有限元题库讲解

1、有限元考试复习1. 平面应力 /平面应变问题；空间问题 /轴对称问题；杆梁问题；线 性与非线性问题平面应力问题1）均匀薄板（ 2）载荷平行于板面且沿厚度方向均匀分布在六个应力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY 平面的三个应力分量，即xxyyx（ z 0， zx xz 0， zy yz 0 ）。一般 z 0， z并不一定等于零，但可由 x及 y 求得，在分析问 题时不必考虑。于是只需要考虑 x、 y、 xy 三个应变分量即可。平面应变问题（1） 纵向很长，且横截面沿纵向不变。 （2）载荷平行于横截 面且沿纵向均匀分布z yz zx 0只剩下三个应变分量 x、 y、 xy 。也只需要考虑x、 y

2、、 xy 三个应力分量即可轴对称问题物体的几何形状、 约束情况及所受外力都对称于空间的某一根轴轴对称单元的特点（与平面三角形单元的区别） ：轴对称单元为 圆环体，单元与单元间为节圆相连接； 节点力与节点载荷是施加于节 圆上的均布力；单元边界是一回转面；应变不是常量。 在轴对称问 题中，周向应变分量 是与 r 有关板壳问题一个方向的尺寸比另外两个方向尺寸小很多， 且能承受弯矩的结 构称为板壳结构， 并把平分板壳结构上下表面的面称为中面。 如果中 面是平面或平面组成的折平面，则称为平板；反之，中面为曲面的称 为壳。杆梁问题杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件组成的系统。 在结 构力学中常将承受

3、轴力或扭矩的杆件称为杆， 而将承受横向力和弯矩 的杆件称为梁。线性问题 /非线性问题线性问题 ：基于小变形假设，应力与应变方程、应力与位移关系 方程、平衡方程都是线性的。非线性问题：材料非线性 （非线性弹性、非线性弹塑性 ），几何非 线性（大变形大应变如金属橡胶，小应变大位移如薄壁结构）2. 不同类型单元的节点自由度的理解：单元类型节点数节点自由度杆单元21梁单元23平面单元32平面四边形42轴对称问题32板壳单元43四面体单元433. 有限元法的基本思想与有限元分析的基本步骤（ 5 步）有限元法的基本思想： 离散、分片插值； 其中离散的思想吸收了 差分法的启示。有限元分析的基本步骤 ：数学建

4、模（问题分析） ，结构离散（第 一次近似），单元分析（位移函数，单刚方程） （第二次近似），整体 分析与求解（总刚度方程，引入约束，解方程组求节点位移，根据节 点位移求应力），结果分析及后处理。4. 里兹法的基本思想及与有限元法区别里兹法的基本思想： 先根据描述问题的微分方程和相应定解条件 构造等价的泛函变分形式， 然后在整个求解区域上假设一个试探函数（或近似函数），通过求解泛函极值来获得原问题的近似解。与有限元法的区别： 里兹法是整体场函数用近似函数代替，有限 元法是离散求解域，分片连续函数来近似整体未知场函数。5. 有限元法的基本定义（节点、单元、节点力、节点载荷）? 单元：即原始结构离散

5、后， 满足一定几何特性和物理特性的最 小结构域? 节点：单元与单元间的连接点。? 节点力：单元与单元间通过节点的相互作用力? 节点载荷：作用于节点上的外载（等效） 。6. 位移函数的构造方法及满足的基本条件构造方法：（1）广义坐标法，按照帕斯卡三角形选择多项式，项 数多少由单元的自由度数决定。 （2）插值函数法，表示为形函数和节 点位移的乘积表示。基本条件：（1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单 元内部是连续的）；（2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真 实解。7. 位移函数的收敛性条件（协调元、非协调元）及单元协调性的判断位移函数的收敛性条件（ 1）位移函数应包含刚体位移（ 2

6、）位移函数应包含常量应变（反映单元的常应变状态） （3）位移函数在单元内连续，在单元之间的边界上要协调 满足 1 和 2 称为完备单元，满足 1，2， 3 称为协调单元。 单元协调性的判断以 3 节点三角形单元为例， 位移分量在每个单元中都是坐标的线 性函数的话， 在公共边界上也会是线性变化的， 那么相邻单元在公共 边界上的任意一点都具有相同的位移，也就是协调单元。有限元法中，假设一种位移函数近似表达单元内部的真实位移分 布，该位移函数可表示为 位移函数 和 节点位移 的线性插值。8. 有限元解的性质有限元解具有下限性质， 即有限元的解小于实际的精确解。 这是 因为实际结构本来是具有无限自由度

7、的， 当用有限元求解时， 结构被 离散为有限个单元的集合后， 便只有有限个自由度了。 由无限自由度 变为有限自由度可以认为是对真实位移函数增加了约束， 限制了结构 的变形能力，从而导致结构的刚度增大、计算的位移减小。9. 虚功原理、最小势能原理及变分法（里兹法）虚功原理： 在力的作用下处于平衡状态的体系， 当发生与约束条 件相符合的任意微小的虚刚体位移时， 体系上所有的主动力在虚位移 上所作的总功 （各力所作的功的代数和 ）恒等于零。最小势能原理： 表明在满足位移边界条件的所有可能位移中， 实 际发生的位移使弹性体的势能最小。10. 形函数特性1）形函数 Ni 为 x、y 坐标的函数，与位移函

8、数有相同的阶次。2）形函数 Ni 在 i 节点处的值等于 1，而在其他节点上的值为 0。3）单元内任一点的形函数之和恒等于 1。4）形函数的值在 0-1 间变化。11. 单元刚度矩阵的性质及元素的物理意义单元刚度矩阵的性质特点：（1）对称性（ 2）奇异性， |K|=0（3）主对角线元素恒为正值（ 4） 奇偶行元素之和分别为零（各行或各列元素之和为零）物理意义：单元刚阵 K 的物理意义是单元受节点力作用后抗变形的能力。 其中分块矩阵 Kij的物理意义为：当在 j 节点处产生单位位移而 其他节点位移为零时，在 i 节点上需要作用力的大小。其中元素 Kij 表示在第 j 号自由度上产生单位位移时，其

9、他自由 度位移为零时，在 i 号自由度上所需要施加的力的大小。单元刚度矩阵的元素表示该单元的各节点沿坐标方向发生单位 位移时引起的节点力，它决定于该单元的形状、大小、方位和弹性常 数，而与单元的位置无关，即不随单元或坐标轴的平行移动而改变。12. 边界条件处理（载荷等效移置 集中力 /均布力 /线性分布力 边界 位移约束处理 固定 /指定位移等）载荷等效移置连续弹性体离散为单元组合体时， 为简化受力情况， 需把弹性体 承受的任意分布的载荷都向节点移置 （分解 ），而成为节点载荷。 载荷移置的原则：能量等效（或静力等效原则） ，即单元的实际 载荷与移置后的节点载荷在相应的虚位移上所做的虚功相等。

10、集中力，移置到两端节点，使得 F1 L1 =F2 L 2，F1 +F2=F 均布力，移置到两端节点， F1 =F2=0.5qL 线性分布力， F1=1/3 0.5qL ， F2=2/3 0.5qL 边界位移约束 一绝对位移约束 刚性支座（活动铰支，固定铰支，固接支座） 固定位移 弹性支座（线弹性制作，非线性支座） 可变位移强迫约束 指定位移 用载荷等效，装配应力 +整体应力 二相对位移约束 （如两接触面）1. 约束等式2. 耦合约束（连接重合节点，模拟滑动边界连接，施加周期对称 边界条件）常见的位移约束问题处理 约束不足的处理（1）利用对称性引进约束（取 1/n 后，在对称面上施加位移约束）（

11、2）转换载荷为位移约束（受平衡载荷作用，将一部分载荷用位移约束代替）（3）人为增加约束（约束点应尽量远离重要部位，约束点变形要 相对小）其他，杆离散为多个杆单元时，须在连接节点增加约束，只允许 产生轴向位移。轴对称结构，施加轴向约束。过约束的处理有时需要施加过约束，有时需要释放过约束。引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵 K 的奇异性。13. 总体刚度矩阵组装原则及总刚阵特点总体刚度矩阵组装原则：1. 在整体离散结构变形后，应保证各单元在节点处仍然协调地相 互连接，即在该节点处所有单元在该节点上有相同位移。2. 整体离散结构各节点应满足平衡条件。即环绕每个节点的所有 单元作用其上的节点

12、力之和应等于作用于该节点上的节点载荷Ri总刚度矩阵特点： 除了具有单元刚阵的特点外，还有1. 稀疏性，是指总刚矩阵的绝大多数元素都是零，非零子块只占 一小部分。2. 带状性，是指总刚矩阵中非零子块集中在主对角线两侧，呈带 状分布。附，半带宽 B=（相关节点号最大差值 +1）* 节点自由度数）二 建模与结果分析1. 影响有限元分析精度和成本的因素影响有限元解的误差： 1）离散误差 2）位移函数误差 分析精度： A 、单元阶次 B、单元数量 C、划分形状规则的单元 D、建立与实际相符的边界条件 E、减小模型规模 F、避免出现 “病 态”方程组，当总刚矩阵元素中各行或各列的值相差较大时，则总刚 近似

13、奇异。2. 有限元模型的基本构成（节点数据、单元数据、边界条件等） 节点数据 ：节点编号、坐标值、坐标参考系代码、位移参考系代 码、节点数量、单元编号单元数据 ：单元节点、编号单元、材料特性码、单元物理特性值 码、单元截面特性、相关几何数据边界条件数据： 位移约束数据、载荷条件数据、热边界条件数据、 其他边界条件数据归纳起来，网格划分生成节点和单元的过程主要包括定义单元属 性、定义网格生成控制和生成网格三个步骤。3. 有限元建模的常用方法理解及应用（如细节处理、分步计算、局部计算、子结构法、对称性简化等）细节处理也称为小特征处理， 即删除或抑制对结构力学性能影响 不大的细小结构。分步计算， 如

14、果结构的局部存在相对尺寸非常小的细节， 且又不 能进行细节处理，可采用分步计算来控制有限元模型的规模。局部处理就是从所建立的力学模型中抽取一部分出来进行分析， 该部分通常是研究者最关心的的危险区域。子结构法是先将大型结构分解为若干个结构区域， 每个区域作为 一个子结构。 子结构被进一步细分为单元， 并人为地将子结构上的节 点划分为边界节点和内部节点两类 .对称性简化，对称性分为反射对称和周期对称（ 1）反射对称，受对称载荷作用则对称面上的位移条件为垂直于对称面的移动位移分量为零。 绕平行于对称面的两相 互垂直的轴的转动位移分量均为零。（ 2）反射对称，受反对称载荷作用则对称面上的位移条件为平行

15、于对称面的移动位移分量为零； 绕方向矢量垂直于对称 面的轴的转动位移分量为零。（3）对称结构受任意载荷作用（迭加原理）（ 4）周期对称的位移条件，周期对称边界上的对应点有相同的 位移状态4. 边界约束条件的处理（见前）。5. 单元类型选择的一般原则选择原则：同一问题所选单元应使计算精度高、收敛速度快、计 算量小。1、杆系结构： a、铰接连接时，选杆单元； b、刚性连接时，选 刚架单元。2、平面结构： a、外载平行于平面内，选平面单元 b、外载不在 平面内，选弯曲板壳单元3、空间结构： a、结构和受力具有轴对称性，选轴对称单元； b、 一般实体，选三维实体单元。三其他1. 有限单元法首先求出的解

16、是位移，单元应力、应变可由它求 得。2.模型简化力学模型简化就是借助对称原理、圣维南原理、叠加原理、等效 准则等，在保证考察问题的精度不受影响或具有足够近似精度的要求 下，对所研究问题的力学模型进行简化， 从而达到减小计算时间和存 储空间的目的。常用方法有降维处理、等效变换、对称性利用、组合 分析、场耦合分析。3. 对称性利用注意事项（1）不仅结构的形状、 载荷要对称， 还要求位移约束也对称 （2） 若对称面上作用有载荷，则应取载荷的 1/2 进行分析（ 3）若对称面 上存在板或梁，这时板或梁单元的刚度应取整个单元刚度的 1/2（ 4） 用对称面剖分结构时， 应尽量使剖分面不在结构的最大应力位

17、置。 其 他略。4. 整体刚度方程中的约束条件引入引入约束的方法常有： 1）降阶法（打乱 KR 的储存顺序） 2） 对角元素置 1 法 3）对角元素乘大数法四 ANSYS 操作部分1 ANSYS 有两种模式：一种是 图形交互模式 ，另一个是 命令流模 式。2 ANSYS 软件的基本分析步骤ANSYS 软件基本分析步骤大致可分为三个模块：前处理、加载 求解和后处理前处理 （1）建立有限元模型所需输入的资料。如节点、坐标资料、元 素内节点排列次序。（ 2）材料属性 （3）模型的单元划分求解处理：（ 1）负载条件 （2）边界条件及求解后处理： POST1 用于静态结构分析、屈曲分析及模态分析，将 解

18、题部分所得的解答如变形、应力、反力等资料，通过图形接口以及 各种不同表示方式把等位移图、等应力图等显示出来。 POST26 仅用 于动态结构分析，用于与时间相关的时域处理。3 Ansys前处理问题启动ANSYS进入 ANSYS交互界面环境，最初的默认激活坐标系 （当前坐标系）总是 总体直角坐标系 。ANSYS 中实体建模的方式有：（ 1）简单模型，在 ANSYS 中创建几何模型，分自底向上和自 顶向下的建模方式；（ 2）对于复杂模型，导入在其他 CAD 系统创建的模型；（3）直接生成。ANSYS 两种创建有限元模型的方法：（1） 直接法：创建节点，由节点创建单元，适用于简单的结构 系统杆梁。（ 2） 间接法：先几何模型，再网格划分 ，适用于几何外形结构 复杂的系统。布尔运算 就是对生成的实体模型进行诸如交、 并、减等的逻辑运 算，给用户快速生成复杂实体模型提供了极大的方便。 单元与文件数据类型：在 ANSYS 的单元库中， SOLID45 单元属于 结构实体单元 ， beam188是 3D 梁单 。利用 ANSYS进行结构分析时， 载荷步文件为 Jobname.sn，结果 文件为 jobname.rst 。约束：对称与反对称约束对称约束限制对称面内所有节点的 两个方向旋转自由