初二年下学期第20章平行四边形的判定考点复习指导

1、典型问题解析 1. 证明线段垂直 例1已知：如图，在平行四边形ABCD中, AB=2BC M为AB的中点，求证：CML DM DC A M B 分析：根据平行四边形的性质， 不仅对角相等，而且相邻的角也互补， 这就为证明垂直提供 了充分的条件。又有已知中AB=2BC和M为AB的中点，可以得到相等的角。 其中有内错角相 等，也有等边对等角性质的应用，使/ CDIM-Z DCM=90可使问题得到解决。 证明：在平行四边形 ABCD中, AB/CD, AD=BC / AMDM CDM / BMCM DCM / AB=2BC M是AB的中点 AD=AM=BM=BC / ADMM AMD / BMCM

2、BCM / ADMM CDM / BCMM DCM / CDM= / ADC / DCM= / BCD 又/ ADO / BCD=180 / CD / DCM=90 ,即/ DMC=90 CM!DM 评析：本题通过利用平行四边形和等腰三角形的性质，证明了CM DM所在的三角形两锐角 互余，由三角形内角和定理得出/ DMC=90 ,从而得到结论。 这是证明两线段互相垂直的常 用方法。 2. 证明线段平行 例2如图，AB CD交于点 Q AC/DB, AO=BO E、F分别为OC 0D的中点，连结 AF、 B吕求证：AF/BE。 c 分析：从已知条件可证 AOC A BOD得到OC=OD又有E、F

3、为OC OD中点，贝U OE=OF 判定四边形AFBE为平行四边形，即有 AF/BE。 证明：连结 BF AE,v AC/DB ,/ C=Z D。 在 A AOC和 A BOD中，有 fzc N ZD 彳 ZAOC = ZBOD 1 AO = BO A AOC A BOD - OC=OD 又E、F为OG OD的中点， OE=OF四边形 AFBE是平行四边形， AF/BE。 评析：学习了平行四边形以后，又多了一种证明平行线的方法。 3. 证明线段相等 例 3如图，A ABC中，AB=AC P 是 BC上的一点，PE/AC , PE/AB，分别交 AB AC于 E、 F,请猜出线段PE、PF、AB

4、之间存在什么关系，并证明你的猜想。 分析：从已知条件中不难证明 PF=AE PE=BE从而PE、PF、AB之间满足关系式：一。 即猜想结论：PE+ PF=AB 证明：/ PE/AC， / BPE=Z C / AB=ACB=Z C / BPE=/ B,. PE=BE PE/AC, PF/AB , 四边形AEPF是平行四边形， PF=AE / BE+ AE=AB PE+ PF=AB 评析：在解决此类探索性问题时，一般通过对已知条件的分析、比较、概括探索出结论，这 就是对猜想问题的常用解题思路。 4. 求线段的长度 例 4如图，在四边形 ABCD中, AB=6 BC=8,/ A=120,Z B=60

5、,Z C=150,求 AD 的长。 分析：要求AD的长度，需要借助辅助线把问题转化，由/A和/ B的关系可以判定 AD/BC, 这样不妨过点C作AB的平行线，构成一个平行四边形，然后利用角之间的关系与平行四边 形的性质，使问题得以解决。 解：点C作CE/AB交AD于E, / A+Z B=180 AD/BC 四边形ABCE是平行四边形 AE=BC=8 CE=AB=6 Z BCEZ A=120 又tZ BCD=150 Z DCE=30 而Z D=360 120 - 60 150 =30 Z D=Z DCE=30 DE=CE AD=8+ 6=14 评析：在判定AD/BC后，辅助线的添加是解题的关键，

6、虽然辅助线的添加在解题时没有一 定规律可循，但可以通过分析已知条件与待求结论，从中得到启发，从而正确地作出辅助线。 精选精练: 一、你能填对吗 1 用边长分别为2cm, 3cm, 4cm的两个全等三角形拼成四边形，共能拼成 个四边形，个为平行四边形。 2.在四边形 ABCD中，若AB=CD，再添加一个条件为 形ABCD为平行四边形。 ，就可以判定四边 3.延长 ABC的中线 AD至E, 使 DE=AD，连接BE, CE,贝U AB. AC CE , BE。 4.若四边形ABCD中，AC , BD相交于点0,要判定它为平行四边形，从角的关系看 应满足，从对角线的关系看应满足 5.已知E、F、G、

7、H分别为 ABCD各边的中点, 则四边形EFGH为 二、选一选 6能识别四边形 ABCD是平行四边形的题设是（ A. AB / CD, AD=BCB. / A= / B , / C=Z D CB=CD C.AB=CD ,AD=BC D.AB=AD , 7.点A , B, C, D在同一平面内，从AB / CD , 这四个条件中任选两个，能使四边形 AB=CD， BC / AD， BC=AD ABCD是平行四边形的选法有（） D. 6种 C. F列结论正确的是（ 对角线相等且一组对角相等的四边形是平行四边形 一边长为5cm，两条对角线长分别是 4cm和6cm的四边形是平行四边形 一组对边平行且一

8、组对角相等的四边形是平行四边形 图 19 - 1 - 26 对角线相等的四边形是平行四边形 9.不能判定四边形 ABCD是平行四边形的条件是 A. AB=CD , AD=BC / CD , AD / BC B . AB / CD , AB=CD C. AB=CD , AD / BC D. AB 10.如图19 1 26，在U ABCD中，E, F分别在 为平行四边形，须添加一个条件，这个条件可以是（ BC, AD上，若想使四边形 ）。 AFCE AF=CF ; AE=CF ;/ BAE= / FCD ;/ BEA= / FCE。 A 或 B .或 C 或 D 或或 11.如图 19 1 27,

9、在厶 ABC 法中正确的有（）个。 中，DE / AB , FD / BC, EF / AC ,则下列说 图中共有三个平行四边形； AF=BF, CE=BE, AD=CD : EF=DE=DF ; s 19 - 1 - 27 图中共有三对全等三角形。 三、解答题 12 .如图19 1 28，在LI ABCD中，E, F为BD上的点，BF=DE，那么四边形 AECF 是什么图形？试用两种方法证明。 13. 已知：在 ABC中，AB=AC，EF是厶ABC的中位线，分别交 AB，AC于E，F， 1 CE = CD 延长AB至U D，使BD=AB，连接CD。求证：2。 14. 如图19 1 29 ,

10、ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 0 ,过点0作两条直线 分别与AB , BC , CD , AD交于G, F, H, E四点。求证：四 边 形 EG FH 是 平 行 E 月 H 图 19 “ 1 - 3C 图 19-1-31 边形。 15. 如图19 1 30，分别以厶ABC的三边为边长，在 BC的同侧作等边三角形 ABD , 等边三角形BCE，等边三角形 ACF，连接DE, EF。求证：四边形 ADEF是平行四边形。 四、思维拓展 16. 如图19 1 31，在 ABCD中，AE丄BD , CF丄BD，垂足分别为点 E, F,点G , H分别为AD , BC的中点，试证明 EF和G

11、H互相平分。 17. 如图19 1 32 , ABC是边长为4cm的边三角形，P是厶ABC内的任 意一点，过点 P作EF / AB分别交AC , BC于点E, F，作GH / BC分别交AB , AC于点G, H，作MN / AC分别交 AB , BC于点M , N，试猜想：EF+GH+MN 的值是多少？其值是否随 P位置的改变而变化？并说明你的理由。 五、中考热身 18. （ 2005年苏州市）如图 19 1 33,在U ABCD中，下列各式不一定正 D 确的是（）。 A . Z 1 + / 2=180 B. Z 2+ / 3=180 C. Z 3+ / 4=180 D . Z 2+ / 4

12、=180 答案 1 .六；三 2. AB / CD 或 AD=BC 3/ - / 4. Z A= / C ,Z B= / D 或/ A+ / B= / B+ / C=Z C+ / D= / D+ / A=180 ; AO=CO , BO=DO 5. 平行四边形 6. C 7. B8. C 9. C 10. D11. B 12. 平行四边形。方法一：连接 AC,利用 对角线互相平分的四边形为平行四边形”来 证明。 方法二：证 ABE CDF , AFD CEB，利用 两组对边分别相等的四边形为平 行四边形”来证明。 1 BF =CD 13. 提示：先证明 EBCFCB，得CE=BF，再证2。 14. 先证 AEO CFO,得OE=OF，同理可得 OG=OH，所以四边形 EGFH是平行 四边形。 15. 先证 EDB CFE，可得 BD=EF , ED=CF。： BD=DA , CF=AF , a ED=AF , EF=DA ,四边形ADEF是平行四边形。 16. 提示：连接 GE, EH, HF , GF,先证GE=HF，再证GE / HF即可。 17. 其值为8cm,且不随P位置的改变而变化。 理由：由厶ABC为等边三角形可得