 1 L。2. ARIMA(1, 1, 0) 过程yt - 1 yt 1 = u t其中 p = 1，d = 1，q = 0， (L) = 1 - 1 L， (L) = 1。3. ARIMA(1,1,1) 过程yt -

39、1 yt -1 = ut + 1 ut -1或(1 - 1 L) yt 1= (1 + 1L) ut其中 p = 1, d = 1, q = 1， (L) = 1 - 1 L， (L) = 1+ 1 L。对于非季节经济时间序列 p, d, q 的取值很少有大于 2的情景。这些参数的常见取值是 0、 1 和 2。( 5)Wold 分解定理： 任何协方差平稳过程 xt，都可以被表示为xt - - dt= ut+ 1 ut-1+ 2 ut-2 + + =jut jj0其中 表示 xt 的期望。 dt 表示 xt的线性确定性成分，如周期性成分、时间t 的多项式和指2数形式等，可以直接用 xt的滞后值预

40、测。 0= 1，j2 。 ut为白噪声过程。 ut表示j0用 xt 的滞后项预测 xt 时的误差。ut = xt - E(xt xt-1, xt-2 , )j 0 j ut j 称为 xt 的线性非确定性成分。当 dt = 0 时，称 xt 为纯线性非确定性过程。Wold 分解定理由 Wold 在 1938年提出。 Wold 分解定理只要求过程 2阶平稳即可。 从原 理上讲，要得到过程的 Wold 分解，就必须知道无限个j 参数，这对于一个有限样本来说是不可能的。 实际中可以对 j做另一种假定， 即可以把 (L)看作是 2 个有限特征多项式的比，j(L) 11L2L2.qLq(L) =jLj=(L) =12qj 0j(L) 11L2L2.p Lp注意， 无论原序列中含有何种确定性成分， 在前面介绍的模型种类和后面介绍的自相关 函数、偏自相关