毕业论文--定积分在物理学中的应用

1、1 毕业论文毕业论文 论文题目：定积分在物理学中的应用 专业班级：数学与应用数学 所在院系：文理学院 作者姓名：李杉杉 定积分在物理学中的应用 2 摘 要:牛顿，莱布尼兹以无穷思想为据，从不同的角度运用了定积分的思想方 法创立了微积分，在这新的领域上定积分的思想和方法展现出了勃勃生 机，为定积分思想的进一步完善奠定了坚实的基础。它的演变历程，是 数千年来人类认识世界和改造世界的整个过程的一个侧面反应，是人类 追求真理、追求理想，始终不渝地求实、创新的生动写照，定积分理论 的建立，使数学摆脱了许多与无穷有关的悖论的困扰，对于培养人的思 维方法、品质，提高分析问题、解决问题方面有极好的促进作用.本

2、文 首先写了有关定积分的计算方法,从而给应用定积分解决实际问题打下 基础,然后讨论了定积分在物理学中的基本应用.解决物理问题主要运用 的方法是“微元法”. 关键词:定积分 计算方法 物理问题 微元法 3 目目 录录 1.1.引言引言.1 1 2.2.定积分的计算方法定积分的计算方法.1 1 2.1 用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分.1 2.2 利用分部积分法计算定积分.2 2.3 利用换元积分法计算定积分.2 2.4 几种特殊类型定积分的计算方法.3 2.4.1 对称区间上的定积分的计算方法 .3 2.4.2 利用函数的周期性简化计算.3 3.3. 定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用.4

3、4 3.1 变力沿直线所作的功 .4 3.2 物体的质量 .5 3.3 水压力 .6 4.4.结论结论.7 7 5.5.参考文献参考文献.7 7 1 定积分在物理学中的应用 1.引言 恩格斯曾经指出，微积分是变量数学的最重要的部分，微积分是数学的一 个重要的分支，它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要 的数学工具：如复杂图形的研究，求数列极限，证明不等式等；而在物理方面 的应用，可以说是定积分最重要的应用之一，正是由于定积分的产生与发展， 才使得物理学中精确的测量计算成为可能，从而使物理学得到了长足的发展： 如气象、弹道的计算，人造卫星轨迹的计算，运动状态的分析等，都要用得到

4、微积分。 2.定积分的计算方法 定积分是求总量的数学模型,但如果根据定积分的概念分割、代替、求和、 取极限的四步法求定积分,步骤虽然十分清楚,但能求出和式极限的问题却微乎 其微.为了较好的解决每一个问题，我们需掌握定积分的简便计算方法. 2.1 用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分 若函数在上连续，且存在原函数，即， )(xf,ba)(xf)()(xfxf xa,b,则在上可积，且 这称为牛顿)(xf,ba b a afbfdxxf)()()( 莱布尼茨公式，它也常写成 b a b a xfdxxf)()( 有了牛顿莱布尼茨公式后，计算定积分关键就是找的一个原函数)(xf 。这就转化为不定积分的问题

5、了。)(xf 例 1 求 1 0 2 1x dx 解：已知 cx x dx arctan 1 2 2 4 0arctan1arctanarctan 1 1 0 1 0 2 x x dx 2.2 利用分部积分法计算定积分 设函数、在区间a，b上连续可微函数，则有定积分分部积分公)(xu)(xv 式 b a b a b a b a b a b a dxxvxuxvxuxduxvxvxuxdvxudxxvxu)()()()()()()()()()()()( 例 2 求 2 1 0 arcsinxdx 解: 1 2 3 12 1 12 1 arcsinarcsin 2 1 2 1 2 1 2 1 0

6、2 02 0 0 xdx x x xxxdx 2.3 利用换元积分法计算定积分 若函数在上连续，在上连续可微，且满足)(xf,ba)(x, ，a)(b)(bta)(,t 则有定积分的换元积分公式 。 )()()()()(tdtfdtttfdxxf b a 应用定积分的换元积分公式计算定积分时，要注意积分上、下限的变化。 例 3 计算 1 0 dxe x 解：先用变量代换方法： 令，则，。tx 2 tx tdtdx2 于是 1 0 1 0 2dttedxe tx 再用分部积分法计算上式右端的积分。 设，tu dtedv t 3 则，dtdu t ev 于是 1 0 1 0 1 0 dtetedt

7、te ttt 1) 1(ee 从而原式2 1 0 dxe x 2.4 几种特殊类型定积分的计算方法 2.4.1 对称区间上的定积分的计算方法 对于对称区间关于原点对称的定积分，用奇偶函数积分的“特性”作处理。 1)若在上连续并且为偶函数，则有)(xf,aa （是偶函数） aa a dxxfdxxf 0 )(2)( )(xf 2)若在上连续并且为奇函数，则有)(xf,aa （是奇函数） 0)( a a dxxf)(xf 例 4 计算 a a dx xa xa 22 解：原式 a a a a dx xa x dx xa a 2222 右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，

8、 积分区间对称于原点，从而 原式a a x adx xa a a a 0 022 arcsin22 例 5 计算 dxxxxx 1 1 34 1cossin95200 解：原式 5 12 12 1 0 4 dxx 2.4.2 利用函数的周期性简化计算 设是以t为周期的连续函数，则有)(xf 4 tta a dxxfdxxf 0 )()( （n为整数） tnta a dxxfndxxf 0 )()( 例 6 计算 2 100 2 100 22 2sin xdxxtg 解：因为被积分函数以为周期，所以 原式 2 2 4 2 2 22 sin42sin xdxxdxxtg 2 3 sin8 2 0

9、4 xdx 3. 定积分在物理中的应用 3.1 变力沿直线所作的功 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力作用f 在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 时，力对物体所作的功为. sfsfw 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直接使用此公式，而采 用“微元法”思想. 设物体在连续变力 f(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 . 在 上任取子空间,在其上所作的功元素为 因此变力f(x) 在区间 上所作的功为 例 1 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单位正电荷沿直线从距离点 电荷

10、a 处移动到 b 处 (a b) , 求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为 则功的元素为 所求功为 说明: 处的电势为电场在ar ,bx ,ba b a xxfwd)( ,bad,xxxxxfwd)(d 2 r q kf r r qk wdd 2 b a r r qk wd 2 r qk 1 a b ) 11 ( ba qk a r r qk d 2 a qk 5 例 2 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正 比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入 1 厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少？ 解: 设木板对铁

11、钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 设 n 次击入的总深度为 h 厘米 n 次锤击所作的总功为 依题意知，每次锤击所作的功相等 n 次击入的总深度为 第 n 次击入的深度为 3.2 物体的质量 每个物体都有一定的质量, 对于密度均匀的物体的质量或 l ml 、，这时密度是常量；但对于密度不均匀（密度是变量）的 a mamv 物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用“微元法” 从而利用定积分来 解决此类问题. 例 2 设有一心脏线形的物质薄片，其面密度，试求1 cosr 2cos a 此物质薄片的质量 解: 2 2 11 1 cos 22 dar dd a dmda 21 2cos1 cos

12、2 d 3 1 45cos2cos2cos 2 d 2 3 0 1 45cos2cos2cos 2 md 3 2 11 45sinsin2sinsin 023 4 ,)(kxxf 1 0 1 )(dxxfw, 2 k .)( 0 h h dxxfw h h kxdxw 0 , 2 2 kh 2 2 kh ,nh . 1nn 1 nwwh , 2 k n 6 3.3 水压力 由物理学知道，在水深为处的压强为，其中是液体的h ghp 密度，. 设有一面积为的平板，水平地放置在液体中深为kgng/8 . 9a 处，则平板一侧所受的压力为.h ghapaf 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压

13、强不相等，平板一 p 侧所受的水压力就不能直接使用此公式，需要定积分来求解. 例 3 三峡大坝有一上底、下底、高分别为 40、20、15 米的等腰梯形闸门，闸 门 垂直放置且上边与水面齐，试计算闸门一侧所承受的水压力 解: 我们知道抽水做功微元为把处一层水抽出所做的功；类似地，侧压dwx 力微元为处一层水对应的闸门的一个小窄条（如图阴影部分）所承受的水dpx 压力，即 dpgxda 2gx ydx 2 220 3 gxx dx 则 15 0 2 220 3 pgxx dx 15 2 0 4 40 3 gxxdx 23 15 4 9800 20 09 xx 29400000 n 4.结论 应用积

14、分的思想，化整为零，化曲为直，采用“微元法” ，可以很好的解决 这类问题。 “微元法”通俗地说就是把研究对象分为无限多个无限小的部分，取 7 出有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到全体综合起来加以考虑 的科学思维方法，在这个方法里充分的体现了积分的思想。 微元法的主要步骤: 设有一个函数 , 所求量可以表示为: ，然后实际 f xa af bf a 进行以下三步: 第一步取 , 并确定它的变化区间;dx , a b 第二步设想把分成许多个小区间, 取其中任一个小区间, , a b ,x xdx 相应于这个小区间的部分量 能近似地表示为与的乘积),就把a( )f xdx 称为量的微元并

15、记作, 即( )f x dxada ( )adaf x dx 第三步在区间上积分, 得到 , a b( )( )( ) b a af x dxf bf a 致谢 转眼流年似水，四年的大学生活的时光就即将结束了，如今我们也将要完 成学业，奔赴社会，成为社会中人，开始人生另一个崭新的生活. 在论文即将完成之际，我的内心无比激动，为的是感激.这次毕业论文能够 得以顺利完成，并非我一人之功劳，从开始选题到论文的顺利完成，是我的老 师，同学和一直关心支持着我的家人对我的教诲、帮助和鼓励的结果.在这里请 接受我最诚挚的谢意! 首先，要感谢我的指导老师黄振华老师，一位平易近人的良师，本论文从 选题、撰写到定

16、稿自始至终都得到黄老师的悉心指点和帮助.黄老师的亲切耐心 的指导、诲人不倦的敬业精神、细致认真的态度和谦逊的人格品质，在思想上 获得了许多启示，这使我受益终生.在此，衷心感谢您在百忙之中对我毕业论文 从选题到写作再到最后定稿所付出的辛劳！黄老师，谢谢您！您辛苦了！ 其次，我要感谢系里的所有老师，感谢你们四年来的辛苦教学，是你们让 我学会了很多知识，是你们教会了我怎样努力去奋斗.同时，你们严谨治学的态 度、风格迥异的教学方法拓宽了我的视野，你们的负责任的态度，使我收益很 多.老师你们辛苦了. 8 再次，我要感谢四年来生活在同一屋檐下的可爱宿友们，感谢我们一起经 历的点点滴滴，感谢身边所有的朋友与同学们，在我的论文结构方面给我很大 的帮助，谢谢你们四年来对我的关照与宽容，与你们一起走过的五彩缤纷时光， 这四年来的大学生活必会是我一生中最珍贵、最美好、最温暖的回忆.你们的支 持和帮助给我带来很大的动力.谢