浙教版初中数学八年级下册《特殊平行四边形》全章复习与巩固(基础)知识讲解

1、精品文档用心整理特殊平行四边形全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.理解矩形、菱形的概念，探索并证明矩形、菱形的性质定理，以及它们的判定定理.2.理解正方形的概念，探索并掌握正方形的对称性及其他有关性质，以及一个四边形是正方形的条件.3.会初步综合应用特殊平行四边形的知识，解决一些简单的实际问题.【知识网络】【要点梳理】要点一、矩形1定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）对角线互相平分且相等；（4）中心对称图形，轴对称图形.3面积：s矩形长宽判定：（1)有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2）对角线相等的平行四边形是矩形.

2、（3）有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：由矩形得直角三角形的性质：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半要点二、菱形1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（2）四条边相等；（3）两条对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）中心对称图形，轴对称图形.资料来源于网络仅供免费交流使用3面积：s菱形底高精品文档用心整理对角线对角线24判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（3）四边相等的四边形是菱形.要点三、正方形1.定义：

3、四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形.2性质：（1）对边平行；（2）四个角都是直角；（3）四条边都相等；（4）对角线互相垂直平分且相等，对角线平分对角；（5)两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形；（6）中心对称图形，轴对称图形.3面积：s正方形边长边长1=2对角线对角线4判定：（1）有一个角是直角的菱形是正方形；（2）一组邻边相等的矩形是正方形；（3）对角线相等的菱形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；（6）四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形.【典型例题】类型一、矩形1、（2016春常州期末）如图，在abc

4、中，ab=ac，d为bc的中点，aebc，deab试说明：（1）ae=dc；（2）四边形adce为矩形（【思路点拨】1）根据已知条件可以判定四边形abde是平行四边形，则其对边相等：ae=bd结合中点的性质得到ae=cd；（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形adce是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论【答案与解析】资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理证明：（1）如图，aebc，aebd又deab，四边形abde是平行四边形，ae=bdd为bc的中点，bd=dc，ae=dc；（2）aecd，ae=bd=dc，即ae=dc，四边形adce是

5、平行四边形又ab=ac，d为bc的中点，adcd，平行四边形adce为矩形【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论2、如图所示，在矩形abcd中，ab6，bc8将矩形abcd沿ce折叠后，使点d恰好落在对角线ac上的点f处，求ef的长.【思路点拨】要求ef的长，可以考虑把ef放入aef中，由折叠可知cdcf，deef，易得ac10，所以af4，ae8-ef，然后在aef中利用勾股定理求出ef的值【答案与解析】解：设efx，由折叠可得：deefx，cfcd6，又在adc中，ac=62+82=10资

6、料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理afaccf4，aeadde8x在aef中，ae2=af2+ef2，即(8-x)2=42+x2，解得：x3ef3【总结升华】在矩形折叠问题中往往根据折叠找出相等的量，然后把未知边放在合适的直角三角形中，再利用勾股定理进行求解举一反三：【变式】把一张矩形纸片（矩形abcd）按如图方式折叠，使顶点b和点d重合，折痕为ef若ab3cm，bc5cm，则重叠部分def的面积是_cm2【答案】5.1.提示：由题意可知bfdf，设fcx，df5x，在rtdfc中，dc2+fc2=df2，解得x，bfde3.4，则s523.435.1.81=deabef12类型二、

7、菱形3、（2015遵义）在rtabc中，bac=90，d是bc的中点，e是ad的中点，过点a作afbc交be的延长线于点f（）求证：aefdeb；（2）证明四边形adcf是菱形；（3）若ac=4，ab=5，求菱形adcf的面积【答案与解析】（1）证明：afbc，afe=dbe，e是ad的中点，ad是bc边上的中线，ae=de，bd=cd，在afe和dbe中，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理，afedbe（aas）；（2）证明：由（）知，afedbe，则af=dbdb=dc，af=cdafbc，四边形adcf是平行四边形，bac=90，d是bc的中点，e是ad的中点，ad=dc=b

8、c，四边形adcf是菱形；（3）解：设菱形dc边上的高为h，rtabc斜边bc边上的高也为h，bc=dc=bc=h=，菱形adcf的面积为：dch=10【总结升华】运用菱形的性质可以证明线段相等、角相等、线段的平行及垂直等问题，关键是要记住它们的判定和性质.举一反三：【变式】用两张等宽的纸带交叉重叠地放在一起，重合的四边形abcd是菱形吗？如果是菱形请给出证明，如果不是菱形请说明理由【答案】四边形abcd是菱形；证明：由adbc，abcd得四边形abcd是平行四边形,过a，c两点分别作aebc于e，cfab于fcfbaeb90aecf（纸带的宽度相等）abecbf，abecbf,abbc,四边

9、形abcd是菱形.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理4、如图，e、f、g、h分别是bd、bc、ac、ad的中点，且abcd下列结论：egfh，1四边形efgh是矩形，hf平分ehg，eg（bcad），四边形efgh是2菱形其中正确的个数是（）a1b2c3d4ef1【答案】c；【解析】解：e、f、g、h分别是bd、bc、ac、ad的中点，111cd，fgab，ghcd，heab，2222abcd，effgghhe，四边形efgh是菱形，egfh，正确；四边形efgh是矩形，错误；hf平分ehg，正确；当adbc，如图所示：e，g分别为bd，ac中点，连接cd，延长eg到cd上一点n，

10、en11bc，gnad，221eg（bcad），只有adbc时才可以成立，2而本题ad与bc很显然不平行，故本小题错误；四边形efgh是菱形，正确综上所述，共3个正确故选c【总结升华】本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与abcd判定四边形efgh是菱形是解答本题的关键类型三、正方形5、如图，在四边形abcd中，abbc，对角线bd平分abc，p是bd上一点，过点p作pmad，pncd，垂足分别为m，n（1）求证：adbcdb；（2）若adc90，求证：四边形mpnd是正方形资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（【思路点拨】1）问通过证明三角形全

11、等来证明角相等；（2）先证明四边形mpnd是矩形，再证明一组邻边相等，从而证明四边形mpnd是正方形.【答案与解析】证明：(1)bd平分abc，abdcbd.又babc，bdbd，abdcbd.adbcdb.(2)pmad，pncd，pmdpnd90，又adc90，四边形mpnd是矩形.adbcdb，pmad，pncd，pmpn.四边形mpnd是正方形.【总结升华】熟记正方形的判定定理，有一组邻边相等的矩形是正方形.6、如图，一个含45的三角板hbe的两条直角边与正方形abcd的两邻边重合，过e点作efae交dce的角平分线于f点，试探究线段ae与ef的数量关系，并说明理由.【思路点拨】aee

12、f根据正方形的性质推出abbc，badhaddce90，推出hacef，根据heb是以b为直角的等腰直角三角形，得到bhbe，h45，hace，根据cf平分dce推出hfce，根据asa证haecef即可得到答案【答案与解析】探究：aeef证明：bhe为等腰直角三角形,hheb45，bhbe.又cf平分dce，四边形abcd为正方形，资料来源于网络仅供免费交流使用fce12精品文档用心整理dce45，hfce.由正方形abcd知b90，hae90dae90aeb,而aeef，fec90aeb，haefec.由正方形abcd知abbc，bhabbebc，hace,aheecf（asa）,aeef

13、.【总结升华】充分利用正方形的性质和题目中的已知条件，通过证明全等三角形来证明线段相等.举一反三：【变式1】如图所示，e、f、g、h分别是四边形abcd各边中点，连接ef、fg、gh、he，则四边形efgh为_形此时四边形efgh为平行四边形，且eh1(1)当四边形满足_条件时，四边形efgh是菱形(2)当四边形满足_条件时，四边形efgh是矩形(3)当四边形满足_条件时，四边形efgh是正方形在横线上填上合适的条件，并说明你所填条件的合理性【答案】四边形efgh为平行四边形；解：(1)acbd，理由：如图，四边形abcd的对角线acbd，1bd，hgac，得ehgh，22故四边形efgh为菱形(2)acbd，理由：如图，四边形abcd的对角线互相垂直，此时四边形efgh为平行四边形易得ghbd，即gheh，故四边形efgh为矩形(3)acbd且acbd，理由：如图，四边形abcd的对角线相等且互相垂直，综合(1)(2)可得四边形efgh为正方形本题是以平行四边形为前提，加上对角线的特殊条件来判定特