微分方程541190001

1、第十二章 微分方程一、一阶微分方程1基本概念一阶微分方程形式： F( x, y, y ) 或0 y f (x, y)一阶微分方程的解：使微分方程 F(x, (x), (x) 0 恒成立的 y (x)一阶微分方程的通解：含有一个任意常数的解 y (x,C)初始条件： y|x x0 y0 。y f (x,y) 一阶微分方程特解：初值问题 y f (x,y) 的解。y|x x0 y02一阶微分方程的类型及解法一阶微分方程有以下几种形式：( 1)可分离变量方程： dy f (x)g(y)dx11 解法：分离变量 dy f (x)dx ；两边同时积分， dy f(x)dx g(y) g(y)2)齐次方程

2、： dyy (或 dxx )dxx dyy1du dxx解法：令 u y，则 y xu， dy u xdu ，然后代入方程中化为可分离变量型方程 x dx dx3)一阶线性微分方程：dy P(x)y Q(x) (或 dx P(y)x Q(y) dx dy(u) u解法：一是利用通解公式： y e Q(x)e dx C ；二是应用常数变异法 .4)伯努利方程： dy P(x)y Q(x)yn (n 0,1)(或 dx P(y)x Q(y)xn(n 0,1) dx dy5)全微分方程：解法：通过变量代换 z y1 n ，将方程化为一阶线性微分方程 dz (1 n)P(x)z (1 n)Q(x) d

3、x解法：通解为 u(x,y) c(x,y)u(x,y) (x,y )P(x,y)dx Q( x, y) dyxyyxP(x, y0 )dxQ(x,y)dyQ(x0, y)dyP(x,y)dxx0y0y0x0P(x, y)dx Q(x, y)dy 0满足P y(6)可化为齐次的方程： dy ax by cdx a1x b1y c1解法：令 x X h,y Y k，化为 dY aXbYahbkc ，解方程组dXa1Xb1Ya1hb1kc1ah bk c 0 a1h b1k c1 0得出 h 和 k，化为齐次方程dYdXaX bYa1X b1Y对于上面六种类型的方程，它们各自都有固定的解法。如果所给

4、的方程按上述思路不能转化为已知类型的方程，这时常用的方法和技巧如下：A熟悉常见的微分方程形式；B选取适当的变量代换，转化成上述可解类型的方程；C变换自变量和因变量(即有时把y 看成自变量，而考虑dy的方程类型)；2x t例 1】若连续函数 f (x)满足关系式： f (x) 0 f (t) dt ln2，求 f(x)解：求导得 f ( x) 2f (x ) 为可分离变量的方程分离变量为df (x) 2dx f (x)积分得l nf (x ) 2x lCn因此，所求通解为f (x) Ce2x将 f (0) ln 2代入得 C ln 2 ，所以 f (x) ln2e2xu xd u 1 ucosu

5、 secu u d x c osu例 2】求微分方程 (x y cos y )dx xcos ydy 0的通解。 xx即x du secu 为可分离变量的方程 dx分离变量dxc osudux积分得si nu l xn lCn所以s i unxeC si yn故原方程的通解为x Ce x解：令u xy，则 y xu，ddxy u xddux ，可化为【例 3】求微分方程 (2x 5y 3)dx (2x 4y 6)dy 0的通解。解：令 x X h, y Y k ，则 dx dX,dy dY ，代入方程得(2X 5Y 2h 5k 3)dX (2X 4Y 2h 4k 6)dY 0 ，解方程组 22

6、hh 54kk 36 00 得 kh 11令 x X 1,y Y 1，原方程化为齐次方程dY 2X 5Y dX 2X 4Y2 5YX2 4 YXY dY du 令u YX ，则Y Xu ，ddXY u X ddXu ，代入上式得uXdudX2 5u2 4u即XdudX22 7u 4u22 4u，分离变量4u 24u2 7u 2dudX积分得 ( 4u 1u)( 22 ) C3将 X x 1,Y y 1带入得 (4y x 3)(y 2x 3)2 C【例 4】求微分方程 (1 y)dx (x y2 y3)dy 0 的通解。解：因为所以故原方程的通解为dy 1 y23 dx x y ydx 1 x

7、y2 为一阶线性微分方程dy 1 y1 ydy 2 1 ydyx e y e dy C11y y2(1 y)dy C11y3(y33C)【例 5】求方程 x2 dy xy y2 满足 y(1) 1 的特解。dx解法 1：将原方程整理成 y yy ，即标准的齐次方程，xx令u y 代入原方程得 2du1dxx u 2u x解得 u 2 Cx2，即 y 2x Cx2 uy代入 y(1) 1有 C1，原方程特解是 22xyx2 1解法 2：整理原方程得 y 1 y 12 y2 ，为贝努利方程， xx解之得令z 1代入原方程得 z 1z12 ，是以 z为未知数的一阶线性方程，y x x111z1Cx

8、，即 11Cx2x y2x将 y(1)1代入得 C1 ，原方程特解是 22x y2x2 1【例 6】求微分方程 (xe ydy e ydx) dy 0 的通解解：因为 P e y Q ，故此方程为全微分方程。取 (x0,y0) (0, 0)，则 yx(x,y) y yu(x,y) (0,0) ( e y)dx (xe y 1)dy( e y)dx(0 e y 1)dy xe y y所以原方程的通解为 y xe y C 【例 7】求 y (4x y 4) 2的通解解：令u 4x y 4，y u 4x 4，则 dy du 4，代入原方程中，得 dx dxdu 2u 4 ，dx此方程为可分离变量得方

9、程。分离变量得du2 dx u2 4积分1uarc tan x C12 2 11 4x y 4将 u 4x y 4代回，得通解 12arctan4x 2y 4 x C1即 y 2 t an(x2 C ) x4例 8】求微分方程 xy y y(ln x ln y) 的通解。分析：原方程为非标准型方程，把它可化为 xdy ydx y(ln x ln y)dx ，用凑微分法， 可变形为 d(xy) y ln( xy)dx ，则进行变量代换 xy u 。用凑微分法，可变形为d( x y) yl n (x y) d x令 xy u ，则方程变为du uln udx ，此方程为可分离变量的方程。 x解：因

10、为xdy ydx ( lyn xl n )y dx11分离变量 du dxuln u x积分得 l n( lun ) xln Cl nl nu C x故原方程的通解为 y 1eCx xx【例 9】设 f (x) 可导，且满足方程 x2 f(x) tf (t)dt ，求 f (x) 解：等式两边对 x求导得2x f ( x) xf( x)f ( x) xf( x) 2 x为一阶线性非齐次微分方程，且 f (0) 0，解得x2x2( x)dx ( x)dxf (x) e ( 2xe dx C) e 2 ( 2xe 2 dx C)x2将 f (0) 0代入得 C 2 ，所以x2f( x) 2(1 e

11、2 )x2x2e2 (2e 2 C) 2 Ce2例 10】设曲线积分 yf ( x)dx (2xf (x) x2)dy 在右半平面 (x 0) 内与路径无关，其中解：因为曲线积分与路径无关，所以Q xP， ， y得2( 2x f (x ) 2x ) (yf (x ) ) xy即2f (x )2xf(x)2xf (x亦即f ( x)12xf( x)1f(x) 可导，且 f (1) 1，求 f (x).可解得此一阶常系数非齐次线性微分方程的通解为f (x) e(e1 dx 22x dx C) x3再由 f(1) 1 ，可得特解 f(x) 2 x 1 .3 3 x二、 高阶微分方程1高阶微分方程的定

12、义： F(x,y, y, ,y(n) 02可降阶的高阶微分方程类型及解法 可降阶的高阶微分方程有三种类型：(1) y(n) f (x)解法：逐次积分(2) y f (x, y) 特点：不显含 y的方程解法：设 y p，则 y p ，代入方程中得 p f (x, p) 。已降为一阶2) y f (y , y) 特点：显含 x 的方程解法：设 y p，则 y ddyp ddyx pddpy代入方程中得 pdp f (y,p) ，已降为一阶 dy【例 1】求微分方程 (1 x)y y ln (x 1)的通解.解：由于不显含 y，令 y p(x)，则 y p ，代入原方程得 (1 x)p p ln(x

13、 1)即利用公式得p 1 px l n1x( x 1)为一阶线性微分方程p e 11xdx( ln(1 x)e 11xdxdx C1) e ln(1 x)( ln(1 x) eln(1 x)dx C1)1 x 1 x11x( ln(1 x)dx C1) ln(1 x) 1C11x即积分得y l n(1x ) 1C11xy (x C1)ln(x 1) 2x C2例 2】求微分方程 y y (y )2 0满足初始条件 yx 0 1, y x 0 1 的特解。解：由于不显含 x，令 y p(y)，所以 y pp ，代入原方程得 yp p 2p 0所以 p 0 或 yp p 0当 yp p 0 时，此

14、方程为可分离变量的方程，分离变量得 dp dy py积分得 l n |p | l ny | | C1 ，l n所以 ， p C1 ， 即 y C1 yy将 y x 0 1, y x 0 1 代入得 C1 1 ，从而 y 1x 0 x 0 2 2 2y 分离变量得 y2 x C2，将 yx 0 1代入得 C2 1 所求方程的特解为 y2 x 1当 p 0时，即 y 0，积分得 y C ，特解为 y 1，含在 y2 x 1内3二阶线性微分方程的解的结构二阶线性齐次微分方程： y P( x) y Q( )x y 0 二阶线性非齐次微分方程： y P(x)y Q(x)y f(x)解的结构性质：(1)若

15、 y1和 y2是齐次方程的解，则 C1y1 C2y2 齐次方程的解。(2)若 y1和 y2是齐次方程的线性无关解，则 C1y1 C2y2 是齐次方程的通解。(3)若Y C1y1 C2y2是齐次方程的通解， y* 是非齐次方程的特解，则 Y y*是非齐 次方程的通解。(4)若 y1和 y2分别是非齐次方程的特解，则 y1 y2 是非齐次方程的特解。(5)若 y1和 y2分别是非齐次方程的特解，则 y1 y2 是对应齐次方程的特解。4二阶常系数线性微分方程( 1)二阶常系数齐次方程：y py qy 0解法：由特征方程 r 2 pr q 0 ，解出特征根 r1和 r2。通解为：当 r1 r 2 (实

16、根)时， y C1er1x C2er2x ；当 r1 r2 时， y (C1 C2 x)er1x；当 r1,2i 时， y e x(C1cos x C2sin x) 。(2)二阶常系数非齐次方程特解y py qy f(x)解法： 1)写出特征方程并求根； 2)求对应的齐次线性方程的通解 Y ；3)根据不同类 型的自由项 f (x) ，利用待定系数法求出一个特解 y ；4)写出原方程的通解 Y y* 。自由项有两种： 当 f(x) e xPm (x)时，原方程的特解形式是 y* xkQm(x)e x 。 当 f(x) e xPl (x)cos x Pn ( x) sin x时，原方程的特解形式是

17、y* xke x Rm(1) ( x) cos x Rm(2) ( x) sin x。【例 1】设 p(x) , q(x)和 f (x) 都是 x 的连续函数，并设线性无关的函数 y1 , y2 , y3都是 阶非齐次线性方程 y p(x)y q(x)y f (x) 的解， c1 ,c2 是任意常数，则该非齐次方 程的通解是(A) c1 y1 c2 y2 y3(B) c1 y1 c2 y2 (c1 c2) y3(C) c1 y1c2 y2(1c1c2)y3(D)c1 y1c2 y2(1c1c2) y3【 】解：因为 y1 , y2 , y3 是二阶非齐次线性方程的解，且线性无关，所以y1 y3

18、 ， y2 y3是对应齐次方程的两个线性无关的特解，非齐次线性方程的通解为：y Y y* c1(y1 y3) c2 (y2 y3) y3c1 y1 c2 y2 (1 c1 c2)y3【例 2】具有特解 y1 e x, y2 2xe x ,y3 3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是(A) y y y y 0 (B) y y y y 0(C) y 6y 11y 6y 0 (D) y 2y y 2y 0 【 】解：由特解知 r1 r2 1, r3 1，代入(A),(B),(C),(D) 的特征方程验证 (B)满足。【例 3】求微分方程 y 4y 4y e 2x的通解 .解：特征方程为 r2 4r 4

19、 0 ，解得特征根 r1 r2 2 ， 则齐次方程通解是 Y C1e 2x C2xe 2x 因为 f (x) e 2x 为e xPm(x)型，2,m 0 ，且2为重根，可设特解 y* x2ae 2x，将 y* , y* 代入原方程得 a 1 ，即 y* 1 x2e 2x22所以通解为 y Y y* C1e 2x C2xe x2 1 x e2 x 2122【例 4】 求方程 y y sinx ex 的通解解：特征方程为 r 2 1 0 ，解得特征根 r1,2 i ，则齐次方程通解是Y C1 cosx C2 sinx其中 f1(x) ex为e xPm(x)型， 1,m 0，且1不是特征根，可设特解

20、 y1* aex，代入原方程得 a 1，即 y1* 1ex2 1 2f2(x) sinx为e xPl(x)cos x Pn ( x)sin x型， 0, 1,l 0,n 0，且 ii为1 * 1 特征根，可设特解 y*2 x(bcosx c sin x) ，代入原方程得 c 0,b1，即 y2*1 xcos x22 故原方程的特解y* y1* y2 * 1ex 1 xcosx，22 1x 所求通解为 y C1c osx C2sinx (ex xco xs)1 2 2【例 5】设函数 y y(x) 满足微分方程 y 3y 2y 2 ex ，且其图形在点 (0 ,1)处的切线 与曲线 y x2 x

21、 1在该点的切线重合，求函数 y y(x).解：特征方程为 r2 3r 2 0 ，解得特征根 r1 1， r2 2则齐次方程通解是 Y C1ex C2e2x因为 f (x) 2ex为e xPm(x)型， 1,m 0 ，且 1为单根，可设特解 y* xaex ，代入原 方程得 a 2 ，即 y* 2xex所以通解为 y Y y* C1ex C2e2 x 2xexy C1ex 2C2e2x 2ex 2xex因为 y y(x) 的图形在点 (0,1) 处的切线与曲线 y x2 x 1在该点的切线重合，所以y|x 0 1, y |x 0 1代入 y, y 得 C1 1,C2 0 ，则 y (1 2x)

22、e【例 6】设 f (x)具有二阶连续导数， 且f(0) 0 ，f (0) 1 ，已知曲线积分(xe2x 6f ( x) sin ydx (5f (x) f (x)cosydy 与积分路径无关，求 f (x).Py Qx ，得 yxx(5f(x) f (x)cos yy(xe2xy6f (x)sin y10解：因为曲线积分与路径无关，所以，根据曲线积分与路径无关的条件 5f (x ) f (x ) coysf6 x( ) cyos亦即f (x) 5f (x) 6f (x ) 2xxe可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为f (x) C1e2x C2e3x x(x 2)e2x2再由 f (

23、0) 0， f (0) 1 ，可得特解 f (x) 2e2x 2e3x x(x 2)e2x2xx【例 7】设函数 f ( x)连续，且满足 f(x) ex 0tf(t)dt x 0 f(t)dt ，求 f(x).xx解：等式两边对 x求导得 f (x) ex xf(x) 0 f(t)dt xf(x) ex 0 f (t)dt两边再对 x 求导得 f ( x) xef( x，)即f ( x) f( x) x e为二阶线性非齐次微分方程，且 f (0) 1, f (0) 11解此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 f (x) C1cosx C2sin x 1ex21 再由 f (0) 1,f (

24、0) 1可得特解 f (x) 1 (cos x sin x ex)2【例 8】利用代换 y u ，将方程 y cosx 2y sin x 3ycosx ex化简，并求出原方 cosx程的通解解：因为 y uusecx， y u secx usecxtanx ，cosxy u secx 2u secx tan x u secx tan2 x usec3x代入整理得 u 4u ex通解为1x u C1cos2x C2sin2xe5将u ycosx代入得 y C1 cos 2x 2C2 sin x 1 ecosx 5 cosx5欧拉方程xny(n) p1xn 1y(n 1)pn 1xy pny f

25、(x)， p1, p2, ,pn为常数解法：做变换 x et 或t ln x，记 D ddtxy Dydy dy dt 1 dy dx dt dx x dt1122 d y 1 d y dy22 2 ( 2 ) x y D(D 1)y dxx dtdt33 d y 1 d y 33 dx x23 3d 2y 2dy)x3yD(D 1)(D 2)ydt dt dtxny(n) D(D 1)(D 2) (D n 1)y将欧拉方程化为常系数线性微分方程，解方程，将 t ln x代回即可例 9】 求欧拉方程 x2 d 2ydx24xdy 2y 0 (x0)的通解 . dx解：令 x et 即 t ln

26、 x ，xy Dydy dy dt 1 dy .dx dt dx x dt22dx2d2y x12 (ddt22y ddyt)x2y D(D 1)yx dt dt代入方程D(D 1)y 4Dy 2 y ，0即D2 y 3 D y 2 y 0亦即d2 ydt2特征方程为r 2 3r 2 0 ，解得特征根 r1通解为C1e t C2e 2t C1e l xn C2e2x l n C1 C22xx例 10】求欧拉方程 x3y x2y 4xy 3x2的通解 .解：令x et 即 t ln x ，ddyx ddyt .ddxt 1xddytxy Dy22d y 1 d y dy 2x2 (dt2dx2)

27、x2y D(D 1)ydtd3ydx31 d 3y3xdt3 3 dt2 2x3yD(D 1)(D 2)y代入方程D(D 1)(D 2)y D (D 1y)4D y2t ，3即eD3 y 2 D2 y 3 D y3t2e12亦即32d y d y322dt3dt23dydt2t3e特征方程为 r3 2r2 3r 0 ，解得特征根 r1 0,r2 1,r3 3C 齐次方程的通解为 Y C1 C2e t C3e3t C1 C2 C3x3xf(t) 3e2t为e xPm(x)型，2,m 0，且 2不是根，可设特解 y* ae2t ax2 ，代入原方程得 a 21，即y*所以通解为 y Y y C1

28、C2 C3x xx26微分方程的幂级数解法(1)一阶微分方程幂级数解法 求一阶微分方程dy f(x, y) a00 a10(x x0) a01(y y0)aim(x x0)i(y y0)mdx满足初始条件 y|x x0 y0的特解.解法：设 y y0an(x x0)n，将y,y 代入原方程定出常数 a1,a2, ，即可得特解 .n1(2)二阶微分方程幂级数解法定理：如果二阶微分方程 y P(x)y Q(x)y 0中的系数 P(x)和 Q(x)可在-RxR内 展开为 x的幂级数，那么在 -RxR内方程必有形如 yanxn 的解n0解法：设 yanxn，将 y,y,y 代入原方程定出常数 a1,a

29、2, ，即可得解.n0例 11】 用幂级数求方程 y y2 x3满足初始条件 y|x 0 1的特解.解：因为 x00,y01 ，故设 y1 anxn1a1xa2x2anxn0 022n 1 n2 12nynanxn 1 a1 2a2xnanxn 1n1代入方程得nanxn 1 (1anxn ) 2 x ，3 即n 1 2 n 113a1 2a2xnanxn an 2ann 2 n 2 n 3 1 5 1 7 1 2n 1(1 a1x a2xa1(xx x x x )anxn)2 x5 7 2n 11 2 2 2 4 2 6 3 4 5 3 a1 x a2 x a3 x2a1a2x 2a1a3x

30、 2a1a4xx4 2 31119比较等式两边得a11,a21,a31 ,a414 ,4 81632所以方程的解为 y 1 1 x 1x2 1 x3 9 x三、微分方程的建立 微分方程的建立总体上讲有两条途径，其一利用已知的概念、定理、物理学定律等 建立方程；其二是微小量分析的方法来建立方程。当然不排除在某一具体的题目处理时 两种方法的综合运用。 几何方面：已知曲线切线的斜率、曲线的曲率、变上限的弧长、变上限曲边梯形的 面积、变上限旋转体的体积，或上述的某些组合，求曲线的方程，可由已知条件建立微2 4 8 16 32解：因为【例 12】 用幂级数求方程 y xy y 0 的解.解可设为P(x)

31、 x, Q(x) 1，满足定理条件，它们可在 1 x 1内展开成 x 的幂级数，yanxn a0 a1x a2x2anxnn0ynanxn 1 a1 2a2x 3a3x2nanxn 1n1y n(n 1)an xn 2 2a2 3 2a3xn(n 1)anxn 2n2代入原方程得 n(n 1)anxn 2 x nanxn 1anxn亦即化简后得n2(n 2 )n( n0(n 2 )n( n0 (n 2 )n(n0n11na)2 nxn11na)2 nxn1n0n0nn an xn0nn an xn0nnannana12)nnanan x所以即 a2,a4, ,a2n, 都可用 a0 表示，a3

32、,a5, ,a2n 1, 都可用 a1表示 .所以方程的解为1 2 1 3 1 4 1 n y a0 a1xa0xa1xa0xanx2 3 4 n 21 2 1 4 1 6 1 2n a0(1x x x x )2 4 6 2n分方程。物理方面：已知运动的速度规律、加速度(或外力)的规律，求运动的位移与时间 的关系，则由运动方程或牛顿第二定律建立微分方程。其它：已知某函数的变化率求该函数，可建立微分方程。【例 1】 设对任意 x 0，曲线 y f(x)上点 (x, f(x)处的切线在 y轴上的截距等于f (t) dt，求 f (x)的一般表达式 . x01x解： y f(x)在点(x, f(x)

33、 处的切线斜率为 k f (x)，在 y轴上的截距为 1 0 f(t) dt，切线方程为1xy f( x) kx b (f ) x x0( f) t d tx即2xxf( x) f ( x)2 x 0xf( )t dt对 x 求导得2f( x) xf( x) 2xf( x)2 x f( )x f( )x整理得xf ( x) f( x) 0为可降阶的微分方程，不显含 y令 f (x) p(x)，有 f (x) p (x) ，代入上式有 xp p 0分离变量 d pd x，积分得 p C1 ，即 f (x) p C1px x x所以 f (x) C1 ln x C2【例 2】设 y y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点 (x, y)处的曲率为 1 ，1 y2 且此曲线上点 (0,1) 处的切线方程为 y x 1 ，求该曲线的方程并求函数 y y(x) 的极值解：因为 y y(x) 是一向上凸的连续曲线，所以 y 0