专升本高数二概念

1、则称f(x)在D内严格单调增加();A第一章函数、极限和连续1.1 函数一、 主要内容函数的概念1. 函数的定义：y=f(x), x e定义域:D(f), 值域:Z(f).f(x) x D1y = f(X2),则称f(x)在D内严格单调减少()2. 函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3. 函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x q-x,+ 专周期：T最小的正数4. 函数的有界性：|f(x)|如,x qa,b)基本初等函数1.常数函数：y=c , (c为常数)2.幕函数：y=xn , (n为实数)3.指数函数：y=ax ,

2、（a 0、a 工1）4.对数函数：y=log a x ,（a 0、a 工1）5.三角函数：y=s in x , y=c on xy=ta n x , y=cot xy=secx , y=cscx6反三角函数：y=arcs in x, y=arcc on xy=arcta n x, y=arccot x复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u) , u= (x)3.无穷大量与无穷小量的关系:y=f(x) ,x 0 Xo左极限:lim f (x) = AX X0右极限:lim f (x) = AX Xg函数极限存的充要条件:定理：Ximf(x)=A=lim f(x)= lim f(x)二 AXX

3、 Xg无穷大量和无穷小量1. 无穷大量：lim|f(x)= 称在该变化过程中 f(x) 为无穷大量。X再某个变化过程是指：X , X , X , xxg, xXg, X X2. 无穷小量：lim f (xp 0称在该变化过程中 f(x) 为无穷小量。limf(x)=0二 lim定理：4.无穷小量的比较:f(x)lim 二 0,lim,(f(xp 0)若lim，则称B是比a较高阶的无穷小量;若lim（c为常数）,则称B与a同阶的无穷小量;若lim=则称B与a是等价的无穷小量，记作：B若定理:lim=若:则:lim两面夹定理,则称B是比a较低阶的无穷小量。lim1 .数列极限存在的判定准则:设：y

4、nXn 岂 Zn（n=1、2、3）lim 二 lim z an；n；：则:lim xn 二 an：二 lim w(x) - lim u2(x) - lim un(x)2. 函数极限存在的判定准则：设：对于点xo的某个邻域内的一切点（点xo除外）有：g(xp f(xp h(x)且:Mg(x)=lim h(x)二 AX xo则:lim f (x)=x Xo极限的运算规则若: lim u(x)二 A, lim v(x)二 B则: limu(x) - v(x) = limu(x)- limv(x)= A- B lim u(x) v(x)p lim u(x) lim v(xp A B u(x) lim

5、u(x) A im v(x) lim v(x) B ( l i rv(x) 0)推论： lim w(x)士 U2(x) un(x)两个重要极限 lim c u(x)p c lim u(x)lim u(x)n =lim u(x)lim Sin1. x- 0lim(x)； 0sin (x)(x)lim (12. x-:x)x = e1.3连续主要内容函数的连续性1.函数在x0处连续:f(x) 在x0的邻域内有定义,limof(xox)- f (x)r 0x 0m f(x)2 x xo=f(xo)左连续:lim f (xp f (x0)x X。右连续:lim f (x)二 f (x。)xX02.函数

6、在x0处连续的必要条件:定理： f(x) 在x0处连续f(x) 在x0处极限存在2。!呱心不存在;3. 函数在x0处连续的充要条件:定理:lim f (x)二x 、Xof(xo)-lim f (x)二x xlim f(xp f(xo)XXo4.函数在a, b1上连续:f(x) 在a, b 上每一点都连续。在端点a和b连续是指：xim+f(x)= f(a)左端点右连续; ximf(xP f(b)右端点左连续。a+ 0b-x5.函数的间断点：若 f(x) 在xo处不连续，则xo为 f(x) 的间断点间断点有三种情况：10 )x( f 在 X。 处无定义;3）x（ f在x0处有定义，且!叫0 f（X

7、）存在,但傀心f(x0)两类间断点的判断:1第一类间断点:特点:凹0f（x）和ximj（x）都存在。可去间断点：!i毀f（x）存在，但xinx0f(xV f(x0)，或)x(f 在 xo处无定义。2。第二类间断点:特点：Xx0limf（x）和 ximj（x）至少有，lim或Xx0f （x）振荡不存在。lim无穷间断点：Xx0f（x）和Ximj（x）至少有函数在X0处连续的性质1. 连续函数的四则运算：lim f （xp f（x。） lm g（x厂 g（x。）设 x 、 x0, x x0io恻心)g(X)=心)亦)2。惻心)g(x)= f(Xo) g(xo)3。2.，-f(x) limg(x)复

8、合函数的连续性:厂 f (u), uf (Xo)g(x。)( 、I i mg(xp o；厂 f (X)lim (x)= (Xo),XXo呵、f(u)= f (Xo) (Xo)则 lim(x)贝H X xo3. 反函数的连续性：巴氏(X)= f (Xo)厂 f(x),lim f (x)二X Xof(Xo)-fT(x), y= f(x)-1 -1limi f (y)= f (yo)y yo-1f (X)在a,b 上连续函数在 a,b 上连续的性质i.最大值与最小值定理：f(x) 在 a,b上一定存在最大值与最小值。yf(x)f(x)-M2.有界定理:f (x)在a,b 上连续 f (x)在a，b上

9、一定有界3.介值定理:f (x)在a,b上连续匚(a,b)内至少存在一点，使得:f(厂 c,其中：mMy0 a 3& bx推论：f (x)在a,b上连续，且f(a)与f (b)异号在(a,b)内至少存在一点,使得: f ()4. 初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的第二章一元函数微分学2.1导数与微分一、主要内容导数的概念1 导数： y f(x) 在xo的某个邻域内有定义,A-X .Imoxo fA-A-IXmxoxoy x=x f (Xo)二dydxX 二 Xo2.左导数:f (Xo)X X0f(X) f(Xo)X Xo右导数:f (Xo)X Xof(X) f(Xo)XXo定理

10、： f(x) 在xo处可导f(x) 在xo处连续定理： f(X) 在Xo的左(或右)邻域上连续在其内可导，且极限存在；则:f (xo) = lim f (x)XT xj(或:f (Xo) lim f (x)XT xo)3.函数可导的必要条件:4.函数可导的充要条件:F定理：yX = Xof (Xo)存在f(X。)f (Xo)，且存在。5.导函数：y二f (x),(a,b)f(X) 在 (a,b)内处处可导f (Xo)6.导数的几何性质:f (X。)是曲线y= f (x)上点M Xo,yo处切线的斜率。xo求导法则A1.基本求导公式:2.导数的四则运算:1。2。(u v)二 u v u v3。v

11、2(v0)3.复合函数的导数:y f(u), u (x), y f (x)2.导数与微分的等价关系:dy dy dudX dU dX，或 f(x) = f (x) (x) 注意 f(x)与 f r(X) 的区别：f(x) 表示复合函数对自变量 x求导；f (x) 表示复合函数对中间变量 (x) 求导。4.高阶导数： f (x), f (x),或f (X)f(n)(x)= f(n (x),叶 2,3,4 )函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。微分的概念1. 微分： f(x) 在x的某个邻域内有定义，厂 A(x) x o( x)其中： A(x)与x无关，0( x)是比x较高limZ=0阶的无穷小

12、量，即： x y 0 x则称 厂 f(x) 在x处可微，记作:dy A(x) x dy A(x)dx(x 0)定理： f(x) 在X处可微 f(x) 在X处可导,且：f (x)A(x)3.微分形式不变性:dy f (u)d u不论u是自变量，还是中间变量，函数的 微分dy都具有相同的形式。2.2中值定理及导数的应用、主要内容 中值定理1.罗尔定理： f(x) 满足条件:10在a,b上连续；2在(a,b)内可导；在(a,b)内至少存在一点a52. 拉格朗日定理：f(x) 满足条件:10在a,b上连续,20在(a,b)内可导;在(a,b)内至少存点，使得:f(b) f(a)b a2.曲线的单调性:

13、0罗必塔法则：(0，:型未定式) 定理： f(X)和 g(x) 满足条件:lim f(x)=0 (或)x- aio|im g(x)= 0(或)；x a2。在点a的某个邻域内可导，且 g(x) 0 ；lim匸凶二A,(或)3ox a()g (x)lim f(x = lim 匸凶=A,(或 ) 则：x a()g(x) x a()g (x)注意：1。法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限0即不是6型或型时，不可求导。3。应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4。若 f（X）和 g （x） 还满足法则的条件,可以继续使用法则，即：limf(x)x aC )g(x)li

14、mxa()f (x) g(x)limx a()f (x) g (x) I * oa esc _ ao-5。若函数是0,型可采用代数变0 二 yo则称z= f (x, y)在(x0, y0)极限存在，且等于A2. 连续定义：设z=f(x,y)满足条件：1在点(x0,y0)的某个领域内有定义。2 lim f(x,y) f(x,y)x Xoy y yo则称z f (x, y)在(xo, yo)处连续.偏导数:定义 :f（X，y）,在（X0，y）点fx(x,y)x- 0f (X0x,yo)Xf (Xo,yo)fy(xo,yo)y0f (xo,y y) 也yf (Xo,yo)fx(Xo,yo), fy(

15、Xo,yo)分别为函数 f (x,y)在(Xo,yo) 处对x, y的偏导数。z二f （x, y）在D内任意点（x,y）处的偏导数记为:fx(x, y)f(X, y)Zxfy(x,y)f (x,y)zy.全微分:1.定义：z=f(x,y)若 z f(xx, yy)f(x,y)A x B y o()其中，A、B与八x、，y无关，o)是比p = Ja x? + A y2较高阶的无穷小量贝U: dz 二 df(x, y)二 A x B y是z f(x, y)在点(x,y)处的全微分3. 全微分与偏导数的关系定理：若 fx(x,y), fy(x,y)连续,(x,yp D.则：z二f (x, y)在点(

16、x, y)处可微且dz fx(x, y)dx fy(x, y)dy.复全函数的偏导数：1.设：z= f(u,v),u = u(x, y),v= v(x,y) z f u(x,y),v(x, y)1则:y fu（x）,v（x）dy ydu y dvdxdxv dx（六）.隐含数的偏导数:1.设 F(x,y,z)f (x, y),且Fz 0z Fx则FyF，L、z y2.设F(x,y)= 0, y =Fzf(x),且 Fy 0FxFy二阶偏导数:fxx(x, y)2zfyy(x, y)2x2zz(_)fxy(x, y)=2y.2:z2zj : zfyx(x, y)()yx ex y结论：当fxy(

17、x, y)和fyx(x, y)为x, y的连续函数时，则：fxy(x, y) fyx(x, y)二元函数的无条件极值1. 二元函数极值定义：设z(x, y)在(x0, y0)某一个邻域内有定义 若z(x, yp z(Xo,yo),或z(x, y) z(Xo,yo” 则称z(x0,y0)是z(x , y)的一个极(或极/小值,称(x0, y0)是 z(x , y)的一个极(或极小值点。极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点。2.极值的必要条件：若z= f (x, y)在点(Xo,yo)有极值，且在(Xo,yo)两个一阶偏导数存在，则:fxgyo)0fygyo)01 使fx(xo

18、,yo fy(xo,yo 0的点(xo,yo)，称为z f(x,y)的驻点。2定理的结论是极值存在的必要条件,而非充分条件例：zy2x21zx2x = 0Zy2y 0解岀驻点x厂0i yo = 0z(o,o)t当 x 0, y 0时，z(0, y) y211当 x 0, y = 0时，z(x,0) = x211驻点不一定是极值点。5.极值的充分条件：设：函数y= f(x,y)在(x0,y0)的某个领域内有二阶偏导数且 y0)为驻点,若: Pfxy(x0,y02fxx(x,y。) fyy(X0,y)当: p 0且fxxgy0时，f(x0,y0)为极大值。 fxx(X0,y) 0时,f(x,y。)为极小值。当：p 0疔f(x0,y0)不是极值。当：p 0不能确定。求二元极值的方法：1求一阶偏导数，令两个 一阶偏导数等于零，解出驻点。2求出p,根据极值的充分条件， 判断驻点是否是极值点。3若驻点是极值点，求出 极值。二倍角公式：（含万能