投资学计算题v03概要

1、作业 1 债券、股票价值分析1、假定某种贴现债券的面值是 100 万元，期限为 10 年，当前市场利 率是 10%，它的内在价值是多少？ 债券的内在价值 V 100 10 38.55（万元）（1 0.1 ）102、某零息债券面值为 1000 元，期限 5 年。某投资者于该债券发行的 第 3 年末买入， 此时该债券的价值应为多少？假定市场必要收益率 为 8% 。第 3 年末购买该债券的价值10001 0.08)5 3857.34（元）注： 零息债券期间不支付票面利息，到期时按面值偿付。 一次性还本付息债券具有名义票面利率，但期间不支付任 何票面利息，只在到期时一次性支付利息和面值。 无论是零息债

2、券还是一次性还本付息债券，都只有到期时 的一次现金流，所以在给定条件下，终值是确定的，期间的买卖价格， 需要用终值来贴现。 无论时间点在期初、还是在期间的任何时点，基础资产的 定价都是对未来确定现金流的贴现。3、某 5年期票面利率为 8%、面值为 100 元的一次性还本付息债券， 以 95 元的价格发行，某投资者持有 1 年即卖出，当时的市场利率 为 10% ，该投资者的持有期收益率是多少？持有1年后的卖价Par (1 i)nm (1 r )m100 (1 8%)5(1 10%)4100.3571(元)投资收益率 100.359751 95 100% 5.639%注：运用补充的一次性还本付息债

3、券定价公式求解。4、某面值 1000 元的 5 年期一次性还本付息债券，票面利率为 6， 某投资者在市场必要收益率为 10时买进该债券，并且持有 2 年正好到期，请问该投资者在此期间的投资收益率是多少？3年后的买入价Par (1 i )n m (1 r )m51000 (1 6%)52(1 10%)21105.97（元）债券终值 Par (1 c)n 1000 (1 6%)5 1338.23(元)2年的投资收益率100% 21%1105.97或经代数变换后，投 资收益率 （1 r ）m 1 （1 10%）2 1 21% ） 则年投资收益率 21%/ 2 10.5%注：收益率、贴现率等利率形式均

4、是以年周期表示，即年利率。5、某公司发行面值 1000元、票面利率为 8%的 2年期债券 （票息每年支付两次）。若市场必要收益率为 10%，请计算该债券的价格。解 1（用 附息债券定价公式 计算）：该债券的价格 40n 10004 964.54 （元）n 1 1.05n 1.054解 2（用 普通年金现值公式 简化计算）：该债券的价格1000 4%41 1/ 1.05410% / 210001.054964.54 ( 元)6、某机构持有三年期附息债券，年息 8%，每年付息一次。 2 年后该 债券的价格为每百元面值 105 元，市场利率为 10%，问该机构应卖 掉债券还是继续持有？为什么？2 年

5、后的理论价值 108 (1+10%) 3-2 98.18 元 而市场价格为 105 元，高估，应卖出。7、面值是 1000 美元，年利率 10%的 3 年期国债， 债券每年付息一次， 该债券的内在价值是多少？假设当前市场利率为12%。该债券的内在价值 100 100 2 100 10030 951.96 (元 )1 0.12 1 0.12 2 1 0.12 38、某债券的价格 1100美元，每年支付利息 80 美元，三年后偿还本金 1000 美元，当前市场利率 7%，请问该债券值得购买吗？ 该债券的内在价值 V 80 80 2 1080 3 1026.24(元)1 0.07 1 0.07 2

6、1.0.07 3NPV V P 1026.24 1100 73.76因为净现值小于 0，所以该债券不值得购 买。9、小李 2 年前以 1000 美元的价格购买了 A 公司的债券，债券期限 5 年，票面利率是 10%。小李打算现在卖掉这张剩余到期时间还有3年的债券，请问小李能以多少价格出售这张债券？现在市场利率是 8%。两年后的卖价 P C 1 C 2 C 3 Par 3(1 r) 1 (1 r)2 (1 r) 3 (1 r) 3100 100 11001.08 1.082 1.083 1051.54(元)注： 债券的面值通常都是单位整数，如 100 元、 1000 元。即 使题目未明确说明，其

7、面值都是隐含已知的。低于面值的交易价格被称为折价交易；高于面值的交易价 格被称为溢价交易；等于面值的交易价格被称为平价交易。10、某投资者在市场上购买了一种 10 年期债券， 债券面值为 1000 元， 息票率为 8%，一年付息一次， 当前市场利率为 12%。投资者决定一年后将该债券售出。（1）如果一年后市场利率下降到 10%，求这一年中投资者的实际 持有收益率。（ 2）如果投资者在第一年末没有出售债券， 并在以后两年中继续 持有，债券所支付的利息全部以10%的利率进行再投资。那么，当两年后投资者将该债券卖出时，投资者的持有期收益率为多 少？（1）持有第 1 年的收益期初价格 P080 n 1

8、000 10 773.99（元）0 n 1 （1 12%）n （1 12%）109 80 1000第1年末价格 P1n 9 884.82（元）1 n 1 （1 10%）n （1 10%） 9 持有第1年的收益率 Pt Pt 1 Dt 884.82773.9924.66%Pt 1773.99（2）持有 3 年的收益第 3年末价格 P380 n 1000 7 902.63（元）3 n 1 （1 10%）n （1 10%）7 利息及利息再投资 80 （ 110% ）2 80 （110% ）1 80 264.80（元） 若采取复利方式计算 ，3年期的持有期收益率为 ： 773.99 （1 R）3 90

9、2.63 264.80 解得 R 14.68%（ R为年持有期收益率） 若采取单利方式计算 ， 3年期的持有期收益率为 ： R 902.63 264.80 1 16.94% （ R为年持有期收益率） 773.99 3注：对于附息债券的持有期收益率计算，因为涉及票面利息的再投资收益，所以可以选择单利或复利的形式来计算。11、一个附息率为 6%，每年支付一次利息的债券，距到期有 3 年，到 期收益率为 6%，计算它的久期。 如果到期收益率为 10%，久期又 是多少？解 1（用 Excel 计算）到期收益率为 6%未来现金流支付时间未来现金 流未来现金流的现值PV(ct) t久期（D）1605757

10、2.8326053107310608902670合计10002833到期收益率为 10%未来现金流支付时间未来现金流未来现金流的现值PV(ct) t久期（D）16055552.822605099310607962389合计9012543解 2（用久期公式计算）（ 1）到期收益率为 6时5债 券 面 值 100 元 的 当 前 市 场 价 格61 0.066 6 100 (1 0.06) 2 (1 0.06)31003 6 100 tt 债券久期 D t 1(1 0.06)(1 0.06)100332.83（年）2）到期收益率为 10时债 券 面 值 100 元的当前市场价格6 6 6 100P

11、 1 0.1 (1 0.1)2 (1 0.1)3 90.053 6 t 100 债券久期 D t 1(1 0.1)90.05(1 0.1)32.82（年）12、一个债券久期为 3.5 年，当到期收益率从8%上升到 8.3%时，债券价格预期的变化百分数是多少？dP drDP （1 r）8.3% 8%3.5 0.9722%5 年内，预期每年要支1 8%13、某保险公司当前出售一批健康险，在未来付客户 1000 万保险赔付金。保险公司投资部计划通过投资债券的方式满足这个要求。 市场现在有两种债券 A 、B，票面金额都是 1000 元，A 的票面利率 10%、期限 10 年、每年付息一次；债券 B 的

12、票 面利率 8%，期限 3 年、每年付息一次，要使债务完全免疫，每种 债券的持有量是多少？当前市场利率为 10%。保险公司久期未来现金流支未来现未来现金流PV(ct) t久期6付时间金流的现值(D)110009099092.81210008261653310007512254410006832732510006213105合计379110653A 债券久期未来现金流支付时间未来现金流未来现金流的现值PV(ct) t久期（D）110091916.7621008316531007522541006827351006231061005633971005135981004737391004238210

13、11004244241100067597B 债券久期未来现金流支付时间未来现金流未来现金流的现值PV(ct) t久期（D）18073732.78280661323108081124349502639解25 1000P保险金i 1 (11000.01)i 3790.79D保险金PV(ct ) tt 1 t 10652.56 t 1 2.813790.79P保险金PA10 100 i 1 0 100 01 0 0 0 i 1 (1 0.1) i (1 0.1)10DA3PV(ct ) tt 1 t 6759.056.761000PA3 80PBi 1000 3 950.3B i 1 (1 0.1)

14、i (1 0.1)3DB3 PV(ct ) tt 1PV(ct ) t 2639.2 2.78950.3PADP WADA WB DB WA 6.76 (1 - WA) 2.78WA =0.75WB =99.2514、某基金管理公司已建立一个养老基金，其债务是每年向受益人支 付 100万元，永不中止。 基金管理人计划建立一个债券组合来满足 这个要求，所有债券的到期收益率为 10%。债券由 A 、B 组成，票 面金额 1000 元，A 的票面利率 10%、期限 3 年、每年付息一次； 债券 B 的票面利率 8%，期限 15 年、本金利息之和在最后一年支 付，要使债务完全免疫，每种债券的持有量是多

15、少？D永久债券111D养老基金 1 101% 11（年）1000 (元)100 100 11001 10% (1 10%)2 (1 10%)33PV(Ct ) tt 12.74( 年 )PA15PB759.39 (元)1000 1 8% 151 10% 15DB PBP t 15(年 )PBD养老金 WADA WBDB , 其中， WA WB 1 即 11 2.74WA 15(1 WA )WA 32.63% ， WB 67.37%股票1、假设某公司现在正处于高速成长阶段， 其上一年支付的股利为每股1 元，预计今后 3 年的股利年增长率为 10%， 3 年后公司步入成熟 期，从第 4 年开始股利

16、年增长率下降为 5%，并一直保持 5%的增长速度。如果市场必要收益率为 8%，请计算该股票的内在价值。3Vt1D0(1 g1 )t(1 k)tD0(1 g1 )3(1 g2 )3(1 k )3( k g2 )2 3 31 (1 10%) 1 (1 10%)2 1 (1 10%)31 1 (1 10%)3(1 5%)2 3 31 8% (1 8%)2(1 8%)3(1 8%)3(8% 5%)40.09(元)注：不管是 2阶段，还是 3 阶段、n 阶段模型，股票估值都是计算期 0时点的价格或价值，所以对第 2 阶段及以后阶段的估值，均需要贴现 至 0 时点。这一点要切记！2、某公司预计从今年起连续

17、 5年每年发放固定股利 1 元，从第 6年开 始股利将按每年 6%的速度增长。假定当前市场必要收益率为8%，当前该股票价格为 50 元，请计算该公司股票的内在价值和净现值，1 (1 6%)(8% 6%)40.06 (元)并对当前股票价格的高低进行判断1 n (1 8%)5 n 1 1 8% n (1 8%)5NPV V P 9.94(元)NPV 0，该股票被高估。3、某股份公司去年支付每股股利 1 元，预计在未来该公司股票股利按每年 6%的速率增长， 假定必要收益率为 8%，请计算该公司股票的内在价值。当前该股票价格为 30 元，请分别用净现值法和内部收益率法判断该股票的投资价值1）净现值法：

18、1 (1 6%)8% 6%53( 元 )NPV V P 23 0 ，所以当前股票价格被 低估，建议购买该股票2）内部收益率法：1030=1 （1 6%） ， r9.5%8%（必要收益率）r 6%当前股票价格被低估，建议购买该股票。4、某上市公司上年每股股利为 0.3 元，预计以后股利每年以 3的速 度递增。假设必要收益率（贴现率）是 8%。试用股利定价模型计 算该股票的内在价值。 若该股票当时股价为 5 元，请问该股票是被 低估了还是被高估了？应如何操作该股票？股票内在价值 V 0.3 （1 3%） 6.18（元）8% 3%NPV V P 6.18-5 1.18（元）该股票被低估，应该买入。5

19、* 、假定某公司发行股票 3000 万股，股款到位期为 2008 年 7月 1日， 当年预期的税后利润总额为 1800万元（其中 16 月为 600万元， 7 12 月为 1200 万元），公司发行完新股后的股本总额为 6000 万 股。该公司股票发行市盈率为 15 倍。试用市盈率法确定该股票的 发行价格。（每股税后利润要求采用加权平均法计算） 每股税后利润 1800（ 3000 3000 2） 0.4 元 或：每股税后利润 6003000120060000.4 元 发行价 0.4 15 6 元 注：由于本题涉及股票的相对估值模型，不要求掌握。感兴趣的同学可以查询一下加权市盈率、摊薄市盈率的知

20、 识。6、某上市公司上年每股股利为 0.4 元，股利分配政策一贯坚持固定股 利政策。假设投资必要收益率（贴现率）是8%。试用股利定价模11 型计算该股票的内在价值。 若该股票当时股价为 4 元，请问该股票 是被低估了还是被高估了？应如何操作该股票？股票内在价值 V 0.4 5（元）8%NPV V P 5- 4 1（元）该股票被低估，应该买入。7、某投资者打算购买一只普通股并持有一年， 在年末投资者预期得到 的每股现金红利为 1.50 元，预期股票一年后可以以 26 元的价格卖 出。如果投资者想得到 15%的回报率， 现在投资者愿意支付的最高价格为多少？( Pt Pt 1 ) DtrtPt 11

21、5% 26 P0 1.50P0P0 23.91(元)五、计算题1、假设某投资者选择了 A、B 两个公司的股票构造其证券投资组合， 两者各占投资总额的一半。已知 A 股票的期望收益率为 24%，方差为 16%，B 股票的期望收益为 12%，方差为 9%。请计算当 A 、B 两只股 票的相关系数各为： （ 1） AB 1；（2） AB 0 ；（ 3） AB 1时，该投资 者的证券组合资产的期望收益和方差各为多少？解： rP 0.5 24% 0.5 12% 18%2 2 2 2 2P xA A xB B 2xA xB A B AB（1）当 AB 1时，P2 0.52 0.16 0.52 0.09 2

22、 0.5 0.5 0.16 0.09 1 12.25%12（2）当 AB 0 ， P2 0.52 0.16 0.52 0.09 6.25%（3）当 AB 1 ，P2 0.52 0.16 0.52 0.09 2 0.5 0.5 0.16 0.09 1 0.25%2、过去 5 年中，某投资者持有 A、B 两股票的年收益率如下：年份A 股票B 股票10.190.0820.080.0330.120.0940.030.0250.150.04算术平均值0.0540.016标准差0.128180.0634821）试计算每只股票的算术平均收益率，哪只股票更合意？2）计算每只股票的标准差，哪只股票更好？3、某投

23、资组合等比率地含有短期国债、长期国债和普遍股票，它们的 收益率分别是 5.5%、 7.5%和 11.6%，试计算该投资组合的收益率。 解： rP 1 5.5% 7.5% 11.6% 8.2%P34、某公司下一年的预期收益率如下：可能的收益率概率0.100.250.000.150.100.350.250.25预期收益率7.25%方差16.369%试计算投资该公司股票的预期收益率和方差注：i1的Rip是i 期望和方差的数学定义公式，即：13n2 Var( R)pi Ri E R 2i125、有三种共同基金：股票基金 A ，债券基金 B 和回报率为 8%的以短 期国库券为主的货币市场基金。其中股票基

24、金 A 的期望收益率 20， 标准差 0.3；债券基金 B 期望收益率 12，标准差 0.15。基金回报率 之间的相关系数为 0.10。求两种风险基金的最小标准差资产组合的投资比例是多少？这种资产组合收益率的期望值和标准差各是多少？解：PwA A wB B 2wAwB A BAB2 2 2 2 wA2 A2(1wA)2 B2+2wA(1wA) A B AB2P 2 22wA A 2(1 wA ) B 2(1 wA ) A B AB 2wA A B AB 0 wA0.15 0.15 0.3 0.15 0.12B A B ABWAB A B AB 0.15 0.15 0.3 0.15 0.1 17

25、.4%AA2B2 2 A B AB 0.3 0.3 0.15 0.15 2 0.3 0.15 0.1WB 82.6%E(RP)17.4%0.282.6%0.1213.4%13.9%6、股票 A 和股票 B 的有关概率分布如下：状态概率股票 A 的收 益率( %)股票 B 的收 益率( %)10.101081420.2013730.2012640.3014950.20158期望收益13.27.7标准差1.471.1协方差0.0076相关系数0.47（1）股票 A 和股票 B的期望收益率和标准差分别为多少？（2）股票 A 和股票 B的协方差和相关系数为多少？（ 3）若用投资的 40%购买股票 A，

26、用投资的 60%购买股票 B，求 投资组合的期望收益率（ 9.9%）和标准差（ 1.07%）。（4）假设有最小标准差资产组合 G，股票 A和股票 B在 G 中的权 重分别是多少？解：（ 4）2WA2 B 2 A2A2 B2 2WB 75.7%B AB 24.3%A B AB7、建立资产组合时有以下两个机会： （ 1）无风险资产收益率为 12；（2）风险资产收益率为 30，标准差 0.4。如果投资者资产组合的标 准差为 0.30，则这一资产组合的收益率为多少？解：运用 CML 方程式15E(RP) RF E(RM ) RF30% 12%E（RP ） 12% 0.3 25.5%P 0.48、在年初

27、，投资者甲拥有如下数量的 4 种证券，当前和预期年末价格 为：证券股数（股）当前价格（元）预期年末价格（元）A100815B2003540C5002550D1001011这一年里甲的投资组合的期望收益率是多少？证券股数（股）当前价 格（元）预期年末 价格（元）总价 值权重收益率组合收益率A1008158003.76%87.50%3.29%B2003540700032.86%14.29%4.69%C50025501250058.69%100.00 %58.69%D100101110004.69%10.00%0.47%总计213001.000.671362169、下面给出了每种经济状况的概率和各个

28、股票的收益：经济状况概率A 股票收益 率B 股票收益 率好0.215%20%一般0.58%15%差0.31%-30%1）请分别计算这两只股票的期望收益率、方差和标准差；E（RA）7.3% A 4.9%E（RB）2.5% B21.36%2）请计算这两只股票的协方差和相关系数；AB 0.009275 AB 0.883）请用变异系数评估这两只股票的风险；CV（A） 4.9% 7.3% 0.671CV（B） 21.36%2.5%8.544结论： 与 A 股票相比， 投资 B 股票获得的每单位收益要承担 更大的投资风险（ 4）制作表格，确定在这两只股票不同投资比重（A 股票比重从0%开始，每次增加 10

29、%）时，投资组合的收益、方差和标准差。AB 组合收益与风险投资权重预期收 益（）相关系数 0.88A 股票B 股票标准差（）方差（）107.34.900.240.90.16.826.370.41170.80.26.347.940.630.70.35.869.570.920.60.45.3811.221.260.50.54.912.891.660.40.64.4214.572.120.30.73.9416.262.640.20.83.4617.963.220.10.92.9819.663.86012.521.364.56（ 5）在风险 /收益图中标出（ 4）计算的结果，并找出方差最小时 两只股票

30、各自的投资比重；风险收益图方差最小： A 股票投资比重 100%，B 股票投资比重 0%6）你会用怎样的投资比重来构建一个资产组合？请做出讨论。 全部资金投资 A 股票10、假定 3 只股票有如下的风险和收益特征：股票期望收益标准差A5%8%B12%15%C12%15%股票 A 和其他两只股票之间的相关系数分别是： A,B 0.35 ，A,C 0.35 。181）根据投资组合理论，判断 AB 组合和 AC 组合哪一个能够获得更多的多样化好处？请解释为什么？AC 组合能够获得更多的多样化好处，因为相关程度越低，投资组 合分散风险程度越大。（ 2）分别画出 A 和 B 以及 A 和 C 的投资可能

31、集；投资比重预期收相关系数0.35投资比重预期收相关系数-0.35B 股 票C 股 票A股 票益（）标准差（）方差（A股 ）票益（）标准差（）方差 （）1058.000.64 1058.000.640.90.15.77.850.62 0.90.15.76.820.470.80.26.47.960.63 0.80.26.46.040.370.70.37.18.320.69 0.70.37.15.830.340.60.47.88.900.79 0.60.47.86.240.390.50.58.59.660.93 0.50.58.57.160.510.40.69.210.551.11 0.40.69.28.430.710.30.79.911.561.34 0.30.79.99.920.980.20.810.612.651.60 0.20.810.611.541.330.10.911.313.801.90 0.10.911.313.241.75011215.002.25 011215.002.25率益收望期3）AB 中有没有哪一个组合相对于 AC 占优？如果有，请在风19 险/收益图上标出可能的投资组合。从图中可见， AB 中任一组合都不占优于 AC 。11、假定无风险利率为 6，市场收益率为 16，股票 A 当日售价为25 元，在年末将支付每股 0.5元的红利