线性代数试题和答案版

1、、单项选择题（本大题共 一个是符合题目要求o,线性代数习题和答案第一部分选择题（共28分）14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出O四个选项中只有 请 将其代码填在题后O括号内。错选或未选均无分。A. m+n C. n- ma11a12a13a11ma 21a22a23a2i=n,则行列式1 设行列式a11 a12a13等于（2设矩阵A =00,A. 0a21 a 22 a23B.(m+n)D. m- nB.0120D.13C. 03设矩阵是Ao伴随矩阵，则A冲位于（1 , 2） 0兀素是（B. 6D.-设A是方阵，如有矩）AB=AC,则必有（b bD. |A| 0 时AT ）等于B. 2

2、D. 4,as和3 1,32,，3s均线性相关，则（入2,，入s使入lal+入2a2+入 入2,，入s使入1 （ a 1- 3 1 ）+入 2a 2,1,1,11,C 时 A=0B=CA. -6C. 24.阵关系式A. A =0C. A 0 时 B=C5. 已知3X4矩阵Ao行向量组线性无关，则秩（A. 1C. 3ai,6. 设两个向量组9。数入A. 有不全为。数入B. 有不全为 数入C. 有不全为 数入)=0 禾口入 1 3 1+入 2 3 2+入 s3 s=0 1 ( a 1+ 3 1 )+入2 ( a2+3丹入入，s(&+瓜篌入(a 2- 3 2)入2,，入s和不全莎(A)数矜够厉0七

3、使入1 a 1+入2a 2+ a S 3 s=0B.D. 有不全秀禾口卩1 3 1+ a23入s界+7. 设矩阵Ao秩为r,则A屮（A. 所有r-1阶子式都不为0C.至少有一个r阶子式不等于08. A&A粕t?腿 躺0沟线性解程组,B. 所有r-1阶子式全为D.所有r阶子式都不为2是其任意2个解，则下列结论错误0是（1 1 .n 1 + n 2 是 Ax=b O个解2 2C. n i- n 2 是 Ax=O O个解9设n阶方阵A不可逆，则必有（A.C.A=010.屮正确0是（C. k=312. 设A是正交矩阵，则下列结论错误0是 （A.|A|2 必为 1CAUV13. 设A是实对称矩阵，C是实

4、可逆矩阵，A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同o特征值D. A与B合同14.下列矩阵屮是正定矩阵0为（第二部分二、填空题（本大题共 10小题，每小题小题O空格内。错填或不填均无分。B. k3）B.|A必为1D. A o行（列）向量组是正交单位向量组B=CTAC .则（）34B.26D.2 n 1- n 2 是 Ax=b O个解秩（A） vnB.秩（A） =n- 1D. 方程组Ax=0只有零解设A是一个n （3）阶方阵，下列陈述 ）A. 如存在数入和向量a使Aa=入a,则a是AO属于特征值入O特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E-A） a=0,则入是AO特征值C. AO

5、2个不同O特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A 03个互不相同O特征值，a 1, a 2, a 3依次是AO属于入1,入2,入30特征向量，贝Ual, a 2, a3有可能线性相关11. 设入0是矩阵Ao特征方程03重根，Ao属于入。0线性无关o特征向量o个数为k,则必有()A. k 3)1 1 123D. 1 20A.34102非选择题（共72分）1002分，共20分）不写解答过程，将正确O答案写在每C. 02316.设 A1 11 , B= 134则A+2B=17.设 A=(aj)3x3,|A|=2 ,Aj表示|A|中元19.设A是3x4矩阵，其秩为3, 解为若m, n2

6、为非齐次线性方程组Ax=bo2个不同o解，则它o通素ajO代数余子式(ij=1,2,3),则222(ai 1A21 +ai2A22+ai3A23) +(a2iA2i +a22A22+a23A 23) +(a3iA 2i+a32A22+a33A23)=18.设向量(2,3, 5)与向量(4, 6, a)线性相关，贝ya=.20.设A是mxn矩阵，Ao秩为r（n）,则齐次线性方程组Ax=0o个基础解系中含有解0个数为21. 设向量a、30长度依次为2和3,则向量a + B与aBO内积（a+3, a - 3 ）= 15. 356925 3622. 设3阶矩阵AO行列式|A|=8,已知A有2个特征值和

7、4,则另一特征值为0 10623设矩阵A= 13,已知a =21是它一个特征向量，则a所对应特征值2 108 2为24设实二次型f （Xi,X2,X3,X4,X5）秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为三、计算题（本大题共 7小题，每小题6分，共42分）1202325.13- A= 340,B =24121311226 试计算行列式51342011153342327.设矩阵/ =110,求矢1阵1232128.给定向量组a1 =0a 2=31求0(1 )ABT； |4A|.B使其满足矩阵方无1- AB =A+2B13030 1a 3=.a 4=224419试判断a 4是否为a1,a2.a3线性组

8、合;1210229.设矩阵/=242662102333334求：（1）秩（A ）;若是，则求出组合系4（2） A列向量组一个最大线性无关组02230. 设矩阵A=2 3 4全部特征值为1 ,1和8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T1AT=D.24331 .试用配方法化下列二次型为标准形222 f（X 1 ,X2,X3）= Xi 2X23X34X1X24XiX34X2X3 ,并写出所用满秩线性变换。四、证明题32. 设方阵A满足A3=0,试证明EA可逆，且（EA） GE+A+A2.33. 设n。是非齐次线性方程组Ax=b一个特解，E1, E2是其导出组AX=0一个基础解系 试证明(1) n 1=

9、nO+El, n 2= n 0+E 2均是 Ax=b 解; no, n、n 2线性无关。答案：14小题，每小题2分，共28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B-、单项选择题（本大题共11. A12.B13.D14.C二、填空题(本大题共10空，每空2分，共20分)15. 6 16.17. 418. -019. nl+C( n2- nl)(或 n 2+C( n 2- n 1), C 为任意常数20. n- r21. -522. 4 31 1Z 2*2 严，42三、计算题（本大题共 7小每小题6分，共42分）1 2 02225.解 ABT=34 0341 2 1108

10、 6=18 10310(2) |4A|=43|A|=64|A|,而120|A|=3402.121所以 |4A|=64 (- 2) =- 128511100 1026 懈11 131553051111 1 1550625530 1040.27解 AB=A+2B 即(A- 2E)B=A,而223 1143(A- 2E) 1 =:110 153121 16 4143423所以B=(A-2E)- 1A= 1531101 641 233112513420 115386=296 .2 12921 300532”13 0113012R縫一02240112349013112所以a 4=2 a 1+ a : 2

11、+ a 3,组合系数为(2,1,1) 解二考虑 a4=Xi a 1+X2 a2+X3 a3,2X1 X2 3X30即X1 3X212X2 2X343X1 4X2X39.方程组有唯一解（2,1, 1） T,组合系数为（2, 1, 129.解对矩阵A施行初等行变换12 10 200062A032820963212102121 020328303283=B.000620003100021700000(1)秩(B)所以秩（A）=秩(B)=3.由于A与B列向量组有相同线性关系，而B是阶梯形，B第1、2、4列是B列向量组一个最大线性无关组，故A第1、2、4列是A列向量组一个最大线性无关组。（人第仁2、5列

12、或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A属于特征值入=1 02个线性无关特征向量为E1= （2, - 1,0） 丁，2= （2, 0, 1） 丁.25/52、5/15经正交标准化，得 站= 5/5, n2=4 5/15 .05/3入=8一个特征向量为11/3E3=2 ,经单位化得n 3L： 2/3.22/32 5/5215/151/3所求正交矩阵为T= ,5/54.5/152/3 .05/32/31 00D=0 10 .0082.5/52.15/151/30.5/32/3 .).5/545/152/3对角矩阵(也可T(二(Xi+2Xr 2X3)=(Ya4-9Yo-2X2 2x331. 解 f(Xi, X2,X3)=yi X12 2 2X2 +4X2X3- 7X32- 2 ( 乂”Xa ) 2-X2 X3,y3X3Xi yi 2y2即X2X3y2 y3y3因其系数矩阵1 2C= 00001可逆，故此线性变换满1经此变换即得Xa) O标准形四、证明题(本大题共32.证由于(E-A)(E+A+A2)所以EA可逆，且(E-A) 1= E+A+A2 .f(X 1, X2,yi2- 2y22- 5y32 .2小题，每小题5分，共10分)=e-a3=e ,33证 由假设 A n o=b, A Ei=o, A E2=o.(1) Ani