流体力学5-漩涡理论[稻谷书苑]

1、1.1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强 度和速度环量）度和速度环量） 2.2.司托克斯定理司托克斯定理 3.3.汤姆逊定理汤姆逊定理 4.4.海姆霍兹定理海姆霍兹定理 5.5.毕奥沙伐尔定理毕奥沙伐尔定理 6.6.兰金组合涡兰金组合涡 第五章：旋涡理论第五章：旋涡理论( (vortex theory) ) 有旋运动有旋运动：x x,y y,z z在流场中不全为零的流动在流场中不全为零的流动 存在旋涡运动的流场存在旋涡运动的流场旋涡场旋涡场: : 旋涡理论 园盘绕流尾流场中的旋涡园盘绕流尾流场中的旋涡 园球绕流尾流场中的旋涡园球绕流尾流场中的旋涡 园柱绕

2、流尾流场中的旋涡园柱绕流尾流场中的旋涡 有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡 涡线上所有流体质点在涡线上所有流体质点在 同瞬时的旋转角速度矢量同瞬时的旋转角速度矢量 与此线相切。与此线相切。 涡线涡线(vortex line)(vortex line)： 一、涡线一、涡线, ,涡管涡管, ,旋涡强度旋涡强度 1 2 3 流线流线(streamline)(streamline)： 1 v 2 v 3 v 流线上所有流体质点在流线上所有流体质点在 同瞬时的流速矢量同瞬时的流速矢量 与此线与此线 相切。相切。 v 涡矢量与涡线相切涡矢量与涡线相切 ( , , ,)( , , ,)

3、( , , ,) xyz dxdydz xyztxyztxyzt 积分时将看成参数积分时将看成参数 涡线微分方程：涡线微分方程： dsdxidyjdzk 取涡线上一段微弧长取涡线上一段微弧长 xyz ijk 该处的旋转角速度该处的旋转角速度 d s 流速与流线相切流速与流线相切 (, , ,)(, , ,)(, , ,) xyz d xd yd z v xyzt v xyzt v xyzt 流线微分方程：流线微分方程： dsdxidyjdzk 取流线上一段微弧长取流线上一段微弧长 xyz vv iv jv k 该处的速度该处的速度 v ds 涡管涡管vortex tube vortex tub

4、e 截面积为无限小的涡束截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。称为涡索（涡丝）。 涡丝涡丝vortex filamentvortex filament 流管流管 元流元流 截面积为无限小的流束截面积为无限小的流束 称为元流称为元流 d dn ndd 旋涡强度旋涡强度 n Jd 表征流场中旋涡强表征流场中旋涡强 弱和分布面积大小弱和分布面积大小 n d 如果如果 是涡管的截面是涡管的截面 则则J为为涡管强度涡管强度 QdQud 流量流量 二、速度环量（二、速度环量（velocity circulationvelocity circulation） ：速度矢在积分路径方向的分量沿该：速度矢在积分

5、路径方向的分量沿该 路径的线积分。路径的线积分。 速度环量速度环量 定义定义s AB AB V ds V s V ds A B 速度环量是速度环量是标量标量，速度方向与，速度方向与 积分积分ABAB曲线方向相同时（成锐曲线方向相同时（成锐 角）为正角）为正, ,反之为负。反之为负。 AB AB BA BA 漩涡理论 速度环量的其他表示形式：速度环量的其他表示形式： cos( ,) AB AB AB xyz AB V ds VV ds ds V dx V dyV dz 速度环量单位为速度环量单位为 2 /ms V s V ds A B 漩涡理论 沿封闭周线沿封闭周线C C的速度环量的速度环量 x

6、yz cs c c c dxV dyV dz V ds V ds V C C ds s V V 漩涡理论 对于无旋流场对于无旋流场: 对于有旋场对于有旋场: ABxyz ABAB B BA A V dxV dyV dzdxdydz xyz d 速度环量的计算速度环量的计算 1) 1) 已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量已知速度场，求沿一条开曲线的速度环量 ABxyz ABAB V dsVdx Vdy Vdz ds V s V A B 漩涡理论 2. 2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量 对于无旋场对于无旋场: 对于有旋场对于有旋场: 0 cxyz

7、 c c c V dx V dy V dz dxdydz xyz d 2 csn c V dsd 斯托克斯定理斯托克斯定理 C C ds s V V 漩涡理论 三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理 沿任意闭曲线的速度环量等于该沿任意闭曲线的速度环量等于该 曲线为边界的曲面内的旋涡强度曲线为边界的曲面内的旋涡强度 的两倍的两倍, ,即即 J 2 csn c V dsd 或或 C n d 漩涡理论 0 0 c c d d a a b b dxdx x v y v x x y y dydy y y v vdx x x x v vdy y 斯托克斯定理证证 明三步曲：明三步曲： 1 1、微元矩形、微元矩形

8、abcdabcd ()() y x abcdaxyxy v v dv dxvdx dyvdy dxv dy xy () y x v v dxdy xy ()2 y x z v v xy 而而 微矩形面积微矩形面积dsds上的环量：上的环量： 222 zn ddSdSdJ 漩涡理论 2 有限平面有限平面 推广到有限大平面推广到有限大平面 22 Cnd J （单连通区域）（单连通区域） C C 所包围的区域所包围的区域内全部是流内全部是流 体，没有固体或空洞。体，没有固体或空洞。 单连通区域：单连通区域： 3 任意曲面任意曲面 C n d C ABDB A EAABCB AL 区域在走向的左侧区域

9、在走向的左侧 AB B A 2 CLnd 双连通域的斯托克斯定理双连通域的斯托克斯定理 C C的内部有空洞或者包的内部有空洞或者包 含其他的物体含其他的物体。 复连通域复连通域( (多连通域多连通域) )： C 漩涡理论 推论一推论一单连域内的无旋运动，流场中单连域内的无旋运动，流场中 处处处处 为零为零，则沿任意封闭周线的速度环量为，则沿任意封闭周线的速度环量为 零零 沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。 2200 cnd d 漩涡理论 推论二推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两

10、动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。个封闭周线的环量彼此相等。 2 CLnd (与积分路径方向一致时 与积分路径方向一致时) 0 n =- =- C 漩涡理论 （3 3）正压流体（流体密度仅为压力的函数）正压流体（流体密度仅为压力的函数） 假设：假设： （1）理想流体；）理想流体； （2）质量力有势；）质量力有势； 沿流体质点组成的任一封闭流体沿流体质点组成的任一封闭流体 周线的速度环量不随时间而变周线的速度环量不随时间而变. . 汤姆逊定理汤姆逊定理: : 即即 0 d dt 5-2 汤姆逊定理汤姆逊定理 漩涡理论 2 2）在理想流体中）在理想流体中, ,速度环量和旋

11、涡不生不灭。速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。 汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：汤姆逊定理和斯托克斯定理说明： 1) 推论推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无就永远无 旋涡和速度环量。旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变持环量不变 2 2）流场中漩涡的产生起因于：）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压粘性，非正压 流场，非有势力。流场，非有势力。 漩涡理论 2 abdb a eand - 海姆霍兹定理海姆霍兹定理 海

12、姆霍兹第一定理海姆霍兹第一定理 （同一涡管各截面上的旋涡强度都相同）（同一涡管各截面上的旋涡强度都相同） 0 abdb a ea abb a 0 0 abb a 12 nn dd 或 . nd const 涡面上涡面上0 n 漩涡理论 （逆 顺） 涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始涡管不能在流体中以尖端形式终止或开始 不可能 的情况 涡管存在的形式涡管存在的形式：要么终止于流体边界或固要么终止于流体边界或固 体边界，要么自行封闭形成涡环。体边界，要么自行封闭形成涡环。 . nd const 0, n d 海姆霍兹第二定理海姆霍兹第二定理涡管保持定理涡管保持定理 正压、理想流体在有势质量力作用

13、下，正压、理想流体在有势质量力作用下， 涡管永远由相同的流体质点所组成。涡管永远由相同的流体质点所组成。 涡管涡管 即涡管永远由相同的流体质点所组成。即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。但涡管的形状和位置可能随时间变化。 涡管涡管 漩涡理论 海姆霍兹第三定理海姆霍兹第三定理 涡管旋涡强度不随时间而变涡管旋涡强度不随时间而变 正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。的旋涡强度不随时间而变。 不随时间变化（汤姆逊定理） 2 (J 斯托克斯定理） J不随时间变化 漩涡理论 海姆霍兹第一定理既适用于理想流体

14、又适用于海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。粘性流体。 海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。 因为流体的粘性将导致剪切、速度等因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时 间衰减。间衰减。 漩涡理论 - 毕奥一沙伐尔定理毕奥一沙伐尔定理 问题问题: 已知旋涡场，能否确定速度场？已知旋涡场，能否确定速度场？ 由涡丝引起的速度称为由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场旋涡诱导速度场。 诱导速度场与电磁场的类比诱导速度场与电磁场的类比 磁磁 场场 诱导速度场诱导速度场 带电导线带电导线

15、涡丝涡丝(线线) 电流强度电流强度 旋涡强度旋涡强度 诱导磁场强度诱导磁场强度 诱导速度场诱导速度场 场点场点 2 sin r ds idH 2 sin 4r ds dv 方向方向: 垂直于垂直于dsds和所在的平面，按右手法则确定。和所在的平面，按右手法则确定。 2 sin 4r ds dv 流体力学中流体力学中毕奥毕奥沙伐尔公式沙伐尔公式的形式的形式 微元涡丝微元涡丝dsds在在P P点的诱导速度点的诱导速度 流体力学中流体力学中毕奥毕奥沙伐尔公式沙伐尔公式的形式的形式 单一有限长涡丝在单一有限长涡丝在P P点的诱导速度点的诱导速度 s r ds v 2 sin 4 dx r dv sin

16、 4 2 典型实例：无限长直涡丝典型实例：无限长直涡丝 dxdx段对点的诱导速度段对点的诱导速度 直涡丝直涡丝 段对点的诱导速度：段对点的诱导速度： 方向垂直于纸面向外方向垂直于纸面向外 2 1 12 sin 4 (coscos) 4 vd R R = =1801.1.对于无限长直涡对于无限长直涡丝：丝： 2.2.对于半无限长直涡丝：对于半无限长直涡丝：=90 =180 12 (coscos)1 ( 1) 442 v RRR 12 (coscos)0 ( 1) 444 v RRR 点涡的诱导速度点涡的诱导速度 0 2 r vv R （R R为场点至点涡的距离）为场点至点涡的距离） 这种速度场是

17、无旋的（例这种速度场是无旋的（例3.4） R 无限长的直涡丝无限长的直涡丝 点涡点涡 ！点涡不对自身！点涡不对自身 产生诱导速度产生诱导速度 例例5.15.1如图强度相等的两点涡的初始位置，试如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就就(a)(a)和和(b)(b)两种情况决定此两点涡的运动。两种情况决定此两点涡的运动。 解解: (a)(a)： 0 A xA dx v dt 点：点： 1 224 A yA dy v dtaa 由由BS定律定律 0 B xB dx v dt B点：点： 1 224 B yB dy v dtaa 34 , 4 BB xcytc a 12 , 4 AA xcytc a 积

18、分得积分得: ,0,0 AABB xa yxa y 时时 代入方程得代入方程得: 1= 2= 3=- 4= 故，两点的运动方程为故，两点的运动方程为: : , 4 BB xayt a , 4 AA xayt a 两点涡相对位置保持不变，两点涡相对位置保持不变， 它们同时沿方向等速向下移动。它们同时沿方向等速向下移动。 0 A xA dx v dt 点：点： 4 A yA dy v dta 0 B xB dx v dt 4 B yB dy v dta B点：点： 转动的角速度为转动的角速度为: 2 v 4aa 情况情况 ( b ) 点和点的运动方程为：点和点的运动方程为： 2 , 4 BB ra

19、t a 2 , 4 AA rat a - 兰金组合涡兰金组合涡 设流场中有一半径为的无限长圆柱形设流场中有一半径为的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为。 一、速度分布一、速度分布 （1 1）旋涡内部：）旋涡内部： 0, r VVr （r R） 2 2 2 2. R Rconst 外部流速与成反比。外部流速与成反比。 二、压力分布二、压力分布 （1 1）旋涡外部：）旋涡外部： 流动定常且无旋流动定常且无旋 拉格朗日积分式拉格朗日积分式(略去质量力略去质量力) 22 00 11 22 pVpVpC (, 0) 2 rV r 2 0 1 2 ppV

20、 （rR） r=Rr=R，V V V VR R 22 0 1 2 R ppR （2 2）旋涡内部）旋涡内部: : 定常有旋流动定常有旋流动 伯努利方程伯努利方程 2 1 2 L pVC 流线为同心圆族流线为同心圆族 不同流线上压力不同不同流线上压力不同 22 0 1 2 R ppVV 欧拉方程（略去质量力）欧拉方程（略去质量力） 1 xx xy VVp VV xxx 1 yy xy VV p VV xxy 求解过程求解过程 2 () pp xdxydydxdydp xy 22 2 () 2 xy dpd 22 22 1 () 22 xy pcVc 2 0 , , 1 2 R RR r R VV

21、 p ppV 22 0 1 2 R ppVV 2 1p x x 2 1p y y x y Vy Vx 旋涡内部压力分布：旋涡内部压力分布： 22 0 1 2 R ppVV 旋涡中心旋涡中心0,0rV 旋涡中心的相对压力为旋涡中心的相对压力为 2 0R ppV 旋涡外部旋涡外部:速度越大压力越小速度越大压力越小 旋涡内部旋涡内部:速度越小压力越小速度越小压力越小 2 0 1 2 R ppV 旋涡外部压力分布：旋涡外部压力分布： 结论：结论： 兰金涡兰金涡: : （Rankine） 压力分布：压力分布： 24 0 2 2 222 0 () 2 () 2 R pgzrR r p prRgzrR ( 0) r ( 0) r 重力的影响重力的影响 r rR R R区域，水面凹区域，水面凹 陷与陷与2 2成反比成反比 例例5.2 设流场的速度分布为设流场的速度分布为V Vr r， V V = r = r， constconst，求涡线方程。，求涡线方程。 解：解： 1 () 2 y x z V V xy sinsin x VVry 容易验证容易验证: : x xy y xyz dxdydz 涡线方程涡线方程: 积分得积分