微专题圆锥曲线中的最值问题解析版

1、专 题 30 圆锥曲线中的最值问题【考情分析】与圆锥曲线有关的最值和围问题，因其考查的知识容量大、分析能力要求高、区分度高而成为 高考命题者青睐的一个热点。高考试题结构平稳，题量均匀每份试卷解析几何基本上是 1 道小题和 1道大题，平均分值 19 分，实际情况与理论权重基本吻合； 涉及知识点广 虽然解析几何的题量不多， 分值仅占总分的 13%， 但涉及到的知识点分布较广，覆盖面较大；注重与其他容的交汇。圆锥曲线中的最值问题，围问题 都是考查学生综合能力的载体俗话说：他山之石可以攻玉在研究这几年外省新课程卷解析几何 试题时， 就很有启发性 比如 2010 年卷理科 19 题，该题入题口宽， 既可

2、用传统的联立直线与曲线， 从方程的角度解决，也可利用点在曲线上的本质，用整体运算、对称运算的方法求解再比如 2011 年卷理科 23 题，主要涉及到中学最常见的几个轨迹，通过定义点到线段的距离这一新概念设置了 三个问题，特别是第三问，呈现给学生三个选择，学生可根据自已的实际情况选择答题，当然不同 层次的问题，评分也不一样，体现让不同的学生在数学上得到不同的发展【备考策略】与圆锥曲线有关的最值和围问题的讨论常用以下方法解决：（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线等）列出所讨论的参数适合的不等 式（组），通过解不等式组得出参数的变化围；

3、（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个 函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化围。（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； 【激活思维】221已知双曲线 x2 y2 1（ a0, b0） 的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 60的直线与双曲 a2 b2线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值围是 2, ）222 P 是双曲线 x y 1的右支上一点， M、N分别是圆 （x5）2y24 和（x5）2y21 上9 16的点，则 |PM|PN| 的最大值为 7243抛物线 y=-x 2 上的点到直线

4、4x+3y-8=0 距离的最小值是 434已知抛物线 y2=4x, 过点 P（4,0） 的直线与抛物 线相交于 A（x1,y 1）,B（x 2,y 2） 两点，则 y12+y22 的最小值是 32 .5已知点 M（-2 ， 0） ， N（2,0） ，动点 P满足条件 |PM | |PN | 2 2. 记动点 P的轨迹为 W.（）求 W的方程；uuur uuur（）若 A，B是 W上的不同两点， O是坐标原点，求 OA OB的最小值 .解：（）依题意，点 P的轨迹是以 M， N为焦点的双曲线的右支，22所求方程为： x y 1 （ x 0）22（）当直线 AB的斜率不存在时，设直线 AB的方程为

5、 x x0，2 2 uuur uuur此时 A（ x0， x02 ）， B（x0， x02 ）， OA OB 2当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 ykx b，22代入双曲线方程 x y 1中，得： (1 k2) x2 2kbx b2 2 0 22依题意可知方程 1 有两个不相等的正数根，设 A( x1, y1), B(x2, y2)，则2 2 2 24k2b2 4(1 k2 )?( b2 2) 0x1x22kb1 k2解得| k| 1，x1x2uuur 又 OAb2 2uukur2 1OB x1x2 y1y2 x1x2kx1 b)kx2b)2( 1 k2)x1x2 kb( x1x

6、2)uuur uuur综上可知 OA OB 的最小值为 2 b22k22k2124典型示例】求抛物线 y2x2 上的点到直线 4x 3y 80 距离的最小值 ?2 分析一：设抛物线上任一点坐标为 P( x0,- x20) ，204，3，d( x0 )= | 4x0 3x02 8|=3(x0 3)24 当 x0 = 时， d( x0 ) 取得最大值 ,332由 y x4x 3y C分析二：设抛物线上点 P( x0 ,- x02) 到直线 4x+3y-8=0 距离最小，则过 P 且与抛物线相切的直线与 4x+3y-8=0 平行，4,2,24故y( x0 )=-2x0 =-x0 =,P( ,-),3

7、33924|43()8|此时d= 由点到直线的距离公式得 P 到直线的距离9=4，53分析三：设直线方程为 4x+3y+C=0则当 l 与抛物线相切时 l 与 4x+3y-8=0 间的距离为所求最小，24得 4x-3x 2 +C=0， =16+12C=0, c=- , 此时03|8d=分类解析】x2 y2例 1: 已知椭圆1 ，A（4，0），B（2，2）是椭圆的两点， P是椭圆上任一点，求： （1）求25 95|PA| | PB|的最小值；（2）求 |PA| | PB |的最小值和最大值4分析：（1）A 为椭圆的右焦点。作 PQ右准线于点 Q，则由椭圆的第二定义 |PA|4 e，|PQ|55

8、|PA| |PB| | PQ|4|PB|，显然点 P 应是过 B向右准线作垂线与椭圆的交点，最小值为17。4（2）由椭圆的第一定义，设C为椭圆的左焦点，则|PA| 2a |PC |PA|PB| |PA| 2a |PC | 10(|PB| |PC |)，根据三角形中两边之差小于第三边，当 P 运动到与 B、 C成一条直线时，便可取得最大和最小值。 当P到P位置时， | PB | |PC| |BC|，|PA| | PB |有最大值，最大值为 10 |BC| 10 2 10；当 P 到 P 位 置 时 ， |PB| |PC| |BC| ， |PA| |PB| 有 最 小 值 ， 最 小 值 为10

9、|BC | 10 2 10 .（数形结合思想、椭圆定义、最值问题的结合）变式 :2点 A（ 3， 2）为定点，点 F 是抛物线 y2=4x 的焦点，点 P 在抛物线 y2=4x 上移动，若 |PA|+|PF| 取得最小值，求点 P 的坐标。解：抛物线 y2=4x 的准线方程为 x=-1，设 P到准线的距离为 d，则|PA|+|PF| =| PA|+ d。要使|PA|+|PF| 取得最小值，由图 3 可知过 A点 的直线与准线垂直时， |PA|+|PF| 取得最小值，把 y=2 代入 y2=4x，得 P（1， 2）。例 2: 已知椭圆的中心在 O, 右焦点为 F，右准线为 L，若在 L 上存在点

10、 M，使线段 OM的垂直平分线 经过点 F，求椭圆的离心率 e 的取值围 ?解：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化，由于线段OM的垂直平分线经过点 F，则 MF OF c, 利用平面几何折线段大于或等于直线段 （中心到准线之间的距2 a 离），则有 2 c c椭圆的离心率 e 的取值围椭圆的离心率 e 的取值围为 2 2= (1a 2) y 22y + 1 + a2 ,1 2 ,12 x 变式 1: 已知双曲线 2 a22 by2 1,(a b0,b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2，点 P在双曲线的右支上，e的最大值 ?且| PF1|=4| PF2|, 求此双曲

11、线的离心率5 解：双曲线的离心率 e的最大值为32变式 2: 已知椭圆方程为 x2 a22 y b21，( 0 ab )的左、右焦点分别为 F1、 F2，点 P在为椭圆e的最小值 ?2 x29 y2 1上移动 , 试求|PQ|的最大值。9O1时| PQ|最大，因此要求 | PQ|的最大值， 上的任意一点，且 | PF1|=4| PF2|, 求此椭圆的离心率3 解：椭圆的离心率 e的最小值为5例 3: 已知 P点在圆 x2+( y-2) 2=1上移动， Q点在椭圆解：故先让 Q点在椭圆上固定，显然当 PQ通过圆心2 2 2只要求| O1Q|的最大值 .设 Q( x， y) ，则| O1Q| 2=

12、 x 2+( y-4) 2 因 Q在椭圆上 , 则 x2=9(1- y2)8 y 12 1 因为 Q在椭圆上移动，所以 - 1 y 1，故当 y 1 时，2将代入得 | O1Q| 2= 9(1- y2)+( y-4) 227O1Q max 3 3max此时 PQ【点晴】1. 与圆有关的最值问题往往与圆心有关；2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数 等，值得注意的是函数自变量取值围的考察不能被忽视。2变式 1: 设 P是椭圆 求| PQ | 的最大值x22 + y2 = a1 ( a 1 )短轴的一个端点, Q为椭圆上的一个动点解法 1:依题意可设P

13、 (0, 1 ),Q ( x, y), 则| PQ | =x2 (y 1)2 .又因为Q在椭圆上 ,所以 x2 = a2 (12y2) .|PQ |2= a2 (1y2) +y2 2y + 1= (1a2) (y1 1a2 )21a2+ 1 + a2.因为 | y | 1, a 1,若 a 2 , 则 1 2 1,1a当y =1 1a2 时, |PQ |取最大值a2 a2 1a2若 1 a 1. 以下的讨论与解法 uuur uuur 变式 2: 已知 OFQ的面积为 2 6 ， OF FQ m （1）设 6 m 4 6 ，求 OFQ正切值的取值围；1 相同 .2）设以 O为中心， F 为焦点的

14、双曲线经过点 Q（如图），取得最小值时，求此双曲线的方程。 解析：（ 1） 设 OFQ = uuur uuur |OF | | FQ | cos（ 1 uuur|OF |2Q6（2）2x2auuur |FQ |sin46S)m26tan46m设所求的双曲线方程为 2yb2tanuuuruuru 当 |OQ |OFQuuur 又 OFuuur1(a 0,b 0), Q(x1, y1 ),则FQ (x11 uuur1 |OF |2 uuur FQ| y1 | 2 6 ， y146m，uuur uuur OF FQ (c,0)c,y1)(x1 c, y1) (x1 c) c( 6 1c24uuur

15、2|OQ| x12uuru当且仅当 c=4时， | OQ |最小，此时 Q的坐标是 ( 6, 6) 或( 6,x146c,2 y196 3c2c2 8 126 6 2 2 2a2b21 a24 ，所求方程为xy1.22 b212412a2 b2 16【精要归纳】圆锥曲线的最值问题，常用以下方法解决：（1）当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；（2）围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？例2 中可以利用方程和垂直平分线性质构建。利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化，回味本题的探究过程， 认识解析几何中“形助数”简化运算的途径。（3）. 函数

16、法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次 函数等，值得注意的是函数自变量取值围的考察不能被忽视 。x221已知 P 是椭圆y24（4）利用代数基本不等式，结合参数方程，利用三角函数的有界性。 【课后训练】1在第一象限的点， A（ 2，0），B（0，1），O为原点，求四边形 OAPB的面积的最大值2给定点 A（-2,2） ，已知最小值时，则 B点的坐标为22B是椭圆 x y 1上的动点， F 是右焦点，当 AB25 1653 。 （ ,2）2BF 取得（12，1）3抛物线 y2=2x 上到直线 x-y +3=0 距离最短的点的坐标为2 y1的两个顶点，9x24如图

17、，已知 A、 B是椭圆16C、 D是椭圆上两点，且分别在 AB两侧，则四边形 ABCD 面积的最大值是 12 25如图所示，设点F1，22 xyF2 是1的两个焦点，过 F2 的直线与椭圆相交于 A、2 3 2 2B两点，求F1AB 的面积的最大值，并求出此时直线的方程。解：SVF1ABSVF1F2A SVF1F2B， 设A(x1,y1) ，B(x2,y2)，则1SVF1AB2 |F1F2 | |y1y2 | y1y2 | (Q c 1)设直 线 AB的方程 为 x ky1代入椭圆方程得224k4(2k23)y2 4ky 40y1y22 , y1y22即| y1y2| 4 3(k2 1)22k

18、2 3432 k2 1 k12 1令 tk21 1， SVF1AB4 312t 1 t， 2tt 1 ）利用均值不等式不能区取“”利用 f (t)2t 1tt 1 ）的单调性易得在1时取最小值SVF1AB 在 t1即 k0 时取最大值为 4 3 ，此时直线 AB 的方程为 x 16 P 、Q、M、2N四点都在椭圆 x 21上， F为椭圆在 y 轴正半轴上的焦点。 已知 PF 与 FQ共线， MF 与 FN 共线，且 PF MF 0 。求四边形 PMQN的面积的最小值和最大值。 分析：显然，我们只要把面积表示为一个变量的函数，然后求函数的最值即可。 解：如图，由条件知 MN和 PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点 F（ 0，1），且 PQMN，直线 PQ、 MN中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为 k，又 PQ过点 F（0， 1），故 PQ方程为 y kx 1。代入椭圆方程得 2 k2 x2 2kx 1 0设 P、 Q两点的坐标分别为 x1，y