2000考研数一真题及解析

1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )t J2x -x2dx =曲面X2 +2y2 +3Z2 =21在点(1, -2, 2 )的法线方程为微分方程xy+3y =0的通解为设两个相互独立的事件 A和B都不发生的概率为19 , A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则 P(A)=二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分, 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内在每小题给出的四个选项中，只有一项.)(1)设f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f (x)g(x)- f(x)g(x) cO,则

2、当acxcb时，有()(A) f(x)g(b)Af(b)g(x)(B) f (x)g(a) f (a)g(x)(C) f(x)g(x)Af(b)g(b)(D) f (x)g(x) A f (a)g(a)设S:x2 +y2 +z2 =a2(z0), S为S在第一卦限中的部分，则有(A) JJxdS = 4 JJxdSSS(C) JJzdS=4 JJxdSSq(B) JJ yds = 4 JJxdSSS1(D) JJ xyzdS = 4 JJ xyzdSS1c设级数S Un收敛，则必收敛的级数为nrnZ2UnnrnOC(C)S (U22U2n).nrn3C(D)S (UnUn41).nrn设n维列

3、向量组叫,(men)线性无关，则n维列向量组 斥 ,养 线性无关的充分23 a+2X2=3L1 a一2Lx3.011 ixii m2无解，则已知方程组精品文档7必要条件为(A)向量组a 1,可由向量组 叫，,Pm线性表示-（B）向量组卩1,Pm可由向量组1,Otm线性表示.（C）向量组a 1,ttm与向量组P1,Pm等价.(D)矩阵A=(a1,Pm戸矩阵B=(p1,Pm )等价.设二维随机变量（X ,Y ）服从二维正态分布，则随机变量匕=X +丫与口 = X-Y不相关的充分必要条件为(A) E(X)=E( Y).()(B) E(X2)-E(X)f =E(Y2)-E(Y)2.2 2(C) E(X

4、 ) =E(Y ).（D）e（x2）+ e（x）2 =e（y2）+ e（y）2.三、（本题满分5分）/ 1 、2 + ex + sin x碍丿四、（本题满分6分）求lim0设 z = fLy,+g I y丿ly丿,其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数,-2 十左z 求cxdy五、（本题满分6分）计算曲线积分I-xdypydx,其中l是以点 亿。）为中心，r为半径的圆周t 4x+ y(R 1)，取逆时针方向.（本题满分7分） 设对于半空间xaO内任意的光滑有向封闭曲面S,都有xf （x）dydz-xyf （x）dzdx-e2Xzdxdy= 0,4八、其中函数f（x）在（0,+乂）内具有连

5、续的一阶导数，且lm+f（x）=1,=求f（x）.七、（本题满分6分）求幕级数1的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性 n3n+（-2）n n八、（本题满分7分）设有一半径为R的球体，F0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到F0距离的平方成正比（比例常数kAO）,求球体的重心位置.九、（本题满分6分）设函数f（X）在O,兀上连续，且J：f （x）dx = OJ；f （x）cos xdx =0,试证：在（0,兀）内至少存在两个不同的点险，巴2，使f （险）=f （笃）=0.十、（本题满分6分）1设矩阵A的伴随矩阵,且ABA=BAd+3E,其中E为4阶单L03位矩阵，求矩阵B .1

6、然后将-熟练工支援其6卜一、（本题满分8分）某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核2Xn， yn记成向有2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为55求釘S的关系式并写成矩阵形式： 仇+A卜1 十丿丿验证口 14h1 11丿f1、I 是A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值;1丿X1凶丿当1，求I十二、（本题满分8分）某流水生产线上每个产品不合格的概率为p（0 P eX V日求参数日的最大似然估十三、（本题满分8分）设某种元件的使用寿命X的概率密度为f（X；日）=（

7、i1,其中0 0为未知参数，又设x1, X2,xi是X的一组样本观测值,2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析【答案】【详解】一、填空题 兀4解法1：用换元积分法：设X1 =sint，当X = 0时，sint = 1，所以下限取-t；当x = 12时,Sint =0，所以上限取0.X A=sint所以 I =0J JIcost costdt由于在区间-,0，函数cost非负，则20 2-2=Jcos tdt =cos解法2:由于曲线y = J2x-x2 =j1-(x-1)2 是以点(1,0)为圆心，以 1为半径的上半圆周，它与直线1X =1和y = 0所围图形的面积为圆面积的-，故

8、答案是4X-1【答案】1y+2 Z-2-46=J； J2x-x2dx = J； J1 -(X1)2dx【详解】曲面方程F(x,y,z) =0在点(X0, y。，zJ的法矢量为:n =Fx(X0, y。,Z0), Fy。, y。, zO, Fz(X0,y。，zJ则有令 F(X, y,z) =x2 +2y2 +3z2 -21,Fx(1, -2, 2) = 2x|f,-2, 2)=2,Fy(1, -2, 2 ) = 4y|(1,-2, 2)8,Fz(1, -2, 2 ) = 6z|(1, -2, 212.所以曲面在点(1,-2,2)处的法线方程为:X-1 y+2诗.即-4(3)【答案】+C2X【分析

9、】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于y = f(x,y)型的微分方程.【详解】令P = y，有y=亚.原方程化为:dXX亚+3p = 0，二亚+3卫=0dXdX X分离变量:dp , dxP x两端积分:dp dx=-3= In p In X +G P x从而因BC2 -e 0是大于零的任意常数，上式可写成记 C3 = C2， P =C3，便得方程的通解p =C3X，x即鴛心7对上式再积分，得：3dy = C3X dx，其中C3是任意常数3C3y = fC3x dx =-x2_2+ C4_C5一 2x+ C4,仏5所以原方程的通解为：y =2 中 C2x1211211123a+2+:3T0-1

10、a1L1a-2:0.0a2-3-1”211【答案】-1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有10-1L0(a-3)(a+1)a -3系数矩阵的秩为2，阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解当a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2,由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增 广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.当a = -1时而增广矩阵的秩为3,根据方程组解的判定，其系数矩【答案】2/3(由A,B独立的定义：P(AB) = P(A)P(B)【详解】由题设，有 P(AB)，P( aB) = P(Ab)9因为A和B相互独立，所以 A与B，A与B也相互独立.于是由p(AB= PTab 有

11、p(a)p(b)= pCA)p (B)精品文档9即有P(A) & -P(B)= -P(A)P(B),可得P(A) = P(B) , P(A) = P(B)从而p(AB)= p(A)p( B) = p(A)了 = 1- p(A)2 =-,9解得P(A)23二、选择题(1)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知f (x) f (x)g(x) - f (x)g (X)c 0,想到设函数为相除的形式一g(x)【详解】设 F(xHf，则(F(xn-f(x)g(x)rf(x)g(x0, g(x)g2(x)则F(x)在acxcb时单调递减，所以对 Vacxcb

12、 , F (a) F (x) F (b)，即f(a f(xf(b) g(a) g(x) g(b)得 f(x)g(b) A f (b)g(x), a ex b，(A)为正确选项.【答案】C【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有: 性质1设f (x,y,z)在分块光滑曲面 S上连续，S关于yoz平面对称，则pJJf (x,y,z)dS = 0.性质2：设f (x,y,z)在分块光滑曲面 S上连续,S关于xoz平面对称，则PJJf(x,y,z)dS=(2 口 f(x,y,z)dSSI :若f (x, y, z)关于y为奇函数 若f(X, y, z)关于y为偶函数其中 S =SCy 0.JJ

13、xdS = 0，而 JJxS 中 x0且SSiJJydS = 0，而 JJxdSAO，所SS1以(B)不成立.曲面S关于zox平面对称，xyz为y的奇函数，所以JJxyzdS= 0 ,而 JJxSS0，Si性质3：设f (x,y,z)在分块光滑曲面 S上连续，S关于xoy平面对称，则若f (x, y,z)关于z为奇函数JJ f(X, y, z)dS = 2 JJ f (x, y, z)dS 若f (x, y, z)关于 z为偶函数 SI其中 S =Scz 0.【详解】方法1直接法：本题中S在xoy平面上方，关于yoz平面和xoz平面均对称，而f(x,y,z)=z对x, y 均为偶函数，则性质1

14、性质2JJzdS = 2 JJ zdS = 4JJzdSSSrx/S又因为在S,上将x换为y , y换为z，z换为x，Si不变(称积分区域Si关于x, y, z轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有4JJzdS=4JJxdS=4JJydS.选项(C)正确.SiSiSi方法2:间接法(排除法)曲面S关于yoz平面对称，x为x的奇函数，所以仅在yoz面上x=0 ,从而JJxdSO， (A)不成立.Si曲面S关于zox平面对称，y为y的奇函数，所以精品文档17所以(D)不成立.oC(3)设级数S un收敛，则必收敛的级数为n壬(B) h Un2n 二1CD dn Un(A)

15、 2 (-1 j nn(C)2 (U2n4-U2n).n 土(D)2 (Un-Unp).n3【答案】D【详解】方法1：直接法由艺Un收敛，所以 送Un1也收敛由收敛级数的性质(如果级数 艺Unn4n4n4z vn分别收敛于S、n z1则级数2(Un vn)也收敛，且其和为Scr )知n=1oC+送Un屮nA选项(D)成立方法2:间接法找反例:(A):取 5=(9击，级数瓠收敛，处U处15花3而而(B):取 Un(C):取 Unu2n1-u2n=丄+丄2n -1 2n_ 4n -1 L_2n(2n- 1)匚由比较审敛法的极限形式知，级数C送(U2n J - U2n)发散n =1是发散的；(关于上

16、述结束的敛散，有下述结果:1严敛心(n+1)ln P(1 + n)发散=Z 1发散;心nc，级数2 Un收敛，但n心【答案】(D)【详解】用排除法(A)为充分但非必要条件：若向量组% ,可由向量组 氏，,Pm线性表示，则一定 可推导卩仆,线性无关，因为若吒，,线性相关，则r (叫，,a m ) V m,于是，,必线性相关，矛盾但反过来不成立，如当m =1时，S = (1,0)T,叫=(0,1)T均为单个非零向量是线性相关的，但 %并不能用p1线性表示(B)为既非充分又非必要条件：如当m = 1时，考虑 =(1,0)T, P1 =(0,1)T均线性无关,但并不能由a1线性表示，必要性不成立；又如

17、 旳=(1,0)T, p1 =(0,0)T,可由a 1线性表示,但p1并不线性无关，充分性也不成立(C)为充分但非必要条件：若向量组8,am与向量组Pi,Pm等价，由a 1,dm线性无关知，pm )am )=m,因此(，,Pm线性无关，充分性成立；当 m=1时，考虑6 =(1,O)T, P1 =(O,1)T均线性无关，但1与P1并不是等价的，必要性不成立(D)剩下(D)为正确选项.事实上，矩阵Ap%,am卢矩阵B = (P1，,Pm )等价？ r(A)=r(B)? r(弭，,Pm ) = r(S,5 )= m,因此是向量组 叫，,Pm线性无关的充要 条件.【答案】B.【详解】和n不相关的充分必

18、要条件是它们的相关系数由协方差的性质： cov(aX +bY, Z)=acov(X,Z)+bcov(Y,Z)Cov(r,n ) = Cov(X +Y,X -Y )= Cov(X,X )-Cov(X,Y)+Cov(Y,X )-Cov(Y,Y) = Cov(X,X )Cov(Y,Y ) = D(X )D(Y)可见Cov(,n)= Ou D(X)-D(Y) = Ou D(X)=D(Y)=E(X2)-E(X)2=E(Y2)-E(Y)f(由方差定义 DX =EX2-(EX)2)故正确选项为(B).1三【分析】由于极限中含有e；与|x|，故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相 等，则极限值存在且等

19、于其极限值，否则极限不存在.【详解】( 1 ).12+ ex 丄sinxlim I + O- xl1+exIX 丿=lim 3OI l1+ex12+e匚sinx丄仁1 ；1f 1)I 2 +ex 异inxT 叽 4lx(1 +exI丿左极限与右极限相等，所以仃+ex sinx !+利1+w= 0 + 1=1 ；f 112+ ex 丄Sinxl1+ex|x 丿=1.四【详解】根据复合函数的求导公式，有ex/_y_2I x于是点X点yy + fi+ f2；x+ f221-+ f2门2丿+ g”丄以卜gflX X Jlx=帚-丄 f2xyf143 f22 -g-当 gyy x x五【详解】方法1：(

20、复连通条件下的封闭曲线积分 )(2)在Li与L2所包设：(1)Li与L2是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的走向,围的有界闭区域 D1与D2的内部除一些点外，P(x, y)与Q(x, y)连续并具有连续的一阶偏导数，且.则&dyP(x, y)dx +Q(x, y)dy =P(x, y)dx +Q(x, y)dy解：以点(1,0 )为中心，R为半径的圆周的参数方程是：x=1 + Rcos9,y = Rsi，逆时针方向一周为从t =0到t =2兀，代入曲线积分了 xdy - ydx 占 4x2 + y2由于分母很繁，计算不方便. 域内部有点0(0,0)，该点处分母为由曲线封闭，可以考虑使用格林

21、公式，但在L所包围的区0，导致被积函数不连续，格林公式不能用.记P=启6#,且P(x,y)与Q(x,y)满足Hy2-4x2cQy2)2(X, y) H(0,0) 作足够小的椭圆:L1: Jx = 2COSt(t- 00,C取逆时针方向),Iy = ssi nt于是于是L与Li及函数P(x,y)与Q(x,y)满足 分析”中所述定理的一切条件,口 4x+y_ 川 xdy - ydx=4x2+y2而后一积分可用参数法计算斤 xdy - ydx I =，2 , 2 -4x +yzzorcost 弋 cost E si nt ”-(-si nt)f 2S2dt2&dtz=71方法2：记占Q_ x-4x2

22、 + y2,则竺-=0 , (x,y)H(0,0) 在 L 内加 L1 : excy椭圆4x2 +y2 =孑的顺时针方向，则xdy - ydx xdy - ydx 【七 4x2 + y2J 4x2 + y2=JJ0dxdy - JlDL1 4x +y(D由L与Li所围)1 12 2 2f xdyd ff2dxdy( D1 : 4x + y 兰 s)Dis J名八2=JI=兀S22六【详解】由题设条件，可以用高斯公式：0 =血 xf (x)dydz - xyf (x) dzdx- e2xzdxdy4= jjjxf (x) + f(X)-xf(x) e2xilvQ一其中Q为S所围成的有界闭区域，当

23、S的法向量指向O外时，士”中取 环”；当S的法向量指向C内时，士”中取由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数2xxf (x) + f(x)-xf(x)e =0,( xa0)变形后得f g+f11 If(X)=lx丿1 2x zc-e ,(x0)X这是一阶线性非齐次微分方程,利用一阶线性非齐次微分方程dy+p(x)y=Q(x)的通解公式:_p(x)dx fy =eQ(x) edxP(x)dxJ dx +CJ其通解为f(X)=eEe2xe3dx + C曲 1e2x&dx+C卜eC)由于 limj(x) =lim0x +CeX=1,故必有lme2x + Cex )=0,(否则不能满足极限值为1)

24、，即C+1=0,从而C = - 1.ex因此 f(X)= (ex -1 )x比an,a1是幕级数s anXn的相邻n9an七【定义概念】幕级数 无anxn，若lim 加 =P ,其中anT两项的系数，则该幕级数的收敛半径Pho+oC开区间(-R,R)叫做幕级数的收敛区间.【详解】an +lim F |an3n+(-2)nb= lim =limT3n+(_2)nJ( n+1) T，1+(討*+(討(严=丄3所以收敛半径为R = 3，相应的收敛区间为(-3,3).当X =3时，因为3n3n +(_2)n1 1- 一n 2n1 1n (-2 71+丄l3丿精品文档21当x = -3时,由于n(一3

25、* I)3n +(2)n(3+22n-(3n +( 2)n 一 3n +(2)n /分别考虑两个级数，级数比n送（一1）n1-是收敛的.又因nliml+r自In =处，从而2nn13丿再由收敛,n七丿根据比较审敛法知收敛，所以原级数在点 x = - 3处收敛.3 +(-2)nfn(-3)0n+(-2)n所以收敛域为-3,3）.八【详解】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关Po作为坐标原点，相应的有键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点两种求解方法.方法1记所考虑的球体为Q,以Q的球心为坐标原点0,射线OPo为正x轴建立直角坐标系,则球面方程为：

26、 x2+ y2 + Z2 =R2，点F0的坐标为（R,0,0 ），设Q的重心位置为（x,y,z）,由对称性，得y=0, z=0,设卩为。上点（x,y,z）处的密度，按 题设卩=k (X R j + y2 +Z2 ，贝y川xgVX 川MV Qfffx kGx R 卄 y2 +z2dV 一 L川 k(xR) Q2 + y2 + zdV2 2)+y +Z川叮(x-RQ=川k(x2 +y2 +z2 +R2)dV -2kR川 zdV=k JJJ(x2 + y2 +z2 )dV + k JJJ R2dV -0(利用奇函数的对称性_jj R4k=8kdd壮宀仙+JiR5（利用奇偶函数的对称性轮换对称性+球体

27、体积公式兀一R .4k=8k -siNdbora+sJiR5丑f 5=8k -sfd jj/0+坐兀R53（牛-莱公式）=8k 上 psi4k兀R（牛-莱公式）2 04k 兀 R-(COS532 k兀 R515川 kxC（x-R）2+y2Q= kUJx（x2+y2Q其中第一个积分的被积函数为+ z dV又由于O关于X, y,z轮换对称,+ z2 +R2） 2kR 川 x2dVQz的奇函数，O对称于xOy平面，所以该积分值为零,所以 JJJz2dV 二 JJJx2dV 二 JJJy2dVQQQ从而雷2dV uw +y2 +z2)dV=3 Qd 呻叮r2 2気看 r5于是R) +yrzdV kR

28、存R5 一软R6方法2: 2 2 2 川叶X. i Qrr角坐标系，则球面的方程为F0O为正Z轴建立直2 2 2 _ 一X2 + y2 +z2 =2Rz,设Q的重心位置为（X, y, z），由对称-.因此，球体Q的重心位置为（一,0,0）44性，得=0, y =0 ,设卩为O上点（x,y,z）处的密度，按题设卩=k x2 + y2 +z2所以JJJz4dV川 kz( X2 + y2 + z2 )dVz = -QJJJ PdVfff k (x2 + y2 + z2 )dV因为 - - 2RcosW C C32 u川(x2+y2+z2 )dv =4d9dhor2 T2sindr -32兀 R5Q0

29、0015川z(x2 +y2 +z2 )dV =4.孑d8 fd广COS；5sin cosdr号春。sJW号r655R故Z=R.因此，球体Q的重心位置为（0,0,）.44九【证明】精品文档27方法 1 令 F(x) = 0 f (t)dt,0 x 兀，有 F(0) =0,由题设有 Fb) =0 .又由题设 （f （x）cosxdx =0，用分部积分，有JIJIry jIjI0 + L F (x)sin xdx = J。F (x)sin xdx0 = 0 f (x)cos xdx = 0 cosxdF (x)=F（x）cos x由积分中值定理知，存在亡（0,兀）使0= f F（x）sin xdx

30、= F（sin 匕兀-0）因为匕迂（0,兀）,si ntHO，所以推知存在t迂（0,兀），使得F化）= 0.再在区间0,匕与兀上对F（x）用罗尔定理，推知存在迂（0,匕）,（兀）使F 徑 1）=0F（q）=0，即f（）=0,f（q）=0rr方法2：由f （x）d 及积分中值定理知，存在迂（0,兀）,使f（）=0.若在区间（0,兀）内f（x）仅有一个零点q，则在区间（0, ）与（：,；!）内f（x）异号.不妨设在（0,匕）内f(X)aO，在(,兀)内 f(X)0.于是由 10 f (x)dx = 0, J0 f (x)cos xdx = 0，有jTjTjT袪0 = f(x)cosxdx- f(x

31、)cosqdx= f (x)(cosx-cosq)dx=f f (x)(cosx-cos匸 1)dx+ft f (x)(cosx-cos匸 1)dx当 0Xr 时，cos COs , f (x)(cosx-cos r) aO ；当 rCXV 兀f(x)cosx V co哮，仍有f（X）（COS X-cos匕1）0，得到：OaO.矛盾，此矛盾证明了在（0,兀）仅有1个零点的假设不正确，故在（0,兀）内f（x）至少有2个不同的零点.十【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据题设等式，可先右乘 A，再左乘A*，尽量不去计算 A【详解】方法1:nJ由 aA*=A*A=|Ae,知 A* =|A ,因此有 8=A*于是A =2，所以 A*A=2等式 ABAmBA+BE 两边先右乘 A，得ABA，A= BAA+3EA再左乘 A*，得A* A B A1 A A bA + a 3* a E A化简I A| BE =A*BE+3AA= 2B = A*B+3|A|E2B = A B +6E=(2E-A* )B =6E,于是* -1= (2EA )10006000010001000600=61010=-10106060L030-6.012016.030-1.得（由初等变换法求得）方法2:lA =2(同解 1)，由 aA* =AA =AE,010