全等三角形证明中考题选(答案齐全)(20210114021022)

1、智皓教育姓名:全等三角形中考证明题一解答题1. （2013?泉州）如图，已知 AD是厶ABC的中线，分别过点 B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长线 于点F，求证：BE=CF .2. （2013?河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C=90 / B= / E=30 （1）操作发现如图2,固定 ABC，使 DEC绕点C旋转，当点 D恰好落在 AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 设厶BDC的面积为S1, AEC的面积为S2,图I图2（2）猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试

2、分别作出了 BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE / AB交BC于点E （如图4）.若在射线 BA上存在点F, 使dcf=Sabde，请直接写出相应的 BF的长.B3. （2013?大庆）如图，把一个直角三角形 ACB （/ ACB=90 绕着顶点B顺时针旋转60使得点C旋转到AB 边上的一点 D，点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H .（1）求证：CF=DG ;（2）求出/ FHG的度数.4. （2012?阜新）（1）如图，在 ABC

3、和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE=90 当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的 ADE绕点A顺时针旋转角（0 a 1),按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.a.6. (2008?台州)CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB . E, F分别是直线 CD上两点，且/ BEC= / CFA= /(1) 若直线CD经过/ BCA的内部，且E, F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图 1,若/ BCA

4、=90 / a=90则 BECF; EF|BE - AF| (填 ”， Z ”或=”)； 如图2,若0 1 )，2 AOB= 2 COD= a，贝 U AC 与 BD 间的等量关系式为 ; 2 APB的大小为图万图图10. （2005?南宁）（A类）如图，DE丄AB、DF丄AC .垂足分别为 E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC ； BD=CD ； BE=CF已知 求证 已知 求证 已知 求证DE 丄 AB、DF 丄 AC ,垂足分别为E、F,AB=AC ,BD=CDBE=CFDE 丄 AB、BD=CDDF 丄

5、AC ,垂足分别为E、F,AB=AC ,BE=CFDE 丄 AB、AB=ACDF 丄 AC ,垂足分别为E、F,BD=CD ,BE=CF（B类）如图，EG/ AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题 （只需写出一种情况）. AB=AC ; DE=DF ; BE=CF 已知：EG / AF , AB=AC , DE=DF 求证：BE=CF参考答案与试题解析.解答题（共10小题）1. （2013?泉州）如图，已知 AD是厶ABC的中线，分别过点 B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长线 于点F，求证：BE=CF .考点：全等三角形的判定与性质.

6、专题：证明题.分析：根据中线的定义可得 BD=CD，然后利用 角角边”证明 BDE和厶CDF全等，根据全等三角形对应边相等 即可得证.解答：证明：/ AD是厶ABC的中线， BD=CD ,/ BE 丄 AD , CF丄 AD , / BED= / CFD=90 在厶BDE和厶CDF中， ZBED=ZCFD=90ZBDE=ZCDF ,BD=CD BDE CDF （AAS ）, BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活 运用.2. （2013?河南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C=90 /

7、B= / E=30 （1）操作发现如图2,固定 ABC，使 DEC绕点C旋转，当点 D恰好落在 AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是DE / AC（2）猜想论证 AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是S1=S2.当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了 BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.（3）拓展探究已知/ ABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE / AB交BC于点E （如图4）.若在射线 BA上存在点F, 使dcf=Sabde，请直接写出相应的 BF的长.AD考点：

8、专题： 分析：AC=CD，然后求出 ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得解答:全等三角形的判定与性质.几何综合题；压轴题.(1) 根据旋转的性质可得/ ACD=60 然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得 AC=AD，再根据直角三角形 30角所对的直角边等于斜边的一半求出AC=AB ,然后求出AC=BE ,再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点 D到AC的距离，然2后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2) 根据旋转的性质可得 BC=CE , AC=CD，再求出/ ACN= / DCM，然后利用 角角边”证明 ACN和 DCM全等，根据全等三角形对应边

9、相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3) 过点D作DFi / BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF 1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2丄BD ,求出/ F1DF2=6O从而得到 DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出/ CDF1= / CDF2,利用 边角边”证明 CDF1和厶CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰 BDE中求出BE的长，即可得解.解：(1) DEC绕点C旋转点D恰好落在 AB边上， AC=CD ,/ / BAC=90 - / B=9

10、0 - 3060 ACD是等边三角形， / ACD=60 又/ / CDE= / BAC=60 / ACD= / CDE , DE / AC ；/ / B=30 / C=90 CD=AC= =AB ,3 BD=AD=AC ,根据等边三角形的性质， ACD的边AC、AD上的高相等， BDC的面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S仁S2;故答案为：(2)如图， BC=CE,DE / AC ; Si=S2; DEC是由 ABC绕点C旋转得到,AC=CD ,/ / ACN+ / BCN=90 / DCM+ / BCN=180 - 90 90 / ACN= / DCM ,/在厶AC

11、N和厶DCM中，CZACN=ZDa ZaiD=ZN=90 ，AC=CD:, ACN DCM (AAS ), AN=DM , BDC的面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) 即S仁S2;(3) 如图，过点D作DF1 / BE，易求四边形 BEDF1是菱形，所以BE=DF 1,且BE、DF1上的高相等，此匕时 Sadcf=Sabde ,过点D作DF2丄BD ,/ / ABC=60 / F1DF2=Z ABC=60 DF1F2是等边三角形， DF1=DF2, BD=CD , / ABC=60。，点D是角平分线上一点， / DBC= / DCB=260=30,2 / CDF1=180

12、- 30=150 / CDF2=360- 150- 60150 / CDF仁/ CDF2,/ 在CDF1 和厶CDF2 中，DF二 ZCDPZCDFj,lcd=cd CDF1BA CDF2 ( SAS),点F2也是所求的点,DE / AB , / ABC=60 点D是角平分线上一点,/ DBC= / BDE= / ABD=又/ BD=4 , BE= = 4cos30=243. BF1=, BF2=BF1+F1F2= 3-V32朋+皿=宓 + =333，故BF的长为SE(3)題圉30。角所对的点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形直角边等于斜边的

13、一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解 题的关键，(3)要注意符合条件的点 F有两个.3. (2013?大庆)如图，把一个直角三角形 边上的一点D，点A旋转到点E的位置.ACB ( / ACB=90 绕着顶点F, G分别是BD , BE上的点,B顺时针旋转60使得点C旋转到ABBF=BG，延长CF与DG交于点H.(1) 求证：CF=DG ;(2) 求出/ FHG的度数.考点：全等三角形的判定与性质.分析：(1)在厶CBF和厶DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可证得;(2)根据全等三角形的对应角相等，即可证得/ DHF=

14、 / CBF=60 从而求解.解答： (1)证明：在 CBF和厶DBG中，f EOBDZCBF=ZBDG=60cr ,Ibebg CBF DBG (SAS), CF=DG ;(2)解：/ CBF DBG , / BCF= / BDG ,又 / CFB= / DFH , / DHF= / CBF=60 / FHG=180 - / DHF=180 - 60=120 点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.4. (2012?阜新)(1)如图，在 ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE , / BAC= / DAE=90 当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有

15、怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的 ADE绕点A顺时针旋转角(0 a 1),按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC 的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.考点：全等三角形的判定.专题：压轴题；探究型.分析：(1) 根据题意和旋转的性质可知 AEC ADB，所以BD=CE ;根据题意可知 / CAE=BAD , AB=AC , AD=AE，所以得到 BAD CAE，在 ABM 和厶ACN中, DM= -；BD , EN=CE，可证 ABMACN，所以 AM=AN，即 / MAN= / BAC .(2) 直接类比(1)中结果可

16、知 AM=k ?AN , / MAN= / BAC .解答：解：(1) BD=CE ; AM=AN , / MAN= / BAC ,/ / DAE= / BAC , / CAE= / BAD , 在 BAD和 CAE中 CAE BAD ( SAS),AE=ALZCAE=ZBADAOAB / ACE= / ABD ,/ DM=BD , EN= BM=CN , 在厶ABM和厶ACN中，BM=CNAB=AC ABM ACN (SAS), AM=AN , / BAM= / CAN，即 / MAN= / BAC ;(2) AM=k ?AN , / MAN= / BAC.点评： 本题考查三角形全等的判定方

17、法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS SAS、ASA、AAS、HL .判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺 什么条件，再去证什么条件.本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求得同类题目.a.6. （2008?台州）CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB . E, F分别是直线 CD上两点，且/ BEC= / CFA= /（1）若直线CD经过/ BCA的内部，且E, F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图 1,若/ BCA=90 / a=90则 BE = CF; EF = |BE - AF| （填 ”， Z ”或=

18、”）； 如图2,若0v/ BCA v 180请添加一个关于 / a与/ BCA关系的条件 / a+ / BCA=180 ，使中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2） 如图3,若直线CD经过/ BCA的外部，/ a= / BCA，请提出EF, BE , AF三条线段数量关系的合理猜想（不 要求证明）.考点：直角三角形全等的判定；三角形内角和定理.专题：几何综合题；压轴题.分析：由题意推出/ CBE= / ACF，再由AAS定理证 BCE CAF，继而得答案. 解答： 解：(1)/ / BCA=90 / =90 / BCE+ / CBE=90 / BCE+ / ACF=90 / CBE=

19、/ ACF ,/ CA=CB , / BEC= / CFA; BCE CAF , BE=CF ; EF=|BE - AF| . 所填的条件是：Z a+Z BCA=180 证明：在 BCE 中，Z CBE+ Z BCE=180 - Z BEC=180 - Z a./ / BCA=180 - Z a, Z CBE+ Z BCE= Z BCA .又/ Z ACF+ Z BCE= Z BCA , Z CBE= Z ACF ,又/ BC=CA , Z BEC= Z CFA, BCE CAF (AAS ) BE=CF, CE=AF ,又 EF=CF - CE, EF=|BE - AF| .(2) EF=B

20、E+AF .点评：本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识注意对三角形全等，相似的综合应用.7. （2007?绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1, 己知四边形 ABCD中，AC平分Z DAB ,Z DAB=60 Z B与Z D互补，求证：AB+AD=.小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题.（1） 特殊情况入手添加条件：2 B= Z D”，如图2，可证AB+AD3AC ;（请你完成此证明）（2） 解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分 别为E、F.（请你补全证明）考点：

21、直角三角形全等的判定.专题：证明题；压轴题；开放型.分析：（1）如果： Z B= Z D”，根据Z B与Z D互补，那么Z B= Z D=90 又因为Z DAC= Z BAC=30 因此我们可在直角三角形 ADC和ABC中得出AD=AB=丄?AC，那么AD+AB=.2（2） 按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD和BCD全等即可得到（1）的条件.根据 AAS可证两三角形全等， DF=BE .然后按照（1）的解法进行计算即可.解答：证明：(1) / Z B 与 Z D 互补，Z B= Z D , Z B= Z D=90 Z CAD= Z CAB Z DAB=30 .f|在 ADC

22、 中，cos30=,AL-AB+AD= ：-心ABC中，迹3*,(2)由(1)知,AE+AF= ；AC,/ AC为角平分线， CF丄CD , CE丄AB , CE=CF.而/ ABC与/ D互补，/ ABC与/ CBE也互补， / D= / CBE ./ 在 Rt CDF 与 Rt CBE 中，ZCEB=ZCFDZD=ZCBECE=CT Rt CDF 也 Rt CBE . DF=BE. AB+AD=AB+ (AF+FD ) = (AB+BE ) +AF=AE+AF= | .汨AC .点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本 题的关键.8

23、 (2007?常德)如图，已知 AB=AC ,(1) 若 CE=BD，求证：GE=GD ;(2) 若CE=m?BD ( m为正数)，试猜想GE与GD有何关系.(只写结论，不证明)考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题；压轴题；探究型.分析：(1) 要证GE=GD，需证 GDFGEC，由已知条件可根据 AAS判定.(2) 若 CE=m?BD (m 为正数)，那么 GE=m?GD .解答：证明：(1 )过D作DF / CE，交BC于F, 则 / E=Z GDF .-AB=AC , / ACB= / ABC -DF / CE, / DFB= / ACB , / DFB= / ACB= / ABC

24、 . DF=DB .-CE=BD , DF=CE,在厶GDF和厶GEC中，ZE=ZGDFZDSF=ZEGC ,DF=EC GDF GEC (AAS ). GE=GD .(2) GE=m?GD .点评:SSS、SAS、ASA、AAS、HL .本题本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有: 的辅助线是解决题目的关键.9. (2006?泰安)(1)已知：如图 ，在 AOB 和厶 COD 中，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=60 求证： AC=BD ; / APB=60 度；(2) 如图，在 AOB和厶COD中，若 OA=OB , OC=OD , / AO

25、B= / COD= a,贝U AC与BD间的等量关系式为AC=BD ; / APB的大小为_;(3) 如图 ，在 AOB 和厶 COD 中，若 OA=k?OB , OC=k?OD ( k 1), / AOB= / COD= a,贝 U AC 与 BD 间的考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理.专题：探究型.分析：(1) 分析结论AC=BD可知，需要证明 AOC BOD，围绕这个目标找全等的条件；(2) 与图 比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明 AOC BOD，方法类似；(3) 转化为证明 AOCBOD .解答：解：(1 ：/ AOB= / COD=60 / AOB+ / BOC= / COD+ / BOC .即: / AOC= / BOD .又/ OA=OB , OC=OD , AOCBOD . AC=BD .由得：/ OAC= / OBD ,/ Z AEO= / PEB, / APB=180。(/ BEP+ / OBD) , / AOB=180。(/ OAC+ / AEO), Z APB= Z AOB=60 (2) AC=BD , a(3) AC=k ?BD , 180。 a.囲点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知 条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方