椭圆常见题型与典型方法归纳

1、椭圆常见题型与典型方法归纳 考点一椭圆的定义 椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点 FF2的距离的和等于常数 2a（2aA|F,F2）的点的轨迹叫做椭圆这两 c e= (0e1)的动点 M的 a ，这个常数e是椭圆的离心 定点Fi,F2叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距 椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 轨迹叫做椭圆这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线 注意：当平面内与两个定点Fi, F2距离的和等于常数 2a（2a =| F1.F2）的点的轨迹是线段 RF?; 当平面内与两个定点F1, F2距离的和等于常数 2a（2|F1.F

2、2）的点的轨迹不存在 例 动点P到两个定点F0) a b 2 2 爲 +笃=1 (a b a 0) a b 图形 i 1 M J M z J f 1 1 TX F1 -a ,-F2 范围 a兰x兰a 1, -b 兰 y E b _a 兰 y 兰 a, -t ）兰x兰b 对称性 关于原点对称x轴和y轴是椭圆的对称轴 顶点 (a,0),( -a,0),(0, b),(0, -b) (b,0),( -b,0),(0, a),(0, -a) 离心率 c (0,1) a 焦占 八 、八、 (c,0),( -c,0) (0,c),(0, -c) 焦距 |吋2 =2c (其中 c2 = a2 b2) 长轴长

3、 2a 短轴长 2b 准线方程 2 a x = c 2 a, y = c 通径 d=2b2 a 二典型练习 2 2 1椭圆x y 1的长轴位于 轴，长轴长等于 ；短轴位于 轴，短轴长等于；焦点在 轴上，焦点坐标 43 分别是 _和_；离心率e=_；左顶点坐标是 _；下顶点坐标是 _；椭圆上点的横坐标的范围 是，纵坐标的范围是 ； Xoyo的取值范围是 。 2.(1)若椭圆短轴一端点到椭圆一焦点的距离是该点到同侧长轴一端点距离的3倍，则椭圆的离心率 (2) 若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍,则椭圆的离心率e (3) 若椭圆短轴长的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率e=。 考点四

4、点、线与椭圆的位置关系 2 x 点p(xo, yo)和椭圆 a 2 (a O)的位置关系 (1)点 p(Xo, yo)在椭圆外 2 Xo 2 2 xoyo 三or 1(2)点p(Xo, yo)在椭圆上=2 a ba (3)点p(Xo, yo)在椭圆内 二直线与椭圆的位置关系 1判断直线与椭圆相交- ：O；直线与椭圆相切 U / =；直线与椭圆相离 = (1)步骤：由椭圆方程与直线 I方程联立方程组；消元得一元二次方程；用韦达定理写成两根和积 (2)弦长公式 直线y = kx + b(k丸)与椭圆相交于 A(为,y) B(x?, 归两点，则 当直线的斜率存在时，弦长公式：I = J1 +k2 k

5、 -X2 = J(1 + k2) (% +x2)2 -4乂必2】 当 k 存在且不为零时 I =y1 - y2 = “1+_1r*；(y1 + y2)2-4yp y2。 V k k 三常用方法 22 Xy 1设而不求法 例经过椭圆1的右焦点作一条斜率为-1的直线，与椭圆相交于A,B ; 43 (I) 求线段AB的中点的坐标；(II)求线段AB的长 2点差法 例 求椭圆x2 2y2 =1中斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程 小结】设A(X1,y2)， B(X2, y2)是椭圆 2 2 冷.厶=1上不同的两点 a b ,且 X1 丰X2, X1 + X2 丰 0, M (xo, yo)为 AB 的中

6、 点，则两式相减可得 空兰.工竺二一匚即 X1 * X1 如 2 a 2 2 3 .中点弦问题：例 若椭圆Z 丄 1的弦被点(4, 2)平分，则此弦所在直线的斜率为 369 2 2 Xy 练习：设F1、F2分别是椭圆 += 1的左、右焦点. 54 (1) 若P是该椭圆上的一个动点，求PF1卩F2的最大值和最小值; (2) 是否存在过点A (5 , 0)的直线I与椭圆交于不同的两点 C、D,使得IF2CFI F2DI?若存在，求直线l的方 程；若不存在，请说明理由 考点五焦点三角形的性质及应用 一定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形 设 P(Xo, yo)为椭圆上一点，|PF

7、1|=1, |PF2|=2,/F1PF2= d) 000 1 方法(1)定义：几+ r2= 2a(2)余弦定理：(2c)+ 21V2COSV 面积 S.PF1F2 1 . 阴sin 2 =|2c yo 2性质已知椭圆方程为 2 2 Xy 22 -1(a b 0),左右两焦点分别为 F1, F2,在焦点 PF1F2中，则 ab S FPF2 =b2tan j 若 F1 PF2最大,则点P为椭圆短轴的端点cost - 1 - 2e2. 2 2 例 已知椭圆 笃第=1(a b 0)的两焦点分别为FF2,若椭圆上存在一点 P,使得.斤卩卩2=120,求椭圆 a b 的离心率e的取值范围。 练习 已知椭

8、圆的焦点是 Fi (- 1, 0)、F2 (1 , 0), P为椭圆上一点，且| FT? |是| PF! |和| PF2 |的等差中 项 求椭圆的方程； 若点P在第三象限，且ZPF1F2 = 120。求tan F2PF . 考点六 椭圆标准方程的求法 一常用方法： 1定义法， 2待定系数法 步骤 定位：确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上：设方程：根据焦点位置设出相应方程； 定值：根据题目条件确定相关的系数。 2 2 3当椭圆过两定点时，其标准方程可设为 mx ny =1(m 0, n 0), 二应用示例 1 .定义法 例1已知 ABC的顶点B, C的坐标分别为(七0),(3 0), AB边上的中线

9、CE与AC边上的中线 BF 交于点G ,且GF| -|GE =5 ,求点G的轨迹方程. 例2求到两定点 斤(-3,0), F2(3,0)的距离和等于10的点的轨迹方程. 练习1已知B,C是两个定点BC长等于8 ,且厶ABC的周长等于20 ,求顶点A的轨迹方程 2已知 ABC三边AB,BC,CA的长成等差数列，且AB长大于CA长，点B,C的坐标为(-2 , 0),( 2, 0)，求顶 点A的轨迹方程，并说明它是什么曲线 2 2 X y 3已知椭圆1(a 5)的两个焦点为且RF2 =8 ,弦AB过点F!,则厶ABF?的周长 a 25 4椭圆的两个焦点是(-、.6,0),(-60),过点(-.6,1

10、 ),求椭圆的方程。 2待定系数法例已知椭圆的焦距离为2 6且过点C.3, 2),求焦点在x轴上时的标准方程 3.轨迹法 例厶ABC的顶点A,B的坐标分别为 9 (-4,0 ),( 4,0)边AC,BC所在直线的斜率之积等于，求顶点C的轨迹方 16 程，并说明其轨迹是什么曲线 ; . 三典型练习 练习1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1) 两个焦点的坐标分别是(一4 , 0),( 4 , 0),椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10 ; 3 5 (2) 两个焦点的坐标分别是(0, 2 )、( 0 , 2),并且椭圆经过点(-一,一); 2 2 (3) 长轴长是短轴长的 3倍，并且椭圆经过点

11、 A (-3 ,3 ) 2 2 练习2已知点P(3, 4)是椭圆 冷 匕=1 (ab0)上的一点，BE是它的两焦点，若P&丄PF?,求 a2 b2 （1）椭圆的方程（2）zF2PF1的面积. 22q 3根据下列条件求椭圆的标准方程 （1）和椭圆共准线,且离心率为-.已知P点在以坐标轴为对称轴 的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 4 I 5和2 i 5 ,过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点 33 考点七椭圆定义与性质的应用 一定义的运用 二椭圆的几何性质应用 2 2 X V 1、基础知识 例 对椭圆1，求（1）画出草图（2）焦点，焦距（3）顶点，长轴的长，短轴的长， 259 （4）离心率，（5）左右准线方程，（6） P是椭圆上动点，则P到左焦点的距离最值. 练习 求椭圆的标准方程（1）长轴是短轴的2倍，经过点（4, 0）（ 2） 一个焦点为（2, 0）,经过点（-3 , 0） X = -4 （4）长轴在x轴上，一条准线方程是 2离心率 方法：求椭圆离心率e时，只要求出a,b,c的一个齐次方程，再结合a b2 c2就可求得e（0e b 0)的右焦点为F,右准线为I .若过F且垂直于x轴的弦长等于点F到I的距 a b 离，求此椭圆的离心率. 2已知长方形 ABCD , AB = 4