第二节向量及其运算(二)

1、第二节 向量及其运算 (二 )Vector and Linear Computation、向量的坐标在给定的空间直角坐标系中，沿x轴、y轴和z轴的正向各取一单位向量，并分别记为 i,j,k ,称它们为基本单位向量 .设点M(x,y,z),过点M分别做x轴、y轴和z轴的垂面，交x轴、y轴和z轴于A,B和 uuurC 显然，0Auuur uuur xi,OB yj,OC uuuur uuur OM OPzk .于是uuuur uuur uuur PM OA OBuuur OC xi yj zk uuuur,M (x, y,z)为终点的向量 0M都可表示为坐标与所对应 的基本单位向量的坐标表达式，简

2、记为上式表明,任一以原点为起点uuuurOM x,y,z【例 1】达式 .已知三点A(1，2，4)， B(uuur2，3，1)，C(2，5，0) ，分别写出 OA 、uuru uuurOB 、 OC 的坐标表OA i【例 2】 解2j 4k 已知两点uuur1，2，4; OBM 1(x1, y-i ,z1), M 2(x2, y2, z2),求向量 MjM2 的坐标表达式uuur2i 3j k 2，3，1; OC uuuuuur2i 5j 2，5，0uuuuuur uuuuur uuuuurM1M 2 OM 2 OM1x1,y1,z1 x2,y2,z2x1 y1 z1 x2,y2,z2uuuu

3、uur由例2看出空间任意向量 MjM2也可以表示为如下形式uuuuuurM1M2 (x2 x1)i (y2 y1)j (z2 z1)k uuuuuur若令 a M1M2,ax x2x1,ayy2 y1,az z2 z1则空间任意向量 a 可表示为a axi ayj azk其中ax ,a y ,az称为向量a的坐标.、向量的线性运算的坐标表示设 aaxiayj azkax,ay,az, bbxibyjbzk ，则ab(axiayjazk)(bxibyjbzk)(axbx) i(ay by )j(azbz)kaxbx,ayby,az bzab(axiayjazk)(bxibyjbzk)(axbx)

4、 i(ay by )j(azbz)kaxbx,ayby,az bzaaxiayjazk【例3】设a 3i 4jk，bi 2j 3k，求 3a 2b .解3a2b3(3i 4j k) 2(i 2j3k)(9i 12j 3k) (2i 4j6k)7i 16j 9kM(ax,ay,az)为终点的向量，由两点间的距离公式，得a1111 inOM/ 2 2y axay2azaa冏axayazJa：2ay2az，f 2一 _ 2 _ Wx ayaz2 J2 2 2 如ayaz设向量a ax,ay,az，它是以原点为起点、设非零向量a与x轴、y轴和z轴的正向的夹角依次为(规定0),、向量的模与方向余弦2称为

5、向量a的方向角，它们的余弦称为2,cos2(a,b).定义1设向量a,b的夹角为 即，把数量a|b cos叫做a,b的数量积(或点积)，记作a b .a b a|bcoscosaxaxa.a：2ay2azcosayayaF2ay2azcosazaza.al2ay2aza的方向余弦.当a2 2 2 ,cos cos cos 1a cos ,cos ,cos 【例4】设a 2, 2*2, 2,求a的模、方向角及方向余弦解|aJ22 ( 2血)2 ( 2)2VT6 42 1242.cos,cos 424故一，34四、向量的数量积1.数量积的定义两向量a,b的夹角是指它们的起点放在同一点时，两向量所夹

6、的不大于的角，记为特别地，当a b时，a a2.数量积的运算规律(1)交换律分配律(3)结合律b)由定义，若两向量a与b互相垂直，夹角i，ab 0.反之，若非零向量a，b的数量积-，即 ab 因此有结论：2b 0.【例5】试证向量(b c)a (a c)b与c垂直.证明 因为为零，即a b 0,由于a0,b两非零向量a与b互相垂直的充要条件是a b b aa (b c) a b a c (a b) ( a) b a (3.向量积的坐标表达式因为基本单位向量i,j,k互相垂直，所以i j设 aaxiayjazk, bbx,by,bza b (axi ayjazk) (bxibyjaxbxi i

7、axbyi j axbzi k azbxk ibzk) aybxj i azbyk jaybyj jaybzj kazbzk kc (b c)a (a c)b(b c)(c a) (a c)(c b) 0 所以向量(b c)a (a c)b与c垂直.j k k i 0,i i j j k k 1bxi byj bzk ,即a ax,ay,az, baxbx ayby azb 即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和【例 6】设 a 1,0, 2,b 3,1,1,求 a解 a b 1 ( 3) 0 1 ( 2) 15由数量积的定义可知，a,b夹角的余弦为a ba bcos(a,b)(a0,b0)再由

8、向量的模和数量积的坐标表达式可得【例7】uuu解 ABaxbx ayby azbz,a： a： a； ：b： by b；uuu uur已知三点 A(1,1,1),B(2,2,1)和 C(2,1,2)和 C(2,1,2)，求 AB 和 AC 的夹角. uuur1,10, AC 1,0,1uuuABcos(a,b)12 12 02uuu uuurAB AC 102 12 2所以uur uuur 1cos( AB, AC) -=J2J2uuu uuur 故(AB,AC)-.3五、向量的向量积1.向量积的定义uuu设0为一定点，A为力F的作用点，OA r，现求力F对于定点0的力矩.记力矩为M ,r与F

9、的夹角为，则力臂rsin，力矩的大小为MFF|rsin力矩M的方向垂直与r与F，且指向符合右手法则，即四指指向r弯向F ,这时拇指的指 向即为M的方向.定义2 向量a和b的向量积(或称叉积)是一个向量，记作cab它满足下列条件：(1) c a|b sin(a,b);(2) c a,c b;(3) a,b,c成右手系.根据向量积的定义，力F作用于点A,对原点O的力矩为M r F向量积满足以下运算规律(1)结合律(a) b(ab) a ( b);分配律a (b c)ab a c(b c) aba c a注意:两向量的向量积一般不满足交换律，即a b b a ,一般地，有a b b a.由两向量的向

10、量积的定义可知,两非零向量a与b相互平行的充分必要条件是 a b 0.2.向量积的坐标表示式设 a axi ayj azk ,bbxi byjbzk，则ab (axiayjazk)(bxi byj bzk)axbxiiaxbyijaxbxij aybxj iaybyj jaybzjk azbxk i azbyk jazbzk k由于i i j j kk0i j kj ikj k ik j ii kjk i j所以a b (aybzazby)i(azbxaxbz)j (axby aybx)k由此可见，两向量平行的充要条件是aybzazbyazbxaxbzaxbyaybx0即电axaxbxbxbx

11、向量a与b的向量积也可通过仃列式求得，即【例8】解 aa【例9】uuuABuuu因为ABuuurAC【例10】axbxaybyazbzaybyazbzaxbxa 2,5,7, b 1,2,4,求 a(5 4 2 7)i(1 7 2 4)j(2 26, 1, 1,62( 1)2 ( 1)2. 38azbzaxbx1 5)kb已知三角形的顶点为A(1,2,3), B(3,4,5), C(2,4,7)uult2,2,2, AC 1,2,4,从而uuu uuuruuu uuur _AB AC 4, 6,2, AB AC届uuu uuur为以AB与AC为邻边的平行四边形的面积，故uuu uuurumruiurayby,求三角形的面积2、14ABC的面积为1 uuir uuu_S -AB AC2求同时垂直与a 1, 1,2和b 2, 2,2的单位向量c解由向量积的定义知，向量c ab同时垂直与a,b ,故c是同时垂直与a,b的单位向量易求a b 2,2,011门、2l2,0显然，c1.21 ,0也是满足题意的向量，所以 1 , 1 ,0、2 、2 . 2为所求课堂练习：uiu