二阶系统的性能指标分析(DOC)

1、二阶系统的性能指标分析(DOC)邢台学院物理系自动控制理论课程设计报告书设计题目:二阶系统的性能指标分析专业:自动化班级:学生姓名:学号:指导教师:2021年3 月24 日邢台学院物理系课程设计任务书专业：自动化班级：2021年3 月24 日摘要二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机RLC电路等都是二阶系统的实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值本次课程设计以二阶系统为例，研究控制系统的性

2、能指标。关键词：二阶系统性能指标稳态性能指标动态性能指标稳态误差调节时间目录1.二阶系统性能指标概述 (1)2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。 (1)3.二阶系统的时间响应及动态性能 (4)3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类 (4)3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算 (5)3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 (7)3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施 (14)4. 二阶系统性能的MATLAB 仿真 (18)5 总结及体会 (19)参考文献 (19)1.二阶系统性能指标概述二阶系统是指由二阶微分方程描述的自动控制系统。例如，他励直流电动机RLC 电路等都是二阶系统的

3、实例。二阶系统的性能指标分析在自动控制原理中具有普遍的意义。控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标，动态性能指标又可分为随动性能指标和抗扰性能指标。稳态过程性能稳态误差是系统稳定后实际输出与期望输出之间的差值2. 应用模拟电路来模拟典型二阶系统。12l 是典型二阶系统原理方块图，其中T01秒；T10.1秒；K1分别为10；5；2.5；1。 开环传递函数为：)1()1()(11101+=+=S T S K S T S T K S G （21）其中，= 1T K K 开环增益。闭环传递函数：22222212121)(nnnSS S T S T KS S T K S W +=+=+=（22

4、）其中，01111T T K T K Tn = （23） 11021T K T = （24） 图21 二阶系统（1）当10)0sin(11)(2+-=-t e t C d t n )0(t （25）式中： 21-=n d211-=-tg 峰值时间可由式（25）对时间求导数，并令它等于零得到：21-=n dp t （26）超调量Mp ： 由1)(-=t C M p 求得21-=e M p （27）调节时间s t ，采用2允许误差范围时，近似的等于系统时间常数n4的四倍，即ns t 4=（28）（2）当1=，即临界阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线，如图22中曲线所示。 输出响应C(t)为

5、)1(1)(t e t C n t n +-=- (t 0) （29）调节时间s t 可由下式求得98.0)1(1)(=+-=-s n t t e t C s n （210）（3）当1，即过阻尼情况时，系统的阶跃响应为单调的指数曲线：)2211(1221)(S t S eS t S ent C -+= （t 0） （211）式中 n S )1(21-+= ；n S )1(22-= ；当远大于1时，可忽略-S 1的影响，则tn et C )12(1)(-= （t 0） （212）这时调节时间s t 近似为：ns t )142-=（213）其中22500=n ?； 224.0500210?= 3.

6、二阶系统的时间响应及动态性能 3.3.1 二阶系统传递函数标准形式及分类常见二阶系统结构图如图3-所示其中K ，T 为环节参数。系统闭环传递函数为Ks s T Ks +=21)( 化成标准形式2222)(nn ns s s += （首1型） （3-5）121)(22+=s T s T s （尾1型） （3-6） 式中，K T T 1=，11T K T n =，1121KT =。、n 分别称为系统的阻尼比和无阻尼自然频率，是二阶系统重要的特征参数。二阶系统的首1标准型传递函数常用于时域分析中，频域分析时则常用尾1标准型。二阶系统闭环特征方程为02)(22=+=nn s s s D 其特征特征根为

7、122,1-=n n若系统阻尼比取值范围不同，则特征根形式不同，响应特性也不同，由此可将二阶系统分类，见表3-3。 数学上，线性微分方程的解由特解和齐次微分方程的通解组成。通解由微分方程的特征根决定，代表自由响应运动。如果微分方程的特征根是1，2，, n且无重根，则把函数te 1，te 2，, tn e 称为该微分方程所描述运动的模态，也叫振型。如果特征根中有多重根，则模态是具有t te ， ,2t e t 形式的函数。 如果特征根中有共轭复根j =，则其共轭复模态t e )j (+与t e )j (-可写成实函数模态t e t sin 与t e t cos 。每一种模态可以看成是线性系统自由

8、响应最基本的运动形态，线性系统自由响应则是其相应模态的线性组合。3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算设过阻尼二阶系统的极点为 ()n T 11211-=-=()n T 11222-+-=-= )(21T T 系统单位阶跃响应的拉氏变换sT s T s s R s s C n1)1)(1()()()(212+=进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 111)(211221-+-+=-T T eT T e t h T t T t0t（3-7）过阻尼二阶系统单位阶跃响应是无振荡的单调上升曲线。根据式（3-7），令21T T 取不同值，可分别求解出相应的无量纲调节时间1T t s ，如图3-7所示

9、。图中为参变量，由)1)(1(22122T s T s s s n n +=+可解出 21212)(1T T TT += 当21T T （或）很大时，特征根221T -=比111T -=远离虚轴，模态2T t e -很快衰减为零，系统调节时间主要由111-=对应的模态1t e -决定。此时可将过阻尼二阶系统近似看作由1确定的一阶系统，估算其动态性能指标。图3-7曲线体现了这一规律性。图3-8 给出系统单位阶跃响应曲线。例3-4图 3-7 过阻尼二阶系统的调节时间特性角速度随动系统结构图如图3-9所示。图中，K 为开环增益，1.0=T s 为伺服电动机时间常数。若要求系统的单位阶跃响应无超调，且

10、调节时间1s t s ，问K 应取多大？解 根据题意，考虑使系统的调节时间尽量短， 应取阻尼比1=。由图3-9，令闭环特征方程 012)1(12112212=+=+=+T s T s T s T K s T s 比较系数得 ?=?=5.22.01.02.01.0222211T K T T 查图3-7，可得系统调节时间95.075.41=T t s s ，满足系统要求。3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算1欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法欠阻尼二阶系统的极点可以用如图3-10所示的两种形式表示。 （1）直角坐标表示n n d j j 22,11-= （3-8）（2）“极”坐标表示?=n ?

11、-=21sin cos （3-9）2欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由式（3-5），可得系统单位阶跃响应的拉氏变换为s s s s R s s C n n n 12)()()(222+=222)1()(21nn n s s s -+-= 22222222)1()(11)1()(1nn n n n n s s s s -+-?-+-= 系统单位阶跃响应为()()=-=-t e t e t h n t n t n n 2221sin 11cos 1)()()=-+-tt e n n t n 22221sin 1cos 111 1ntnt-+?（3-10）系统单位脉冲响应为?-?-+-=-2222211

12、1)1()(1)()()(nnnnsLsLtht ktentn n221sin1-=-（3-11）典型欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应如图3-11所示。响应曲线位于两条包络线211-t ne之间，如图3-12所示。包络线收敛速率取决于n（特征根实部之模），响应的阻尼振荡频率取决于n21-（特征根虚部）。响应的初始值0)0(=h，初始斜率0)0(=h，终值1)(=h。 3欠阻尼二阶系统动态性能指标计算（1）峰值时间p t ：令0)()(=t k t h ，利用式（3-11）可得 01sin 2=-t n 即有 ,3,2,012=-t n 由图3-1，并根据峰值时间定义，可得np t 21-= （3-

13、12）（2）超调量00：将式（3-12）代入式（3-10）整理后可得211)(-+=e t h p100)()()(?-=h h t h p 21-=e100? （3-13）可见，典型欠阻尼二阶系统的超调量00只与阻尼比有关，两者的关系如图3-13所示。 图3-13 欠阻尼二阶系统%与的关系曲线 （3）调节时间s t ：用定义求解系统的调节时间比较麻烦，为简便计，通常按阶跃响应的包络线进入5误差带的时间计算调节时间。令05.0111122=-=-+-ttnne e可解得nn s t 5.3)1ln(2105.0ln 2-+-=（8.03.0式（3-12）（3-14）给出典型欠阻尼二阶系统动态性

14、能指标的计算公式。可见，典型欠阻尼二阶系统超调量00只取决于阻尼比，而调节时间s t 则与阻尼比和自然频率n 均有关。按式（3-14）计算得出的调节时间s t 偏于保守。n 一定时，调节时间s t 实际上随阻尼比还有所变化。图3-14给出当n T 1=时，调节时间s t 与阻尼比之间的关系曲线。可看出，当707.0=（?=45）时，T t s 2，实际调节时间最短，=000032.45，超调量又不大，所以一般称707.0=为“最佳阻尼比”。 4典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及极点分布之间的关系根据式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以进一步讨论系统动态性能、系统

15、参数及闭环极点分布间的规律性。当n 固定，增加（减小）时，系统极点在s 平面按图3-15中圆弧轨迹（I ）移动，对应系统超调量减小；同时由于极点远离虚轴，n 增加，调节时间s t 减小。图3-16(a)给出n =1，改变时的系统单位阶跃响应过程。当固定，n 增加时，系统极点在s 平面按图3-15中的射线轨迹（II ）移动，对应系统超调量不变；由于极点远离虚轴，n 增加，调节时间s t 减小。图3-16(b)给出了=0.5(?=60)，n 变化时的系统单位阶跃响应过程。一般实际系统中，T是系统的固定参数，不能随意改变，而开环增益K是各环节总的传递系数，可以调节。K增大时，系统极点在s平面按图3-

16、15中的垂直线（III）移动，阻尼变小，超调量会增加。图3-16(c)给出1=T，K变化时系统单位阶跃响应的过程。综合上述讨论：要获得满意的系统动态性能，应该适当选择参数，使二阶系统的闭环极点位于?=45线附近，使系统具有合适的超调量，并根据情况尽量使其远离虚轴，以提高系统的快速性。掌握系统动态性能随参数及极点位置变化的规律性，对于分析设计系统是十分重要的。 图3-16 二阶系统单位阶跃响应(a)n =1,改变时的阶跃响应；(b) =0.5，n 改变时的阶跃响应；(c)T =1,K 改变时的阶跃响应3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施采用测速反馈和比例加微分控制方式，可以有效改善二阶系统的动

17、态性能。例3-8 在如图3-22(a)所示系统中，分别采用测速反馈和比例加微分控制，系统结构图分别如图3-22(b)和(c)所示。其中216K。分别写出它们各自的.0=t开环传递函数、闭环传递函数，计算出动态性能指标（，t）并进行对比分s析。解图3-22（a）、b）中的系统是典型欠阻尼二阶系统，其动态性能指标（%，t）按式（3-13）、式（3-14）计算。而图3-22(c)表示的系统有一个闭环零点，s不符合上述公式应用的条件。将各系统的性能指标的计算及比较列于表3-6中。图3-22所示的系统可以用表3-7中相应的公式（或用MATLAB）计算其动态性能指标。可以看出，采用测速反馈和比例加微分控制

18、后，系统动态性能得到了明显改善。从物理本质上讲，图3-22(b)系统引入速度反馈，相当于增加了系统的阻尼，使系统的振荡性得到抑制，超调量减小；图3-22(c)所示系统采用了比例加微分控制，微分信号有超前性，相当于系统的调节作用提前，阻止了系统的过调。相对于原系统而言，两种方法均可以改善系统的动态性能。实际使用中，比例加微分装置一般串联在前向通道信号功率较弱的地方，需要放大器进行信号放大；而反馈则是从大功率的输出端反馈到前端信号较弱的地方，一般不需要信号放大。从效果上看，由于比例加微分环节是高通滤波器，会放大噪声，影响系统正常工作；而测速反馈不会有这样的问题。从经济角度考虑，比例加微分实现简单，

19、费用低；测速反馈装置价格高。实际采用哪一种方法，应根据具体情况适当选择。1加开环零点对系统动态性能的影响比较图3-22(a)和(b)所示两系统的开环传递函数可以看出，后者比前者多一个开环零点，因而影响了系统的闭环特征多项式，改变了闭环极点的位置（见图3-23）。显然，图3-22(b)所示系统闭环极点)(b 较图3-22(a)所示系统闭环极点)(a 远离虚轴（相应调节时间s t 小），且角小（对应阻尼比较大，超调量较小），因而动态性能优于图3-22(a)所示系统。附加开环零点是通过改变闭环极点（改变模态）来影响闭环系统动态性能的。 2附加闭环零点对系统动态性能的影响图3-22(b)，(c)两系统有相同的开环传递函数，只是闭环传递函数中后者较前者多一个闭环零点。附加闭环零点不会影响闭环极点，因而不会影响单位阶跃响应中的各模态。但它会改变单位阶跃响应中各模态的加权系数，由此影响系统的动态性能。 附加闭环零点是通过改变单位阶跃响应中各模态的加权系数影响闭环系统动态性能的。将图3-22(c)系统闭环传递函数等效分解如图3-24所示。从信号的合成关系上可见，图3-22(c)所示系统的单位阶跃响应)()(t h c 是在图