九年级数学下册全册教案

1、.第二十六章 二次函数 本章知识重点 1 探索具体问题中的数量关系和变化规律 2 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的相关概念 3 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式理解二次函数的性质 4 会使用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴 5 会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解 6 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能使用二次函数及其性质解决 简单的实际问题 26 1二次函数 本课知识重点 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义 新思维 (1) 正方形边长为 a (cm)，它的面积s ( c

2、m2)是多少？ (2) 矩形的长是 4 厘米，宽是 3厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平 方厘米，试写出 y 与 x 的关系式 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习 一次函数概念的经验，给它下个定义 实践与探索 例1. m取哪些值时，函数y (m2 m)x2 mx (m 1)是以x为自变量的二次函数？ 分析若函 数 y (m2 2 m m 0 . m)x2 mx (m 1) 是二 次函数， 须满足的 条件 是 解 若函数 y (m2m)x2 mx (m 1)是二次函数， 则 m2 m 0. 解得 m 0 ， 且m 1. 所以，当 m

3、0，且 m 1时，函数 y (m 2 m)x2 mx (m 1) 是二次函数. 回顾与反思 形如 y ax2 bx c 的函数只有在 a 0的条件下才是二次函数 探索 若函数 y (m2 m)x2 mx (m 1)是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些 值？ 例 2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数. (1) 写出正方体的表面积 S (cm2)与正方体棱长a (cm)之间的函数关系； (2) 写出圆的面积 y (cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系； (3) 某种储蓄的年利率是 1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y (元)与 所存年数x之间的函数关

4、系； (4) 菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积 S (cm2)与一对角线长x ( cm)之间 的函数关系. 解 (1)由题意，得S 6a2(a 0)，其中S是a的二次函数； (2) 由题意，得 2 lx 4 0)，其中y是x的二次函数; (3) 由题意，得 10000 1.98%x 10000 (x 0 且是正整数)， 其中y是x的一次函数； 1 由题意，得 S -x(26 2 例3 .正方形铁片边长为 15cm , 下的部分做成一个无盖的盒子. (1) 求盒子的表面积 S (cm2)与小正方形边长 (2) 当小正方形边长为 (4) 1 2 x) x213x(0 x 26)，其中S

5、是x的二次函数. 2 在四个角上各剪去一个边长为x (cm)的小正方形，用余 x 3cm时，求盒子的表面积. (cm)之间的函数关系式; 解(1) S 2 2 15 4x 225 4x2(0 15) x -)； (2 )当 x=3cm 时，S 2254 3 2189 (cm2). 当堂课内练习 1.下列函数中, 哪些是二次函数？ (1) y x2 0 (2) y 2 (x 2)(x 2) (x 1) (3) y x2 1 (4) y x2 2x 3 x 2 .当k为何值时，函数y (k k2 k 1)x 1为二次函数？ 3.已知正方形的面积为 y(cm2)，周长为 x (cm). (1) 请写

6、出y与x的函数关系式； (2) 判断y是否为x的二次函数. 作业 1.已知函数y (m 3)xm 7是二次函数，求 m的值. 2 2 已知二次函数 y ax2 ，当 x=3 时， y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值 3. 已知一个圆柱的高为 27,底面半径为x,求圆柱的体积 y与x的函数关系式.若圆柱 的底面半径x为3，求此时的y. 4. 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形,求扇形的面积 y 与它的半径 x 之 间的函数关系式.这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围. B组 5对于任意实数 m,下列函数一定是二次函数的是() 2 2 2 2 2 2 2

7、 2 A. y (m 1) x B. y (m 1) xC. y (m 1)x D. y (m 1)x 6.下列函数关系中,能够看作二次函数 y ax2 bx c ( a 0)模型的是 () A . 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B. 我国人口年自然增长率为 1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C. 竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计 空气阻力) D. 圆的周长与圆的半径之间的关系 本课学习体会 26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时） 教学目标 （ 一） 知识与技能 1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之

8、间的联系 2 理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何 时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根 3 理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h（h 是实数 ） 交点的横坐标 （ 二） 过程与方法 1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索水平和创新精 神 2 通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一 步培养学生的数形结合思想 3 通过学生共同观察和讨论培养大家的合作交流意识 （ 三） 情感态度与价值观 1 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创 造感受数学的严谨性以

9、及数学结论的确定性， 2 具有初步的创新精神和实践水平 教学重点 1 体会方程与函数之间的联系 2 理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根 3. 理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h（h 是实数 ） 交点的横坐标 教学难点 1 探索方程与函数之间的联系的过程 2 理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 教学过程 I. 创设问题情境，弓I入新课 1. 我们学习了一元一次方程 kx+b=O（k丰0）和一次函数y= kx+b（k丰0）后，讨论了它们 之间的关系当一次函数中的函数值 y=0 时，一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=

10、0 ,且一次函数）y=kx+b（k丰0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b = 0 的解 现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c= 0（a丰0）和二次函数y = ax2+bx+c（a丰0）,它 们之间是否也存有一定的关系呢 ? 2. 选教材提出的问题，直接弓入新课 H.合作交流解读探究 1. 二次函数与一元二次方程之间的关系 探究：教材问题 师生同步完成 . 观察：教材 22 页，学生小组交流 . 归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳 . 川.应用迁移巩固提升 1 . 根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声 2 . 抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围.

11、 3 . 根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x 轴的交点情况 总结反思拓展升华 本节课学了如下内容： 1 经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的 联系. 2 理解了二次函数与 x 轴交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根, 两个相等的 实根和没有实根 . 3. 数学方法：分类讨论和数形结合 . 反思：在判断抛物线与 x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案 V.课后作业P231.3.5 26. 2二次函数的图象与性质(1) 本课知识重点 会用描点法画出二次函数 y ax2的图象，概括出图象

12、的特点及函数的性质. MM及创新思维 我们已经知道，一次函数 3 y 2x 1，反比例函数y的图象分别是 x ，那么二次函数 y x2的图象是什么呢? (1) y 2x2(2) y2x2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 2x2 18 8 2 0 2 8 18 y2x2 -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 解列表 (1) 描点法画函数 y x2的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心? 当x取互为相反数的值时，y的值如何？ (2) 观察函数y x2的图象，你能得出什么结论? 实践与探索 例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有 何共同点？有何不同点

13、？ 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是 抛物线，如图 26. 2. 1. 共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点. 2 不同点：y 2x的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对 称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线 自左向右上升. y 2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对 称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降. 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛 物线，所以，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接. 2 例2 已知y (k 2)xk k 4是二次函数，且当 X

14、 0时，y随x的增大而增大. (1) 求k的值； (2) 求顶点坐标和对称轴. 2 k2 k 42 解 (1)由题意，得，解得k=2. k 20 (2)二次函数为y 4x2，则顶点坐标为 0, 0),对称轴为y轴. 例3.已知正方形周长为 Ccm,面积为S cm2. (1) 求S和C之间的函数关系式，并画出图象； (2) 根据图象，求出 S=1 cm2时，正方形的周长； (3) 根据图象，求出 C取何值时，S4 cm2. 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时, 自变量C的取值应在取值范围内. 解 (1)由题意，得S 丄C2(C 0). 16 C 2 4

15、 6 8 S丄C2 1 1 9 4 16 4 4 列表: 描点、连线，图象如图 26 . 2. 2. (2) 根据图象得 S=1 cm2时，正方形的周长是 4cm. (3) 根据图象得，当 C 8cm时，S4 cm2 . 回顾与反思 (1)此图象原点处为空心点. (2) 横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成 X、y. (3) 在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分. 当堂课内练习 1. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和 顶点坐标. 2 2 1 2 (1) y 3x(2) y 3x(3) y x 3 2 2 一 2. ( 1)函数 y x

16、的开口，对称轴是 ，顶点坐标是 3 1 2 (2)函数yx的开口，对称轴是 ，顶点坐标是 4 3. 已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积 S表示成x的函数，并画出图象的 草图. 本课课外作业 A组 1在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象. 2 1 2 (1) y 4x(2) y -x 4 2. 填空： (1) 抛物线y 2 5x，当 x= 时，y有取值，疋 . (2) 当m= 时，抛物线y (m 1)xm m开口向下. (3) 已知函数 y (k 2 k)xk2 2k 1是二次函数，它的图象开口 ，当 当x 时，y 随x的增大而增大. 3. 已知抛物线y kx k 10中，当x 0

17、时，y随x的增大而增大. (1)求k的值；(2)作出函数的图象(草图). 2 4. 已知抛物线y ax经过点(1, 3),求当y=9时，x的值. B组 5. 底面是边长为x的正方形，高为 0. 5cm的长方体的体积为 ycm，那么y x与y x 2的图象之间又有何关系？_ .( 1)求y与x之间 的函数关系式；(2)画出函数的图象； (3)根据图象，求出y=8cm3时底面边长x的值； (4) 根据图象，求出 x取何值时，y4. 5 cm3. 2 _ 6. 二次函数y ax与直线y 2x 3交于点P (1, b). (1) 求a、b的值； (2) 写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的

18、 y随x的增大而减小. 26. 2 二次函数的图象与性质(2) 本课知识重点 会画出y ax2 k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质. MM及创新思维 同学们还记得一次函数 y 2x与y 2x 1的图象的关系吗？ 2 2 ，你能由此推测二次函数 y x 与y x 1的图象之间的关系吗？ 实践与探索 2 2 例1 .在同一直角坐标系中，画出函数y 2x与y 2x 2的图象. 解列表. x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 2x2 18 8 2 0 2 8 18 y 2x22 20 10 4 2 4 10 20 描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26. 2. 3所示. 描点、连线

19、，画出这两个函数的图象，如图26. 2. 4 所示. 回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图 象上，相对应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些 不同？你能由此说出函数 2 2 y 2x与y 2x2的图象之间的关系吗? 例2.在同一直角坐标系中，画出函数 2 2 怎样的平移，能够由抛物线 yx2 1得到抛物线y y x 1与y x 1的图象，并说明，通过 x -3 -2 -1 0 1 2 3 2 . yx 1 -8 -3 0 1 0 -3 -8 2 . yx 1 -10 -5 -2

20、 -1 -2 -5 -10 2 x 解列表. 能够看出，抛物线 y 回顾与反思抛物线 F平移一个单位得到的. 探索如果要得到抛物线 3.条抛物线的开口方向、 占 八、 解 2 x 1是由抛物线 1和抛物线 2 x 4，应将抛物线 对称轴与y （1, 1），求这条抛物线的函数关系式. 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是 所以所求函数关系式可看作 y ax22(a 1向下平移两个单位得到的. 2 1分别是由抛物线yx2向上、向 2 x 1作怎样的平移? 所以，1 a 122, 解得a 3. 故所求函数关系式为 y 3x22 回顾与反思y ax2 归纳如下: y ax2k 1 2 丄. X相同,

21、 2 顶点纵坐标是-2，且抛物线经过 y轴，顶点坐标为（0, -2）, 0）,又抛物线经过点（1, 1）, k （a、k是常数，0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 开口方向 对称轴 a 0 a 0 顶点坐标 当堂课内练习 1. 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： 1 2 2 1 2 o y x , y x 2 , y x 2. 2 2 2 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置你能说 出抛物线y 1x2 k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2 1 2 一 2. 抛物线 yx 9的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它能 4 1 2 够看作是由抛物线

22、 y x2向 平移个单位得到的. 4 2 3. 函数y3x 3，当x时，函数值y随x的增大而减小.当x时，函 (3)试说出函数y 1x2 3 5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标. 2.不画图象，说出函数y 丄乂23的开口方向、对称轴和顶点坐标, 4 并说明它是由函 数取得最值，最值 y= 作业 1 2 1 2 1 2 1.已知函数yx ,y -x 3, y -x 2 3 3 3 (1)分别画出它们的图象； (2)说出各个图象的开口方向、 对称轴、 顶点坐标； 1 2 数y x通过怎样的平移得到的. 4 3. 若二次函数y ax2 2的图象经过点(-2, 10),求a的值.这个函数有最大还是最

23、 小值？是多少？ 26. 2 二次函数的图象与性质(3) 本课知识重点 会画出y a(x h)2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质. MM及创新思维 我们已经了解到，函数y ax2 k的图象，能够由函数 y ax2的图象上下平移所 1 2 1 2 得，那么函数 y (x 2)的图象，是否也能够由函数y x平移而得呢？画图试一 2 2 试，你能从中发现什么规律吗？ 实践与探索 例1 .在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象. 1 2 1 2 1 2 y -x2, y (x 2)2 , y (x 2)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐 2 2 2 它 称 和 是 们的开口方向都向上

24、；对 轴分别是y轴、直线x= -2 直线x=2 ;顶点坐标分别 标. 解列表. x -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 9 1 1 9 y 小 x 2 0 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 25 25 y -(x 2) 一 0 2 2 8 2 2 2 2 1 / 2 25 9 1 1 y -(x 2) 8 2 一 0 2 2 2 2 2 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26. 2. 5所示. (0, 0),( -2, 0),( 2, 0) 回顾与反思对于抛物线y 扣2)2，当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数值y随x的增大而减小; 当x _ 值y= 探索 抛物线

25、y 1 (x 2)2和抛物线y l(x 2)2分别是由抛物线y 1 2 平移两个单位得到的.如果要得到抛物线y (x 4)2，应将抛物线 时，函数取得最值，最 1 2 , x向左、向右 2 1 2 y x作怎样的 2 平移? 2 2 例2不画出图象，你能说明抛物线y 3x与y3(x 2)之间的关系吗？ 解 抛物线y 3x2的顶点坐标为(0，0);抛物线y 3(x 2)2的顶点坐标为(-2， 0). 2 2 所以，抛物线y 3x与y3(x2)形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线x2抛物线y3(x2)2是由y 3x2向左平移2个单位而得的. 回顾与反思 y a(x h)2 (a、h是

26、常数，a* 0)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐 标归纳如下： 开口方向对称轴顶点坐标 2 | y a(x h)a 0 a 0 当堂课内练习 2 1. 画图填空：抛物线 y (x 1)的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标 是，它能够看作是由抛物线 y x2向平移个单位得到的. 2. 在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象. 2 2 2 y 2x , y 2(x3), y 2(x 3)，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点 坐标. 本课课外作业 1 2 1 2 1 2 1.已知函数 y x , y (x 1) , y (x 1). 2 2 2 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； )分别说出各个函数

27、图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)分别讨论各个函数的性质. 1 2 2 .根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，能够由抛物线y丄x2得到抛物 2 1212 线 y(x1)2和 y(x1)2 ? 2 2 2 3. 函数y3(x 1)，当x时，函数值y随x的增大而减小.当 x时， 函数取得最 值，最值y=. 4不画出图象，请你说明抛物线y 5x2与y 5(x 4)2之间的关系. 262 二次函数的图象与性质( 4) 本课知识重点 1掌握把抛物线 y ax2平移至y a(x h)2+k的规律； 2 2会画出y a(x h) +k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质 创新思维 能

28、够得到函数 2 y 2(x 3)2 由前面的知识，我们知道，函数y 2x2的图象，向上平移 2个单位， 22 y 2x2的图象；函数y 2x的图象，向右平移3个单位，能够得到函数 的图象，那么函数y 2x2的图象，如何平移，才能得到函数 y 2( x 3)22的图象呢? 实践与探索 例1 .在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象. 1 2 1 2 1 2 y -x , y (x 1) , y (x 1)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点 2 2 2 坐标. 解列表. x -3 -2 -1 0 1 2 3 1 2 9 1 1 9 y x 2 0 2 2 2 2 2 2 1 八2 9 1 1

29、y -( x 1) 8 2 0 2 2 2 2 2 1 , 、2 5 3 3 y 尹 1) 2 6 2 0 2 -2 2 0 描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26. 2. 6所示. 它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、，顶点 坐标分别为 、.请同学们完成填空，并观察三个图象之 间的关系. 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y a(x h)2+k中k的值； 左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确 定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序无关. 探索 你能说出函数y a(x h)2+k (a、h、k是常数，

30、0)的图象的开口方向、对称 轴和顶点坐标吗？试填写下表. 顶点坐标 2 y a(x h) +k 开口方向 对称轴 a 0 a 0 例2.把抛物线y x2 bx c向上平移2个单位，再向左平移 4个单位，得到抛物线 2 y x，求b、c的值. 分析抛物线 2 y x的顶点为（o, o） ，只要求出抛物线 yx2 bx c的顶点，根据顶 点坐标的改变， 确定平移后的函数关系式, 从而求出 b、c的值. 解 y x2 2 bx c x bx 4 （b 2 （x 2） b2 c 4 向上平移2个单位，得到y 再向左平移4个单位，得到 4)2 其顶点坐标是（ 4,c b2 2），而抛物线 2 x的顶点为

31、（0, 0）,则 解得 探索把抛物线y x2 bx c向上平移2个单位，再向左平移 4个单位，得到抛物线 b 8 c 14 2 y x ，也就意味着把抛物线 2 y x向下平移2个单位，再向右平移 4个单位，得到抛 物线y x2 bx c 那么，本题还能够用更简洁的方法来解，请你试一试. 当堂课内练习 1.将抛物线y 2（x 4）2 1如何平移可得到抛物线 y 2x2 A. 向左平移 4个单位, 再向上平移 1个单位 B. 向左平移 4个单位, 再向下平移 1个单位 C. 向右平移 4个单位, 再向上平移 1个单位 D. 向右平移 4个单位, 再向下平移 1个单位 2. 把抛物线 3 yx 2

32、 向左平移 3个单位，再向下平移 4个单位，所得的抛物线的函数 2 关系式为 1 2 1 2 个单位，再向 3.抛物线y 1 2x x可由抛物线y x向平移 2 2 移个单位而得到. 本课课外作业 1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象. y 3x2 , y 3( x 2)2 , y 3(x 2)21，并指出它们的开口方向、对称轴和顶 点坐标. 2.将抛物线y x2 2x 5先向下平移 1个单位，再向左平移 4个单位，求平移后的 抛物线的函数关系式. 1 2 x 2 3. 将抛物线 -如何平移, 2 可得到抛物线 y =x2 2x 3 ? 2 把抛物线 x2 bx C向右平移 个单位，再向

33、下平移 2个单位，得到抛物线 5. 2小 x 3x b =3, c=7 则有 B . b= -9 , c= -15 C. b=3, c=3 D . b= -9 , c=21 2 抛物线y 3x bx c是由抛物线 2 y 3x bx 1向上平移3个单位，再向左平 移2个单位得到的，求 b、c的值. 2 6.将抛物线y ax (a 0)向左平移h个单位，再向上平移k个单位，其中h 0,k v 0, 求所得的抛物线的函数关系式. 26. 2 二次函数的图象与性质(5) 本课知识重点 2 2 1能通过配方把二次函数y ax bx c化成y a(x h) +k的形式，从而确定开口 方向、对称轴和顶点坐

34、标； 2.会利用对称性画出二次函数的图象. MM及创新思维 我们已经发现，二次函数 y 2(x 3)2 1的图象，能够由函数 y 2x2的图象先向 平移 _个单位，再向 _平移 _个单位得到，所以，能够直接得出：函数y 2( x 3)21 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 那么，对于任意一个二次函 2 数，如y x 3x 2，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出 图象吗？ 实践与探索 例1通过配方，确定抛物线 y2x2 4x 6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点 画图. 解 y2x2 4x 6 2(x2 2(x2 2(x 1 1) 6 1 6 2x)6 2x 1)2 4 回

35、顾与反思(1)列表时选值，应以对称轴 x=1为中心，函数值可由对称性得到，. (2) 描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然 后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点. 探索 对于二次函数 y ax2 bx c ,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请 你完成填空：对称轴 ，顶点坐标 例2 已知抛物线y x2 (a 2)x9的顶点在坐标轴上，求 a的值. 1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于 0;( 2) 分析顶点在坐标轴上有两种可能：( 顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于 0. 解 y x2 (a 2)x 9 (x (a 2)2 则抛物线的顶点坐标是 (a

36、 2)2 当顶点在x轴上时，有 解得 当顶点在y轴上时，有 (a 解得 所以，当抛物线yx2 (a 2)x 9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是 ,4, (2) 已知抛物线的顶点为(1, -3)，且与y轴交于点(0, 1); （3）已知抛物线与 x 轴交于点 M （ -3， 0）、（ 5，0），且与 y 轴交于点（ 0，-3）； （4）已知抛物线的顶点为（ 3，-2），且与 x 轴两交点间的距离为 4 分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点， 可设函数关系式为 y ax2 bx c 的 形式； （2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为y a（x 1）2 3 ，再根据抛 物线与

37、 y 轴的交点可求出 a 的值；（ 3）根据抛物线与 x 轴的两个交点的坐标，可设函数 关系式为y a（x 3）（x 5），再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知 抛物线的顶点坐标（ 3， -2），可设函数关系式为 y a（x 3）22，同时可知抛物线的对 称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为 4,可得抛物线与 x轴的两个交点为（1，0） 和（5，0），任选一个代入y a（x 3）2 2，即可求出a的值. 解 （1）设二次函数关系式为 y ax2 bx c ，由已知，这个函数的图象过（ 0，-1）， 能够得到 c= -1 又因为其图象过点（ 1 ， 0）、（ -1 ， 2）两

38、点，能够得到 ab1 ab3 解这个方程组，得 a=2， b= -1 所以，所求二次函数的关系式是 y 2x2 2x 1 （ 2）因为抛物线的顶点为（ 1， -3），所以设二此函数的关系式为 y a（x 1）23， 又因为抛物线与 y 轴交于点（ 0， 1 ），能够得到 1 a（0 1） 2 3 解得 a 4 所以，所求二次函数的关系式是 y 4（x 1）23 4x2 8x 1 （ 3）因为抛物线与 x 轴交于点 M （ -3， 0）、（ 5， 0）， 所以设二此函数的关系式为 y a（x 3）（x5） 又因为抛物线与 y 轴交于点（ 0， 3），能够得到 3 a(0 3)(0 5) 解得a

39、1. 5 11 2 2 所以，所求二次函数的关系式是y -(x 3)(x 5) -x 2 x 3. 555 (4) 根据前面的分析，本题已转化为与(2)相同的题型，请同学们自己完成. 回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系 式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则二次函数的关系式可 设如下二种形式： (1) 一般式： y 2 ax bx c(a 0)，给出二点坐标可利用此式来求. (2) 顶点式： y a(x h)2 k(a 0)，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来 求. (3) 交点式： y a(x xj( x X2)(a 0)，

40、给出三点，其中两点为与x轴的两个交点 (x-,0)、(X2,0)时可利用此式来求. 当堂课内练习 1. 根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式. (1) 已知二次函数的图象经过点(0, 2)、( 1, 1)、( 3, 5); (2) 已知抛物线的顶点为(-1 , 2)，且过点(2, 1); (3) 已知抛物线与 x轴交于点M (-1 , 0)、( 2, 0),且经过点(1 , 2). 2. 二次函数图象的对称轴是x= -1，与y轴交点的纵坐标是-6，且经过点(2, 10),求 此二次函数的关系式. 本课课外作业 1. 已知二次函数 y x2 bx c的图象经过点 A (-1,12)、B

41、(2, -3), (1) 求该二次函数的关系式; 的形式，并求出该抛物线 (2)用配方法把(1 )所得的函数关系式化成y a(x h)2 k 的顶点坐标和对称轴. 2. 已知二次函数的图象与一次函数y 4x 8的图象有两个公 共点P (2, m)、Q (n, -8)，如果抛物线的对称轴是x= -1 , 求该二次函数的关系式. 3某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面 宽AB=4m，顶部C离地面高度为4. 4m 现有一辆满载货物的 汽车欲通过大门，货物顶部距地面 2.8m，装货宽度为2.4m.请判断这辆汽车能否顺利通过大门. 2 4. 已知二次函数 y ax bx c，当x=3时，

42、函数取得最大值 10,且它的图象在 x轴 上截得的弦长为 4，试求二次函数的关系式. 26.3 实践与探索(1) 本课知识重点 会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在使用中体会二次函数的实际意义. 2004雅典奥运会的 MM及创新思维 生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象相关的问题，比如在 赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你 知道二次函数在生活中的其它方面的使用吗？ 实践与探索 例1.如图26. 3. 1，一位运动员推铅球，铅 球行进高度y (m)与水平距离x (m)之间的 125 关系是yx2x，问此运动员把 1233 铅球推出多远？ 解

43、 如图，铅球落在x轴上，则y=0 , 125 所以，一X2X50. 1233 解方程，得为10, X22 (不合题意，舍去) 所以，此运动员把铅球推出了10米. 探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情 5 境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m,铅球落地点距铅球刚出手时相对应的 3 地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的 函数关系式你能解决吗？试一试. 例2 .如图26 . 3. 2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮

44、，要求设计 成水流在离 OA距离为1m处达到距水面最大高度 2. 25m. (1) 若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能 使喷出的水流不致落到池外？ (2) 若水流喷出的抛物线形状与(1)相同，水池的半径为 0 26,3.2 3. 5m,要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？ （精确到0. 1m） 分析这是一个使用抛物线的相关知识解决实际问题的应用 题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26. 3. 我们能够求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可 解决问题. 3 x轴交点为C (如图26. 3. 3). 1 . 25), B (1, 2. 25), 所以，

45、设抛物线为 y a(x 1)22.25 将A （0, 1. 25）代入上式, 得 1.25 a(0 1)22.25 , 解 （1 ）以O为原点，OA为y轴建立坐标系.设抛物线顶点 为B ,水流落水与 由题意得，A （0, 解得 所以，抛物线的函数关系式为 y(x 1)2 2.25 当y=0时，解得x=-0 . 5 （不合题意，舍去）， 所以C （2. 5, 0）,即水池的半径至少要 2. x=2. 5, 5m. （2）因为喷出的抛物线形状与（ 1）相同，可设此抛物线为 (x h)2 k k=3. 7. 由抛物线过点（0, 1. 25）和（3. 5, 0）,可求得h= -1 . 所以，水流最大高

46、度应达 3. 7m . 当堂课内练习 1在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面 米，当球飞行距离为 9米时达最大高度5. 5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直 接把球打出边线？ 2. 在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2 . 5米，与球圈中心的水平距 离为7米，当球出手水平距离为 4米时到达最大高度 4米.设篮球运行轨迹为抛物线，球 圈距地面3米，问此球是否投中？ 本课课外作业 1.在一场足球赛中，一球员从球门正前方 离是6米时，球到达最高点，此时球高 2 .某公司推出了一种高效环保型洗涤用品， 公司经历了从亏损到赢利的过程. 下面的二次函数

47、图象（部分）刻画了该公司年初以来累 积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前 t个月的利润总和s与t之间的关系）. 根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元） 10米处将球踢起射向球门，当球飞行的水平距 3米，已知球门高 年初上市后， 2. 44米，问能否射中球门? 尔飢万元; 与时间t (月)之间的函数关系式； (2) 求截止到几月末公司累积利润可达到30万元; (3) 求第8个月公司所获利润是多少万元？ 3. 如图，一位运动员在距篮下 4m处跳起投篮，球运行的路 线是抛物线，当球运行的水平距离为 2. 5m时，达到最大高 度3.

48、5m,然后准确落入篮圈， 已知篮圈中心到地面的距离为 3. 05m. (1) 建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的函数关系式； (2) 该运动员身高1. 8m，在这次跳投中，球在头顶上方 0. 25m处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 26.3 实践与探索(2) 本课知识重点 让学生进一步体验把实际问题转化为相关二次函数知识的过程. MM及创新思维 二次函数的相关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的 问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元， 设矩形一边长为x米，面积为S平方米请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求

49、 出这个费用你能解决它吗？类似的问题，我们都能够通过建立二次函数的数学模型来解 决. 实践与探索 例1 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。 物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价 定为70元时，日均销售60千克；单价每降低 1元，日均多售出2千克。在销售过程中， 每天还要支出其他费用 500元(天数不足一天时，按整天计算)。设销售单价为x元，日 均获利为y元。 (1) 求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围； 2 (2) 将(1)中所求出的二次函数配方成y a(x )2 的形式，写出顶点 2a4a 坐标

50、；在直角坐标系画出草图； 观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多， 是多少？ 分析 若销售单价为x元，则每千克降低(70-x )元，日均多售出 2 ( 70-x )千克，日均 销售量为60+2 ( 70-x )千克，每千克获利为(x-30 )元，从而可列出函数关系式。 解(1 )根据题意，得 y (x 30)60 2(70 x) 500 2x2260 x 6500(30 w x 3 时，y 0;当-1v xv 3 时，yv 0. 回顾与反思(1) 二次函数图象与 x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解 决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决. (2)利用函数

51、的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点， 再根据交点的坐标写出不等式的解集. 例2.(1)已知抛物线y2(k1)x24kx 2k 3，当k=时，抛物线与x 轴相交于两点. (2) 已知二次函数y (a1)x22ax3a 2的图象的最低点在x轴上，则a=. (3) 已知抛物线y X (k 1)x 3k 2与x轴交于两点A (a, 0), B (3, 0), 且 2217，则k的值是. 分析 (1)抛物线y 2(k1)x2 4kx 2k 3与x轴相交于两点，相当于方程 2(k1)x2 4kx 2k 30有两个不相等的实数根，即根的判别式0. (2) 二次函数y (a 1)

52、x2 2ax 3a 2的图象的最低点在 x轴上，也就是说，方程 (a 1)x 2ax 3a 2 0的两个实数根相等，即=0. (3) 已知抛物线y 2 x (k 1)x 3k 2 与 x 轴交于两点 A (a, 0), B (3, 0), 即a 、3是方程x2 (k 1)x 3k 20的两个根，又因为2217，以及 2 2 ( )2 2 ，利用根与系数的关系即可得到结果. 请同学们完成填空. 回顾与反思 二次函数的图象与 x轴有无交点的问题， 能够转化为一元二次方程有无实数 根的问题，这可从计算根的判别式入手. 例3已知二次函数y x2 (m 2)x m 1 , (1) 试说明：不论 m取任何

53、实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点; (2) m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？ y轴？ 分析 (1)要说明不论 m取任何实数，二次函数 2 x (m 2)x m 1的图象必与 x轴有两个交点，只要说明方程 x2 (m 2)x 0有两个不相等的实数根， 即 0. (2)两个交点都在原点的左侧, 也就是方程 x2 (m 2)x m 10有两个负实数根, 因而必须符合条件0， x1x20， x1 X2 综合以上条件, 可解得所求 (3) m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是 m的值的范围. (3)二次函数的图象的对称轴是 y轴，说明方程 (m 2)x m 1 0有一正一负 两个实数

54、根，且两根互为相反数，因而必须符合条件 0， x1x2 解 (1) = (m 2)24 ( 1) (m 1) m28，由 m20,得 m2 80,所以 0，即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点. (2)由 x-ix2 m 20，得 m 2 ；由 x-i x2 m 10,得 m 1 ;又由(1), 0，所以，当m 1时，两个交点都在原点的左侧. (3)由 x1 X2 2 0，得m=2，所以，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y 轴. 探索 题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数 x2 (m 2)x m 1是由函数yx2上下平移所得, 对一次项系数有何要求呢？请你根据它

55、入手解本题. 那么， 当堂课内练习 2 1.已知二次函数 y x 3x 4的图象如图, 则方程x2 3x 4 0的解是， 不等式x2 3x 4 0的解集是， 不等式x2 3x 4 0的解集是 2 .抛物线 y 3x2 2x 5与y轴的交点坐标为 ，与x轴的交点坐标 为 5 3.已知方程2x2 3x 5 0的两根是一，-1,则二次函数y 2x2 3x 5与x轴的两 2 个交点间的距离为 . 2 4. 函数y ax ax 3x 1的图象与x轴有且只有一个交点，求 a的值及交点坐标. 本课课外作业 2 1已知二次函数 y x x 6，画出此抛物线的图象，根据图象回答下列问题. (1) 方程x2 x

56、60的解是什么？ (2) x取什么值时，函数值大于 0? x取什么值时，函数值小于 0? 2 2. 如果二次函数 y x 6x c的顶点在x轴上，求c的值. 3. 不论自变量x取什么数，二次函数 y 2x2 6x m的函数值总是正值，求 m的取值 范围. 2 4. 已知二次函数 y 2x 4x 6 , 求：(1 )此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出草图； (2) 以此函数图象与 x轴、y轴的交点为顶点的三角形面积； (3) x为何值时，y 0. 2 5. 你能否画出适当的函数图象，求方程x x 2的解？ 26.3 实践与探索(4) 本课知识重点 掌握一元二次方程及二元二次方程组的图

57、象解法. 及创新思维 上节课的作业第5题：画图求方程x2x 2的解，你是如何解决的呢？我们来看 一看两位同学不同的方法. 甲：将方程x2 x 2化为x2 x 2 0,画出y x2 x 2的图象，观察它与x轴 的交点，得出方程的解. 乙：分别画出函数y x2和y x 2的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方 程的解. 你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流. 实践与探索 例1利用函数的图象，求下列方程的解： (1) x2 2x 30 ； (2) 2x2 5x 20 . 團3. 5 分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比 画直线困难，所以只要事先画

58、好一条抛物线y x2的图象， 再根据待解的方程， 画出相对应的直线， 交点的横坐标即为 方程的解. 解 (1)在同一直角坐标系中画出 函数y x2和y 2x 3的图象， 如图 26. 3. 5, 得到它们的交点（-3, 9）、（ 1, 1）, 则方程x2 2x 30的解为3 1. （2）先把方程2x2 5x 20化为 x25 x 10 ,然后在同一直角 2 5 坐标系中画出函数 y x2和y x 1 2 的图象，如图 26. 3. 6， 1 1 得到它们的交点（一，）、（2, 4）, 24 、 2 1 则方程2x 5x 20的解为 ，2. 回顾与反思一般地, 求一元二次方程 ax2 bx c

59、0（a0）的近似解时，可先将方程 2 （1 ）能够通过直接画出函数 y 分析 x2的图象，得到它们的交点，从 22 b c2b c ax2 bx c 0化为x2 x0，然后分别画出函数 y x2和y x 的图 a aa a 象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解. 例2 利用函数的图象，求下列方程组的解： y 1 x 3 y 3x 6 (1) 2 2 ; (2) 2 2 y x 2x y x 1 -x 2 而得到方程组的解；（2）也能够同样解决. 一 一213 解 （1）在同一直角坐标系中画出函数y x和yx 2 2 的图象，如图 26. 3. 7, 3 9 得到它们的交点（ 3 , 9 ）、

60、（ 1, 1）, 24 1 3X! y x 则方程组y22的解为 2 y xyi 3 2 X2 1 9， y2 1 4 (2)在同一直角坐标系中画出函数 y 图象，如图26. 3. 8, 得到它们的交点(-2, 0)、(3, 15), 解为 Xi yi 2 x23 0，y215 探索 (2)中的抛物线画出来比较麻烦, 题的方法吗？比如利用抛物线y x2的图象，请尝试一下. 当堂课内练习 1禾U用函数的图象，求下列方程的解： (1) x x 10 (精确到 0. 1) (2) 3x2 5x 20. y x 2 2利用函数的图象，求方程组2 的解： y x 本课课外作业 1禾u用函数的图象，求下列