2014正余弦定理中高考真题及模拟题(含解析)

1、1. (2014?山东) ABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知a=3, cosA=,3B=A+.2(I)求b的值； ()求厶ABC的面积.考点：正弦定理. 专题：解三角形.分析：(I)利用cosA求得sinA ,进而利用A和B的关系求得sinB，最后利用正弦定理求 得b的值.(H)利用sinB，求得cosB的值，进而根两角和公式求得 sinC的值，最后利用三角 形面积公式求得答案.解答：解: (I)v cosA=,3/ si nA=,TT/ B=A+ .2 sinB =sin (A+ 1 ) =cosA= ,2 3由正弦定理知=；,sinA sinB b= ? sin

2、B= X =3：.sinAV3 33(n)v sinB= , b=a/ 13 22 cosB=_ =-U,V 9333 3sin C=s in (n A- B) =sin (A+B) =sin AcosB+cosAs inB=-:x (-:)+ -X =3 3 S= a? b?sinC= /X -点评：本题主要考查了正弦定理的应用解题过程中结合了同角三角函数关系，三角函数恒 等变换的应用，注重了基础知识的综合运用.2. (2014?浙江)在厶ABC中，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知ab, c=:, cos2A cos2B=、: j：sinAcosA 二sinBcosB

3、 .(I)求角C的大小；(H)若sinA=，求 ABC的面积.5考点：正弦定理；二倍角的正弦；二倍角的余弦.专题：分析：解三角形.(I) ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin (A+B) sin (A- B) =2 :? cos(A+B) sin (A- B).求得tan (A+B)的值，可得 A+B的值，从而求得 C的值.(n)由sinA=求得cosA的值.再由正弦定理求得a，再求得sinB=sin(A+B)5-A的值，从而求得 ABC的面积为.的值.乙解答：丿解：(I)v ABC 中，b, c= :, cos2A- cos2B= :sinAcosA ：.jsinBcosB ,门

4、-W ；sin2A -sin2B ,2 2 2 2即 cos2A - cos2B= isin2A - 7sin2B ,即-2sin (A+B sin (A- B) =2 ? cos (A+B) sin (A- B).t a工 b,. Ah B? sin (A- B)工 0,.tan ( A+B =- A+B= ,. C=.33(n) sinA-_(舍去)， cosA=.：、.52333讨丄 sin A 5由正弦定理可得，：-，即-, a-二.sinA sinCM “35 si nB-si n ( A+B A-si n (A+E) cosA - cos (A+B) sin A- . -(-)25

5、2v 4_針乩510 ，ABC的面积为.一 -/、-,.点评：:本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题.3. (2014?安徽)设厶ABC的内角为 A、B C所对边的长分别是 a、b、c,且b=3, c=1 , A=2B.(I)求a的值；(n)求 sin (A+ )的值.4考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数.专题：综合题；三角函数的求值.分析：(I)利用正弦定理，可得 a-6cosB，再利用余弦定理，即可求 a的值；(n)求出 si nA , cosA，即可求 sin (A+ 1 )的值.4解答：,$解: (I)t A-2B f 二，b-3, sinA sin

6、B a-6cosB, a=6 丄2a a=2;；(n)： a=6cosB, cosB=,3 sinB=兰,3 sinA=sin2B=_, cosA=cos2B=2cos2B - 1 =-,3 3 sin ( A+ ) =(sinA+cosA )=4 26点评：本题考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查学生的计算能力，属于中 档题.4. （ 2014?天津）在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,已知a-c=b,6sinB= ylsinC ,(I)求cosA的值；(n)求cos (2A-)的值.6考点：正弦定理；两角和与差的余弦函数.专题：三角函数的求值.分析：

7、（I）已知第二个等式利用正弦定理化简，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a, b代入计算，即可求出 cosA的值；（H）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，进而利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出 sin2A与cos2A的值，原式利用两角和与差的余弦函数 公式及特殊角的三角函数值化简，将各自的值代入计算即可求出值.解答：解：（I）将sin B=几si nC ,禾U用正弦定理化简得：b= .c,代入 a - c=b,得：a-c=c,即 a=2c， cosA=- _l _2bc(n)T cosA=J, A为三角形内角，4 sinA= ：_ _,，

8、2 1V15 cos2A=2cos A- 1= - , sin2A=2sinAcosA= -,4 4则 cos (2A-) =cos2Acos+sin2Asin =- x +x二66642428点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，二倍角的正弦、余弦函数 公式，以及两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.5. (2014?辽宁)在厶ABC中，内角 A B、C的对边分别为 a, b, c,且ac,已知 二？ ：=2,cosB=J；, b=3，求：3(I) a和c的值；(n) cos ( B- C)的值.:余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数

9、. :三角函数的求值.(I)利用平面向量的数量积运算法则化简!-2，将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式，将b, cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值；(n)由cosB的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值，由c, b, sinB ,利用正弦定理求出 sinC的值，进而求出cosC的值，原式利用两角和与差的余弦函数 公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值.: - - :解：(I)： I？ ；=2, cosB,3 c? acosB=2，即 ac=6，/ b=3,2 2 2 2 2由余弦定理得：b -a +c - 2accosB，即 9

10、=a +c - 4,2 2 a +c=13，联立得：a=3, c=2 ；4)在 ABC 中, sinB= ：_ -=寸：二亠 i,由正弦定理:- 得：sinC-sinB=W x1 ,sinB sinCb 339a=b c,.C 为锐角， cose- 1 二j =二 斗.=则cos (B-C)论述沖嘶厂一、此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，以及同角三角函数间的基本关 系，熟练掌握定理是解本题的关键.6. ( 2014?重庆)在AA BC中，内角 A B、C所对的边分别是 a、b、c,且a+b+c=8.(I)若a=2, b=丄，求cosC的值；2(n)若 si nAcos 2+si

11、nBcos 2 屯=2si nC，且 ABC 的面积 Ssi nC，求 a 和 b 的值.2 2 2考点：余弦定理；正弦定理. 专题：三角函数的求值. 分析：由a+b+c=8，根据a=2, b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；(n)已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦 函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c,与 a+b+c=8 联立求出 a+bS=sinC求出ab的值，联立即可求 2的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入出a与b的值.解答：解：(I)： a=2, b=_，且 a+b+c=8,225 c

12、=8( a+b)由余弦定理得:(H)由 sinAcosC/+宀/丹-Q21cosC=;2比2X2X52 +si nBcos 2 ：-2s inC 可得：si nA? ”丄三+si nB? “丄三丄=2si nC ,2 2 2 2整理得：si nA+si nAcosB+si nB+s in BcosA=4si nC,/ sinAcosB+cosAsinB =sin (A+B) =sinC , sinA+sinB=3sinC ,利用正弦定理化简得：a+b=3c,/ a+b+c=8, a+b=6，-S=absinC=sinC ,2 2 ab=9，联立解得：a=b=3.7. ( 2014?萧山区模拟)

13、已知函数f ( x) = Isinxcosx2 cos x , x R.2(I)求函数f (x)的解析式，最小值和最小正周期;(n)已知 ABC内角 A B、C的对边分别为 a、b、c,且c=3, f (C) =0,若向量厂=(1, sinA )与 =(2, sinB )共线，求 a、b 的值.考点：1正弦定理；三角函数的化简求值；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和 直域.专题:计算题.分析：J(I)禾U用三角函数的恒等变换化简函数 比求出最小值和周期.f (x)的解析式为sln (2x)1,由(H)由f (C) =0可得sin (2C-) =1,再根据C的范围求出角 C的值，根据两

14、6个向量共线的性质可得 sinB - 2sinA=O，再由正弦定理可得 b=2a .再由余弦定理得9= 一-：-，求出 a, b 的值.解答：解:3函数 f （x） =：| I.- :1 =_ I-=.-仕“ （2X f ( x)的最小值为-2，最小正周期为n）v f （ c）（n）T f （ C） =sin （2C-一）- 1=0,6即 sin（2C- 一） =1,6V 2C-V6 6 6 2C-二=二， C= .（ 7 分）向量,共线， sinB - 2sinA=0 .由正弦定理sinA sinB，得b=2a，,9分) c=3,由余弦定理得 9=.-:（11 分）解方程组，得 a=二b=2

15、二.（13 分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，两个向量共 线的性质，正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题.& (2014?宜春模拟)设厶ABC的内角A B、C所对的边长分别为 a、b、5且(2b -二c) cosA= lacosC.(I)求角A的大小；(n)若角B , BC边上的中线 AM的长为 匸，求 ABC的面积.考 正弦定理；余弦定理.点专计算题.题分(1 )利用正弦定理把 1-中的边换成角的正弦，进而利用析两角和公式进行化简整理求得cosA,进而求得 A.:(2)由(1)知一，进而可知三角形为等腰三角形和C的值，设AC=x进而用余弦定理建立等式求

16、得 x,进而用三角形面积公式求得答案.解解：(1)因为,答所以_:1 :iL.- -_ :.丄2sinBcosA=V3sin （A+C），则.，所以，于是| （2 ）由（1）知6而 ，6所以 AC=BC设 AC=x 则”又二.在厶AMC中由余弦定理得 AC+MC - 2AC? MCcosC=aM即厂：IT - ,解得x=2,故丨本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用在解三角形问题中，常需要用正弦定理和 余弦定理完成边角互化，来解决问题.9. ( 2014?湖北模拟)在厶ABC中，a, b, c分别为内角 A B, C的对边，且2cos ( B- C)=4sinB ? sinC - 1.(1 )

17、求 A(2) 若 a=3, sin 上=丄，求 b.2 3考点：正弦定理；三角函数中的恒等变换应用.专题：计算题.分析:(1)由已知利用两角和的余弦公式展开整理,cos (B+0 =- .可求B+C,进而可2(2)sin，可求co，代入sinB=2sin：co可求B,然后由正弦定理sinB sinA解答：解：(1)由 2cos (B- C) =4sinBsinC - 1 得，2 (cosBcosC+sinBsinC ) - 4sinBsinC= - 1，即 2 ( cosBcosC - sinBsinC ) =- 1. 从而 2cos ( B+C =- 1,得 cos ( B+C =-2.4

18、分2T Ov B+Cn B+C= ，故 A= 13 3(2)由题意可得,由 sin ，得 cos =-_ :I、J V/V/2-2_323 sinB=2sin 上cos上=一22910分由正弦定理可得sinB sinA解得b=.12分.点评：本题主要考查了两角和三角公式的应用，由余弦值求解角，同角基本关系、二倍角公 式、正弦定理的应用等公式综合应用.10. (2014?兴安盟一模)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c,且满足(2c - a) cosB - bcosA=0.(I)若b=7, a+c=13求此三角形的面积；(n)求:si nA+s in (C-)的取值范围.6

19、考点：正弦定理；同角三角函数基本关系的运用.专题：计算题.分析：利用正弦定理化简已知条件，根据三角形的内角和定理及诱导公式化简，由sinC不为0,得到cosB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值即可得到B的度数，(I)根据余弦定理，由b, cosB和a+c的值，求出ac的值，然后利用三角形的面积公式，由ac的值和sinB的值即可求出三角形 ABC的面积；(n)由求出的B的度数，根据三角形的内角和定理得到 A+C的度数，用A表示出C, 代入已知的等式，利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围.解答：解：由

20、已知及正弦定理得：(2sinC - sinA ) cosB - sinBcosA=0 ,即 2sinCcosB - sin (A+B) =0,在厶 ABC 中，由 sin (A+B) =sinC故 sinC (2cosB - 1) =0,/ C( 0,n),si nC 丰 0, 2cosB-仁0,所以 B=60( 3 分)(I)由 b =a +c - 2accos60 = ( a+c) - 3ac,22即 7=13 - 3ac,得 ac=40 (5 分)所以 ABC 的面积 S-acsinB=l0V3 ； (6 分)（n）因为 ：;_u_-二二一 :. T = :；_：_：!：. : T=；_

21、：&- 一 _ _.-X _ 11. 1 ，（ 10 分）又A（ 0,竺），（匹，空）,366则 7sinA+sin （C-1 ） =2sin （A+ 1 ）（ 1, 2.6 6点评：此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值，灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的值域，是一道中档题.11. (2014?四川模拟)已a, b, c分别是 AB的三个内角 A, B,的对边，匸_丄二a cdsA(I)求A的大小;考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域. 专题：解三角形.分析：(n)求函数y= .； Sr ：的值域.(I )由条件利用正弦定理

22、求得cosA=，从而求得A=.23(II )由A= 1 ,可得B+C=.化简函数y等于2sin (B+ ),再根据 B+ 的 3366范围求得函数的定义域.解答：解：(I ) ABC中，T 二1匚，由正弦定理，得：二1二，a cosAsinA cosA（2分）即 2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA ，故 2sinBcosA=sin （A+C） =sinB，（4 分） cosA= , A=23（II ）T A= , B+C=3 3故函数 y= ii ：:1Is in B+sin- B） = 5 si nB+cosB=2sin* 2（b+K）. （ 11 分）6-02ac可求ac的范围，在代入三角形的面积公式可求 ABC面积的最大值.解答：解:一-丄.sin B=W且B为锐角5 5(I ) b=2, a=53由正弦定理可得，sinB sinA/avb.Av B A=304(II )由,5利用余弦定理可得，b=22 2 2b =a +c -