曲面的第二基本形式在曲面论中的作用

1、曲面的第二基本形式在曲面论中的作用1引言为了研究曲而在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲而与切平而的有 向距离的两倍，从而刻画了曲而离开切平而的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲而的 第一基本形式共同构成了曲而论的基本左理.从而确立了曲而一点附近的结构与形状.由此可见曲而的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲而的几何性质又 是曲而论中的难点.本文将主要通过对曲而的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等），曲面上 的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共辄网等），曲而上点的类型（如椭 圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲而的第二

2、基本形式在曲面论中的作用.2曲面的第二基本形式定义曲面的第二基本形式C类曲W5: r = r ，曲线（C）： 7= F（s） （s 为自然参数）为S 上过一固左点P的曲线，兀为S在P点的切平而，万为曲面在P点的单位法向量，则n rds = n riadu2 + 2n riadudv+n rvdv2（ 1 ）令L = rlui-n , M =rw-h , N =心斤（2）则（1）式变为II =n d2r=n-d2f = Lehr + 2Mdudv + Ndv2（ 3 ）称之为曲而的第二基本形式，它的系数厶、M、称为曲面的第二类基本量.它就近似等于曲而到切平而有向距离的两倍.此外，对关系式而（护=

3、0微分得dn-dr + h = 0所以曲而的第二基本形式也可写为II =h-d2r = -chi-dr .一般来说曲而第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲而相关性质的证明.计算曲面的第二基本形式由于曲而的单位法向量亓一 EH. _ y|兀| Jeg-尸代入(2)中得1/1-所以根据以上公式来讣算曲面的第二基本形式.例1讣算球而F =Rcos&cos 0,7?cos Osin RsinO的第二基本形式.球而方程为 F =RcosOcos%/?cos&sin0,Rsin&,所以有rQ =-/? cos Osin/? cos Ocos 0,0 , fe = -R sin cos(py R sin

4、sin (p. R cos 0于是得E = f9=R2 cos26, F = B爲=0, G = r0rd=R2所以r x 7,= =(cos Ocos (p. cos Osin cp、sin 0J EG _心=-Rcos&cos0-7?cos&sin09O心=/?sin Osin 0,-7? si n& cos0J =-7?cos&cos0-/?cos&sin0-Rsin&,所以厶=和万= -Rcos 0 M =忌亓=, N = ii = _R因而=-(/? cos& + -/?)3法曲率法曲率设(C): f = M(5),v() = r(5)为曲而S上经过一固定点P的一条曲线.k为曲线(C

5、)在P点的曲率，&为B和斤间的夹角(0II0时，kn = k0 ,法截而朝切而的正向弯曲：IIVO时，气=%,法截而朝切面的负向弯曲：11 = 0时，人=心=0,法曲率和法截线曲率都等于零.例1求抛物面-（。十+方）,）在（0,0）点和方向（血：小,）的法曲率.解抛物而方程为r = x,y,ax2 + by2) / -求得E = rx-rx=,尸=乙呎=0, G = 、片=1L = h 心=a , M =h = 0 , N = ii F、=b所以_曲+心2 k 八jfIdx + dy例2利用法曲率公式kn=y证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例. 证明 对于球面 r =R cos

6、 vcos u, R cos v sin w, R sin “可求得I = R2 cos2 vdir + R2dv2, II = -/?cos2 vdir 一 Rdv2所以球而上任意一点P（w,v）沿任意方向（d“ :血）的法曲率为/ II _ Ldu2 + IMdudv + Ndv1n T Edu2 +2Fdudv + Gdv1得（RL+E）dJ = 2（RM + F）diMv+（RN +G）dJ = 0.又因为对于任一方向（d）成立，故有RL + E = 0（d = ,dv = 0）主方向满足方程（EW - FM）dir + EN-GL）dudv+FN-GM ）（/ = 0.主曲率满足方程

7、（EG-F2）k,-（LG-2MF + NE）kN+（LN-M2） = O.曲而在非脐点处，由于主曲率方程的判别式厶。，所以它有两个不相等的实根，因而曲而上非脐点处总有两个主方向.任脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向.罗徳里格（Rodrigues）定理 若方向（d）是主方向，当且仅当dn = -kndr ,心为曲面沿（d）的法曲率.|川呵）欧拉（Euler）公式：kn = k、cos2 0 + k2 sin2 0&是任意方向（d）与u曲线的夹角.W円欧拉（Euler）公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（d ）的法曲率都可以由方向（d ）和u一曲线的夹角0来确泄.而主曲率与法曲率有着

8、下而的关系：命题你円曲而上一点（非脐点）的主曲率是曲而在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小 值.例1确定抛物而Z = a（x2 + y2）在（0,0）点的主曲率.解 抛物而的方程r = x, ”（心2 + /）可求得在（0,0）处E = l, F = 0, G = l； L = 2a, M=0, N = 2a把第一、二基本量代入主曲率方程（7）得（2“-心）解得k=k2= 2a 例2证明在曲而上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数2/7.证明设该点相互成直角方向的法曲率分别为&和Rh,则由欧拉公式得kn = k、cos2 0 + k2 sin2 0所以kn = K cos& + |

9、J +込sin20 + J =k sin2 0 + k2 cos2 0kn + k； =&+匕=2H 高斯(Gauss)曲率和平均曲率若人.心为曲而上一点的两个主曲率，则它们的乘积/心称之为曲而在这一点的髙斯曲率 (Gauss),通常以K表示，它们的平均数+伙+爲)称之为曲而在这一点的平均曲率，通常以H表 示 |2|(P174)根据主曲率的方程(5 )利用二次方程根与系数的关系得K = k& =LN-曙EG 尸LG 2MF + NE2（EG-F2）因而主曲率的方程也可以表示为底一2冰+K = 0例1求正螺面Fcosusinav的高斯曲率和平均曲率.解 由正螺而方程f = u cos v, ii

10、 sin v,av得 = 1, F = 0 G = ir +a2L = iiruu = 0 , M =n rltv =_a , N = n 心=0因此“ LG 2MF + NE0 n2(EG-F2)2(/+/)例2如果曲而的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网.证明因为曲面的平均曲率L G-2MF + NE nH = = 02(EG-F2)所以LG2MF+NE=0设曲而的曲纹坐标网为渐近线网.则于是MF = O,即F = 0（若M=0,则曲而上的点为脐点）所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网.5曲面上点的类型杜邦（Dupin）指标线为了研究曲而上一点P处法截线的法曲率的关系，在点P的切平而

11、上取点P为原点.坐标曲线在P点的切向量兀和斥为基向量，人为对应方向（）的法曲率为， P为法曲率半径的绝对值,过点P方向（d）画线段PN,使其长度等于,对于切平而上所有方向，点N的轨迹称为曲而在点P的杜邦（Dupin）指标线.【叱曲杜邦（Dupin）指标线的方程为Lclx1 + IMdxdy + Ndy2 =1.曲面上点的分类利用杜邦（Dupin）指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的髙斯曲率K来对 曲而上的点进行分类（如表5-2）卩“表52类型LN-F1K杜邦（Dupin）抬标线椭圆点00椭圆双曲点00双曲线抛物点=0=0抛物线E F Gz脐点：-=石，其中圆点：（厶,M,/V）

12、H（OQO）,平点：L = M =N=0 例 求曲而2/,/,“+上的抛物点的轨迹.解由 r =|v3,w2,u + v| 得E = 4u2 + , F = l, G = 9+lL = 6v M=0, N = 2uvw = 0 或 v = 0LN W =72uv3EG-F2=0所求抛物线的轨迹为斤=,0,*,石=o,i?,i/.6曲面上的特殊曲线和曲线网曲率线及曲率网立义1曲而上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线.ZP98)曲率线的微分方程为dv2 -dudv duE F G =0.L M N立义2两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网帥卩勉命题1在不含有脐点的曲而上，任何正规

13、坐标网都可以做成曲纹坐标网.卩99)命题2曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是F = M=0. 1|(P99)例1确左螺旋而X = ucos v, y = Wsin v , z = cv上的曲率线.解 螺旋而方程r = ucos v,u sin v,cv可以求得E = l, F = 0, G = u2+c2L=0,n=由曲率线的方程得dv2 -dudv du110 u2 +c2 =0化简得Jv = / 血lu2 +c2积分得in u + yju +c2 =v + c所以曲率线为In u + y/u1 +c2 + v = q , In u + jiC +c2 v = c2.例2若曲而SS?交于一条

14、曲线(C),而且(C)是&的一条曲率线，贝iJ(C)也是S?的曲率线的充要条件是SS?沿着(C)相交成固泄角.证明 设S, S?两曲面的切向量为片,心，相交曲线(C):r = r(/,v)是一条曲率线.由罗徳里格(Rodrigues)宦理知 阿=入声.若(C)也是S?的曲率线的充分必要条件为d亓 2 = =clrH,+nA (/r) =0 + /U 0 =0 n2 =常数o网區|cosZ(芹，爲)=常数oZ(和禺)=4 (常数)O沿(C)曲面3, $2的夹角为定角.渐近曲线及渐近网泄义1曲而S上一固泄点P处，使11=0的方向称之为曲面在点P的渐近方向.ZP93)立义2若曲面S上一条曲线(C)的

15、切方向都是渐近方向，则称苴为渐近曲线.哪)定义3如果曲而上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲而上的渐近网.渐近曲线的微分方程为Lehr + IMdudv + Ndv2 = 0.命题1曲而上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条宜线，或者它在每一点的密切 平而与曲面的切平面重合.1214命题2曲而的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是L = N = O. I，l(w例1求曲而z = xy2的渐近曲线.解由求曲而方程为r=x,y,A)r得E = 1 + y4, F =, G = + 4x2y2L = 0, = 1 + 4=2+),2 =1 + 心 +),2由渐近曲线的微分

16、方程得dy = O 与一dx + dy = 0所以渐近曲线为例2证明每一条曲线在它的主法线曲而上是渐近曲线.证明 设曲线(C):r = r(5),贝ij主法线曲面S:r = r(5)+ /?(5)对S微分得rs =戸()+历(s) = 4(s)+/(-炖(s) +疗(s) =(l-/Q)(s)+/z7(s)对f微分得BO曲而S的法向量N = rsxrt = (l-/)7(s)-&(s)沿曲线(C), r = 0,所以那么kn = k cos 0 = k cos Z(2V,cos = 0因此曲线(C)为渐近曲线.共轨网立义 曲而S上两个方向沪与莎，若dhdr=dr5n= 0则称它们为互相共轨的方向.若曲 而S上两族曲线的方向在每一点都是共轨方向，则这两族曲线构成共轨网.命题 曲纹坐标网是共轨网的充要条件是M =0 , 例 证明在曲面z = fM + g(y)上曲线族兀=常数，y=常数构成共辄网.