2019年用二分法解方程课题.doc

1、课题：用二分法求方程的近似解一、教材背景分析1. 教材的地位和作用以及学情本节内容位于数学必修 1 第三章第一节“函数与方程”，共分三个课时。第 一课时学习了“方程的根与函数零点的关系” ，第二课时学习了“函数零点的存 在性”，学生通过前面两节的学习，对方程的根的存在性以及函数零点和方程的 根的关系有了一定的认识。 掌握了基本初等函数的图像和性质并具有了一定的数 形结合的思想， 这为理解函数零点附近的函数值符号提供了直观认识， 在此基础 上介绍用二分法求函数零点近似值，也就水到渠成。本节是第三课时， 二分法是求方程近似解的常用方法， 它体现了函数的思想 以及函数与方程的联系。 为高中数学中函数

2、与方程思想、 数形结合思想、 二分法 的算法思想打下了基础， 为数学 3 中算法内容的学习做了铺垫。 二分法体现了数 学的逼近思想， 对学生以后学习圆周的计算， 球的面积体积公式的由来等微积分 的知识起了奠基的作用。因此决定了它的重要地位。2. 教学重点与难点重点：渗透二分法思想；理解二分法的原理；掌握用二分法求给定方程近似解。 难点：二分法的原理；零点所在区间的判断；精确度的理解。 理论依据 学生所学的数学知识，在进入社会后几乎没有什么机会应用，然而 不管他们从事什么工作， 惟有深深铭刻于头脑中的数学思想和方法等 随时随地发生作用， 使他们受益终身。 因此数学思想方法的渗透是重 点之一。二、

3、教学目标（1）知识与技能：1. 体会二分法的思想，掌握二分法求方程近似解的一般步骤 。2. 会用二分法求方程的近似解，并能用计算机辅助求解。3. 会用二分法思想解决其他的实际问题。（2）过程与方法：1. 通过对二分法原理的探索，引导学生用联系的观点理解函数与方程，形 成用函数的观点处理问题的意识。2. 通过求具体方程近似解介绍二分法并总结其步骤，体现了从具体到一般的认 知过程。3. 利用逼近求解，渗透从有限到无限的数学思想。（3）情感与态度：1.通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感。2.在二分法步骤的探索、发现过程中，获得成功的体验，锻炼了克服困难 的意志，建立学习数学的

4、自信心。三、教法选择和学法指导情境教学法，发现法教学理论依据“问题是数学的心脏”，也是数学教学的心脏。问题成功掌握教学是 适应新课改要求的一种数学教学方法， 是在课堂教学条件下，创设问题情景，由 教师与学生一起发现问题、提出问题，在教师的主导下，分析问题、解决问题。四、教学基本流程设计活动内容活动目的活动1引入方程2X 7 = 0的求解通过简单指数型方程求解让学生体会成功，为学习本节 内容做铺垫活动2 变化为方程2% + 3x 7 = 0的求解由简单问题迁移到类似但复杂数学问题，引出本节课的 学习重点活动3用诸葛亮“神机妙算”引入二分思想。通过知识的类比迁移，培养学生提炼方法，归纳概括的 能力

5、，并学会学以至用。渗透从特殊到一般的数学思想。活动4老师例题示氾，用计算计辅助求解。 学生练习巩固，拓展知识。通过辨析明确二分法的适用范围。应用二分法求方程近似解，培养了学生运算能力和实际应用的能力。活动5用程序框图回顾二分法的步骤，小 结评价。通过程序语言的展现渗透算法的知识，为算法的学习做 铺垫，并归纳梳理了本节的知识和方法。活动6作业分层布置作业进一步巩固了本节课知识，并拓展了学生数学的文 化知识，体现了不冋的人在数学上得到不冋的发展。五、教学过程环 节教学内容设计意图问题1 ：谁会解方程2x _ 7 = 0创设情境 渗透数学思想问题2:这只是抛砖引玉，再看方程2x 3x 一7 =0，会

6、解吗?问题3:不能一眼看出解是多少，退一步，有解吗？方案1 ：画出函数f (x) =2x 3x -7的图像，研究方程的根即相应函数的零点。方案2 :转化方程为2x=7 - 3X ,分别化出函数 y = 2x与y = 7 - 3x的图像，发现方程的根即这两个函数图像1. 从学生熟悉的简单 指数方程入手，轻松的 进入课堂，开门见山， 进入数学的情境中并为 下一个问题做好铺垫。2. 自然地引入函数, 将方程的根转化为函数 零点判定问题，自然地 渗透函数思想。3.从多个角度的图像 来研究方程根的问题， 拓展学生的思维。4. 学生在猜测数字和 思考老师问题过程中已 经利用了二分法的思想 将价格的范围不断

7、缩 小，并用逼近的原理猜 测出整数。以问题研讨 的形式替代教师的讲 解，分化难点、解决重 点，有利与学生对知识 的掌握，并强化对二分 法原理的理解。从而有 效地渗透了数学思想。5. 使学生感受到数学 就在身边，激发他们学 习数学的情感，并学会 类比迁移的思想思考问 题。交点的横坐标。问题转化：函数 f (x) =2x 3x-7在区间(1,2)内存在零点。问题4:你能进一步在区间(1,2)内搜索出零点吗？情境：诸葛亮“神机妙算”相传有一天，诸葛亮把将士们召集在一起，说：“你们任选一个 1000的数记在心中，我只要问10个问题，你只要回答是与不是， 我就能算出你心中的那个数。”你知道诸葛亮是怎么算

8、的吗？学生活动：猜数字方案1:随机猜测。方案2:每次增加 100地猜测。如：150, 200, 250,方案3:每次取上次范围的中间值进行猜测。老师活动：问题引导问题1 :你们认为哪些方案保险？问题2 :一定能在10次之内猜中这个数吗?问题3:诸葛亮的算法对你解决刚才的数学问题有什么启 示？新课引入 从实际问题转入数学问题老师活动：任务驱动问题引导任务：求函数f（x）=23x_7在（1, 2）内的零点？方案：由于上面问题的铺垫，学生自然想到取中点，计算中点 函数值，缩小区间的方法。问题1：如此效法下去，一定能得到精确解吗？方案1：出现某个中点的函数值为零时才能出现精确解？方案2：出现精确解的概

9、率很小很小，于是我们基本上只能取 近似解。问题2:何时终止计算，取得近似解？问题3：近似解的选取，取最后一次a,b,（a+b）/2 ，还是其他的？学生活动：回忆旧知迁移到新知对比实际问题，直观的想法：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一 叭假设取e = 0.1）定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值。6.学生在讨论、合作 中解决问题。充分体会 不断重复机械化的取 中点逐步逼近零点的 过程进而获得成功的 愉悦。3.利用计算机运算速 度快、精确度高，适合 做重复性操作的特点， 让学生学会使用计算机 做数学，感受现代工具 带来的便捷。（画表格计算）次 数a +b2f（学2取a取b|a-b

10、|11 . 50. 312121. 25-0.811. 50.531 . 375-0.21 . 251. 50.2541. 43750. 021. 3751. 50.12551. 40625-0 .031.3751. 4 3 7 50.06得出：当|a-b|0.1时，终止计算。近似解为2.5或2.5625,或最后（a，b）中的任意实数。 老师活动：提出当；=0.01时，方程的近似解是？ 学生活动：利用计算器，同桌配合，迅速求解出结果探究原理归纳步骤拓展知识老师活动：给出二分法的定义二分法：对于在区间a， b上连续不断，且满足f(a) f (b) 0的函数y = f (x),通过不断地把函数 f

11、 (x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法.学生活动：分析定义中的关键词并归纳二分法的步骤 二分法及步骤：给定精度；，用二分法求函数f (x)的零点近似值的步骤如下：1. 确定区间a , b，验证f (a) f (b) : 0 ,给定精度:；2. 求区间(a , b)的中点Xi；3. 计算 f (Xi):若f (Xi)=0，则Xi就是函数的零点；若 f (a) f (xj 0 ,则令b = x1 (此时零点x0 (a, xj )；若 f(xj f(b)0，则令 a=Xi (此时零点 X。 (Xi,b)；4. 判断是否达到精度；艮喏| a

12、 -b |：；,则得到零点零点值a (或b )；否则重复步骤2-41.让学生从特殊到一 般得出求函数零点近 似解的的常用方法，揭 示数学通常的发现过 程，给学生“数学创造” 的体验，这种引出方式 自然而易于学生接受。2 培养学生提炼方法， 归纳概括的能力，并学 会学以至用。渗透从特 殊到一般的数学思想。老师活动：例2:求方程Inx+2x-i2=0的近似解(精确到 O.i ) 师生共同完成：(四个步骤)1. 转化成求函数y= lnx+2 x-i2的零点的近似值。2. 求函数y= Inx+2 x-i2的零点的个数。3确定函数y= Inx+2 x-i2的零点所在的大致区间。4.求函数y=lnx+2

13、x-i2的零点的近似解。从而体会用二分法求方程近似解的完整过程。i.利用计算器，求方程x3-i.6x20.i5x 0.i6 = 0的近似解(精确到0.1 )方案1 :确定零点所在区间为(0,1),得到一个近似解1.利用课堂练习巩固所 学的知识内容、数学思 想、数学方法以求达到 教学目标。2. 本环节老师以个 别指导为主。个别学生 可以上台使用软件计 算。体现了课改的理 念，多给学生自主活动 的空间。3. 引导学生发现二 分法的局限性和辨析 二分法应用的前提。方案2:确定零点所在区间为(-1,2),得到一个近似解方案3:确定零点所在区间为（1,2）,得到一个近似解问题1 :是否存在其他的解？为了

14、揭出底牌，画出函数图像，发现只有三个解。反思：如果确定零点所在的区间为（-1,2）,用二分法能得到几个近似解，在用二分法求解方程之前，我们需要注意一些什么？问题：如果将图像向下平移至只有两个零点的情况，左边的零点能否用二分法求得?归 纳 小 结1. 什么是二分法？2. 二分法使用的范围是什么？3. 如何利用二分法求方程的近似解？（用程序框图复习二分法求方程近似解的步骤通过问题的呈现方 式，引导学生归纳总结 这堂课所学内容。作业布置1. 趣味数学：有48小形状一样的小球，有一个质量和其它47一样，不知道是重还是轻。现只有一个天秤，如何最快的把 这个质量不同的球找出来？（写出操作方案）2. 知识巩

15、固：课本P92习题3.1A组的第4题；（左端点0代入没有意义，那怎么办呢）3. 技能掌握： 课本P93习题3.1B组的第3题；（如何确定函数g（x）的零点所在的大致区间，以及零点的个数）4课外拓展：中外历史上方程的求解经历了哪些过程？结合阅 读材料和二分法的学习与应用，你对二分法以及对数学有哪 些新的认识。作业进一步巩固了 本节课知识，并拓展了 学生数学的文化知识， 体现了不同的人在数学 上得到不同的发展。六.板书设计3 .1.3复习1. 函数零点与方程的根关系2. 零点存在定理 二分法1. 原理2. 定义3. 步骤用二分法求方程的近似解三。练习巩固四。归纳总结七教学评价分析1、评价学生学习过

16、程本节课在情境创设， 例题设置中注重与实际生活联系， 让学生体会数学的应 用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中， 是否精神饱满、 兴 趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力 教学中通过学生回答问题，归纳总结等方面反馈学生对数学知识的理解程 度，对数学技能的掌握程度和发现问题和解决问题的能力。 教师根据反馈信息适 时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并 抓住学生在语言、 思想等方面的亮点给予表扬， 树立他们学习数学的自信心。 并 观察学生对数学学习的态度变化， 适时对教学做适当的调整， 以便提高教学效果。八教学设计说明（1）教学定位说明1. 注重数学思想方法的渗透2. 注重知识的探求和发现3.