3微积分定理与基本计算

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑欢迎下载支持.引入：由定积分计算引出.思路：表达面积函数二旳.一.微积分学基本定理：1. 微积分学基本定理：定理1（ 微积分学基本定理）若函数了 ECk上，则面积函数（石几购在斗上可导，且伉三L心.即当/巴曲切时，面积函数以）订阀 可导且在点咪口上的导数恰 为被积函数在上限的值.亦即 W是了（X的一个原函数.证:连续函数必有原函数.2. Newt on Leib niz 公式：定理2（ N L公式）（证）例 1 i -； ii -；J In xdx例2.r必JiTP例3-.（与 1例3联系）例4设口虬但川工）羊,证明L00- /必翻二S 此二心，且

2、沁处）纺t已工尸；ii 在世0上有连续的导函数.J妙訂/他歛M则国-.（证）1JV1 - 7 d-X例 6.(1P305 E4 )1 siti t例 7.(1P305 E5 )1 + r例8计算0L.该例为技巧积分.j例9际盂.该例亦为技巧积分.iQ必=7Jv(J+W例10 已知2，求1打0问二朽例11 设函数连续且有求积分例12 设J是区间-上连续的奇（或偶函数）函数，则J /(x) = f(x)dx.)例13sin 3z + xcos5k- 5ex arcigx - 314文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.三.分部积分公式：例15 计算定理4（分部积分公式）1J xJ&x例1

3、40兀(1 - sinx)必=(璋_ 1)几七解得亠、一71 = P sin 不必二 1直接求得 丄于是，当坨为偶数时，有JTNsin S_1 a ccs x |君 十F cpsxfsin B_1一仍一皿w-1 w-33 1 73-1)0-$ 53 1 兀7T=一/“ = =t1-12-八二 -12.2；J习题课一.积分不等式：1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式：例1证明不等式-x-Fl 1证 注意在区间0,1 上有二1 1ln（邛+1） 1 十一+ = + XE易见对任何卞,在区间-上二J和:均单调，因此可积，且有gW /W,注意到ZA n ,就N+lN41W）必X E 1+CO

4、) 1 1 w +1) /W血*- J+-11 S-l 1=y = :幺卄1在区间1+ 1仿以上讨论,有111I 4- -1 H-23冲l + lnw综上，有不等式ln七 + 1) 1 4- + + 1 -Fin. ?s2n某些不等式的积分推广：原理： 设函数和二在区间-上可积.7为区间I J的卞等分分法, 1 .若对任何和， 均有B1 S1兀血）亠藹）丄J即得=-1再i-l耗令也,注意到函数- 和二在区间-上可积,即得积分不等式倘若函数二和？连续，还可由唯皿唱能再=呛）珂闊例3 证明Schwarz不等式（亦称为 Cauchy-ByH刃kobc ku访不等式）:设函数-和-在区间-门上连续（其

5、实只要可积就可）. 则有 不等式证法一 （ 由Cauchy不等式 = Schwarz不等式. Cauchy不等式参阅1 设- 和-为两组实数,贝U有曲兰迟恋1送肿l.i-1 J i.l i-1设：为区间 -的等分分法. 由Cauchy不等式, 有（HBx兰迟护（G Esa（5i）li 显/iLZ两端同乘以i-iw )1-1吆 Lin令KT込 注意到函数，和-：在区间I -上的可积性以及函数；-：的连续性，就有积分不等式f(x)g(x)dx 产诫估（诚证法二（用判别式法）对任何实数上，有- 1，：（+如）二山U）十才（尤I十冨（力占&王oJ：严仗）刚F +2（打（魂（劝必+ （对任何实数，成立.

6、即上述关于厂的二次不等式的解集为全体实数，于是就有云（W1J /（）应二 F例9 设-时函数儿连续且-求厂 - .（- 1 -二- ）兀1| f哉=z例10 设函数八连续且.求疋和两端求导,=-.例11设/（或丘归0】. 月_：孑（芹一。止真 e otrb试证明证陀）=寸”倔-巴二Ff（对二J：/（r）必十寸（町寸（不）二/）迪.=/ （工）.例12 设函数八在区间- 1匚上连续且- - 0.试证明：函数 在区间: 0 ,在（0乂内又北加-。连续，=xf 0，=在区间工+3）内餌认）0 .因此恥）在区间（0.+ 8）内严格递增.三.含有变限积分的未定型极限：例13求极限zf 伽产盘 氐 皿r

7、sin缺Jo.四.定积分的计算：因此,例16利用积分1P306 E8 ）,计算积分0x-（兀+几）go7-|sin H TV- X）血=Jsm H 不血r02洱弹字以偶数, 厶二 纟二列忑 凫为奇数一 因此，L刖例17 了 （2盼1）工汐,求$ 几谜 上（2白）4P215 E62例18设丄:是区间IJ .丄；上连续的偶函数. 试证明：二是一上的奇函数证法证法注意到亠十=f -E 叮灯 t =-利用定积分求和式极限：原理:例19 求极限3 P163 E13 .与 i例2连系.例20lim pj 1 + - 求极限Lu l科hi Ls-i由函数 I 在区间0,1 上可积， 有=Hm丈1+耳丄弘（1 + k= 2In 2-1 = In e屮+才+4魁例21求极限：*- )3P167 E19壬厂e丐解=_ gt s lT ifL因此，1 1 1 +例22 试证明：对任何人-,有不等式- - J、血