微分几何试题库

1、微分几何一、判断题1 、两个向量函数之和的极限等于极限的和（ ）2、二阶微分方程 A（ u, v） du2 2B（u,v）dudv B（u,v）dv2 0总表示曲面上两族曲 线 . （）3、若 r（t）和 s（t）均在a,b连续，则他们的和也在该区间连续（ ）4、向量函数 s（t）具有固定长的充要条件是对于 t 的每一个值， s（t） 的微商与 s（t）平行（ ）5、等距变换一定是保角变换 .（）6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一 定是最短的 .（）7、常向量的微商不等于零（ ）8、螺旋线 x=cost,y=sint,z=t 在点（ 1，0， 0）的切线为 X=Y=Z （ ）9、对于曲

2、线 s=s（t）上一点（ t=t 0）,若其微商是零，则这一点为曲线的正常点 （）10、曲线上的正常点的切向量是存在的（ ）11、曲线的法面垂直于过切点的切线（ ）12、单位切向量的模是 1（ ）13、每一个保角变换一定是等距变换 （ ）14、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定 .（）15、坐标曲线网是正交网的充要条件是 F 0，这里 F是第一基本量 .（）、 填空题16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线17、螺旋线 x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（ 1，0， 0）的法平面是 _ y+z=0,b18. 设给出 c27. 曲线的基本三棱形由三个基本向量和密切平面、法平面、从切

3、平面 28.杜邦指标线的方程为 Lx2 2Mxy Ny 2 129、已知曲面 r ucosv,usinv,6v ，u 0，0 v ，则它的第一基本形式类曲线:r r(t),a t b.则其弧长可表示为 ar (t)dt19、已知r cos3 x,sin 3 x,cos 2x ，0 x ，则1 3cos 3n,is , 4x25sin x,cos x,0 ，14cos x, 4sin x, 3 ，568，25sin 2x 25sin 2xd u2 ( u2 3 6 ) d 2v，第二基本形式为212 dudv ，高斯曲率u2 36K 2 36 2(u2 36)2，平均曲率 H 0 ，点 (1,0

4、,0)处沿方向 du:dv 2的法曲20、曲面的在曲线， 如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向， 则称为渐进 曲线。21、旋转面 r= (t )cos , (t )sin , (t ) ,他的坐标网是否为正交的 ?是(填“是”或“不是”).22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的 法线 线.23. 任何两个向量 p,q的数量积 p q p q cos( pq)24、保持曲面上任意曲线的长度不便的变称为 等距(保长 )变换 _.25、圆柱螺线的曲率和挠率都是 常数 数(填“常数”或“非常数” ).26. 若曲线(c)用自然参数表示 r r(t),则曲线(c)在 P(s0 )点的密切平面的方

5、程是(R r(s0),r(s0),r(s0) 06637,37 。率15147 37 ，点(1,0,0) 处的两个主曲率分别为30、（Cohn-Voeeen定理）两个卵形面之间如果存在一个保长映射，则这个映 射一定是 R3 中的合同或对称。31、球面上正规闭曲线的全挠率等于零。32. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络三、综合题33求曲线 x tsint,y tcost,z tet 在原点的密切平面，法平面，切线方程。 解： r t sin t, t cost, tet ,r (t) sin t t cost, cost tsint,et tet,r (t) 2cos

6、t tsint, 2sint tcost,2et tet在原点处 t 0r(0) 0,0,0, r (0) 0,1,1, r (0) 2,0,2. 在原点处切平面的方程为 :(R r(0),r (0),r (0) 0即 X Y Z 0 法平面的方程为 :即 Y Z 0 切线方程为XY(R r(0) r (0) 0R r(0) r (0)Z01134、求曲面 z x3 y3 的渐近曲线。解 设 r u,v,u3 v3则 ru 1,0,3u2 ，rv 0,1, 3v2，n |rru rrv|4 1 4 3u2,3v2,1|ru rv |9u4 9v4 1ruu 0,0,6 u ， ruv 0 ，

7、rvv 0,0, 6v6v9u4 9v4 16uL n ruu4 4 ， M n ruv 0 ，9u4 9v4 1因渐近曲线的微分方程为Ldu 2 2Mdu dv Ndv2 0即 udu2 vdv2 或 udu vdv 03 3 3 3渐近曲线为 u23 v32 C1 或 ( u)23 v32 C235.求双曲抛物面 r a(u v),b(u v),2uv 的第一基本形式 解:r a(u v),b(u v),2uv,ru a,b,2v,rv a, b,2u.Erurua2b24v2 ,Frurva2b24uv,Grvrva2b24u2.2222222222I(a2b24v2)du 22(a2b

8、24uv) dudv(a2b24u2)dv236.计算球面 r (Rcos cos ,Rcos sin ,Rsin ) 的第二基本形式 解:r Rcos cos ,Rcos sin ,Rsin ),r Rcos sin ,Rcos cos ,0,r Rsin cos , Rsin sin ,Rcos ,由此得到E r r R cos , F r r 0,EG F2R2c o se1 Rc o ssi n Rsi n c ose2Rc o sc o sRs in si ne30Rc o s=cos cos ,cos sin ,sin ,又由于r Rcos cos , Rcos sin ,0,r

9、Rsin sin , Rsin cos ,0,r Rcos cos , Rcos sin , Rsin ,所以L r n R cos2 ( ), M r n 0, N r n R,因而得到( R cos2 d 2 Rd 2)37.如果曲面的第一基本形式 ds2du2 dv2(u2 v2 c)2计算第二类克力斯托费尔符号.解:因为E (u2 v2 c)2 , (u v c)F 0,2 2 2(u2 v2 c)2所以Ev222(u2 v2 c) 2u(u2 v2 c)4222(u2 v2 c) 2v(u2 v2 c) 44u(u2 v2 c)34v(u2 v2c)3GuGv所以111Eu2u2E2

10、2u2 v2 c112Ev2v2E22u2 v2 c212Gu2u2Eu2v2 cEv2v ,2G2 2 , u2 v2 cGu2u ,2G22u2 v2 c2Gv2v222G22 uvc, 1222138、已知曲面的第一基本形式为 I v(du2 dv2) ，v 0 ，求坐标曲线的测地曲 率。解 E G v ，F 0，Gu 0， Ev 1u-线的测地曲率gEv1gu2E G 2v vv-线的测地曲率gvGu0gv 2G E39、问曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是曲面上的 曲线 是测地线吗？为什么？答：曲面上曲线 的切向量沿曲线 本身平行移动的充要条件是 曲线 是测地线 .

11、du 事实上，设 :ui ui(s) (i 1,2) ，则 的切向量为r1 duds记 a1 du ， a2 du ， Da1 da11ijaiduj ， Da2 da2dsds i, j iji,则曲线 的切向量 沿 平行移动 D0 Da1 0,Da2 0Da 0 (i 1,2) dsd2ukds2ikji,jdui du jds ds(k曲面上的du2r2dsi2j aiduj1,2)为测地线40. 求证在正螺面上有一族渐近线是直线 ,另一族是螺旋线 . 解:因为r u cosv,u sin v, bv,2 2 bE 1,F 0,G u2 b2,L 0,M ,N 0.u2 b2由于 L N

12、 0, 所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网 ,则一族渐近线是r u0cosv,u0 sin v , bv,这是螺旋线 ,另一族渐近线是r u cosv 0 , u sin v0 , bv0 , 这是直线 .41、设空间两条曲线 和C 的曲率处处不为零，若曲线 和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行， 求证曲线 和 C 在对应点的切线夹固定 角.证 设 :r r(s) ， :r r (s) ，则由 / 知 ，从而 0，0， d() ds0ds dscos ,这表明曲线 和 C 在对应点的切线夹固定角42、证明 r(t) 具有固定方向的充要条件是r(t) r (t) 0 证明:必要性

13、设 r(t) (t)e(e为常单位向量 ),则r (t) (t)e,所以 r(t) r (t) 0 充分性: r(t) (t)e(t) ( e(t)为单位向量函数 ),则r (t) (t)e(t) (t)e(t),r(t) r (t) 2(t)e(t) e(t).因为 r(t) 0,于是 (t) 0,当 r(t) r (t) 0,从而有e(t) e(t) 0,即e(t) / e (t) ,因为e(t) e(t)(根据 e(t) 1),因此e (t) 0即e(t)为常向量,所以r(t) (t)e(t)有固定方向43、给出曲面上一条曲率线 ，设 上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角 .

14、 求证 是一条平面曲线 .证 设 :r r (u,v)， :u u(s),v v(s)，其中 s是 的自然参数，记r,n ，则 r n cos ，两边求导，得 n由 为曲率线知 dn/dr ，即 dn / dr，因此 n r dnnr dr 0ds ds dsn ds若 0 ，则 为平面曲线；若n 0，则因 为曲面 上的一条曲率线， 故dn ndr . 而n n n 0，所以 dn 0，即 n为常向量. 于是 为平面曲线 .44、求圆柱螺线 R(t) a cost , a sin t, bt 在t处的切线方程。3r(t) a cost , a sin t , bt, r (t) asint,a

15、cost,b,3br 3 2, 2 a, 3 t 时，有 r ( ) 3 a,a,b.3 3 2 2所以切线的方程为P r( 3)r(3)1 3 3pae1ae2 ()be32 2 3如果用坐标表示，则得切线方程为3aZb3Xa22x a 2Y 3a3 aaZb345、求双曲螺线 r a cosh t , a sinh t , at 从 t=0 起计算的弧长。 r acosh t, a sinh t,at,解：r a sinht,a cosht , a从 t=0 起计算的弧长为0|r (t)|dt 0 x 2 y 2 z2dtttta2 sinh2 t a 22cosh t adtt=a 2

16、(sinh 2 t 1) a2 cosh2 tdtcosh2 t a2 cosh2 tdt2a sinh t.46、求球面 r Rcos cos , Rcos sin ,Rsin 的第一基本形式。r R cos cos ,Rcos sin ,Rsin ,可得出 解： 由r Rcos sin , Rcos cos ,0,r Rsin cos , Rsin sin , Rcos,由此得到曲面的第一类基本量ErrR2 co2s,Frr0,2GrrR因而I R 2 c o 2s d 2 R 2 d47、曲面上一点(非脐点)的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大 值和最小值。证明 设 k1 k2(如

17、果 K1 K 2 ,可以交换坐标 u和v)，由欧拉公式知kn k1 cos2 k2(1 cos2 ) k2 (k1 k2) cos2 ,于是k2 kn (k 2 k1) c o s 0因此k2 kn同样又可以得到kn k1 (k2 k1)s i n20,由此k 2 knk1 k n k2这就是说，主曲率 k2,k1是kn 法曲率的最大值和最小值。48、曲面的第一基本形式为 I E(u)du 2 G(u)dv 2。 求证：( 1)u-曲线是测地线；(2)v-曲线是测地线，当且仅当 Gu (u ) 0证明： u 曲线的方程为 dv 0.由sin0,dvds得到si n 0 所以0代入刘维尔公式得k

18、gd ds1 ln E2 G vcos1 ln G2 E usin0,因此得到 u 曲线是测地线 。(2)若u 曲线为测地线，由2得 dds 0,则有0 0 0 1 ln G s i1 E uGu 049、R 3中全体合同变换构成一个群，称为空间合同变换群。证明： 因为（1）空间两个合同变换的组合还是一个空间合同变换；（2）空间三个合同变换的组合满足合里律；（3）恒同变换 I :xi xi（i 1,2,3） 与空 间任何合同变换 T 的组合 I T T I T,因此 I 对于空间合同变换的组合来说是单位元素；（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变 换。50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。证明： 沿曲线（ C）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网 （u1,u2 1 1 2 1 2 2 1 w1(u v u v u v u v ) 0 ds,则 ）1 2 1 2u u e1 u e2, v v e1 v e2,211 1du 1 w2dvw2dsdu2udsu 0, v2 0,dsdsds2221 w1dv1 w10, v 0dsdsds所以dd 1 1 2 2(u v)(u v u v )dsds1 1 2 2du 1 1 dv du 2 2 dvv u v uds ds ds ds51、设曲线 (C):r r t 是具有周期