直线与方程知识(老师)

1、直线与方程知识点 知识要点： 、倾斜角与斜率 知识点1 ：当直线I与X轴相交时，x轴正方向与直线I向上方向之间所成的角叫做直线I的倾斜角. 注意：当直线与X轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2:直线的倾斜角（90 ）的正切值叫做这条直线的斜率.记为k tan . 注意：当直线的倾斜角90时，直线的斜率是不存在的- 知识点3:已知直线上两点P（Xi,yJP2（X2,y2）（人x?）的直线的斜率公式：k -. X2 Xi 知识点4:两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率 相等，则它们平行，即li /I?ki=k2:. 知识点5:两条直线都有斜

2、率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜 率互为负倒数，则它们互相垂直. 1 即 li I2kikik2 1 - k2 注意：1. I1/I2 ki k2或Ii，I2的斜率都不存在且不重合. 2. li I2 ki*2 1或ki 0且I2的斜率不存在，或k2 0且Ii的斜率不存在. 、直线的方程 知识点6：已知直线I经过点P（x,y），且斜率为k，则方程y y。 k（X x。）为直线的点斜式方程. 注意：x轴所在直线的方程是 ，y轴所在直线的方程是 . 经过点R（X0,y）且平行于x轴（即垂直于y轴）的直线方程是 . 经过点心）且平行于y轴（即垂直于x轴）的直线方程是

3、. 知识点7:直线I与y轴交点（0,b）的纵坐标b叫做直线I在y轴上的截距.直线y kx b叫做直线的斜截 式方程. 注意：截距b就是函数图象与y轴交点的纵坐标. y yix xi (xi X2, yi y2 yiX2 xi 知识点8:已知直线上两点 片任必）,艮区必）且（Xix?,yi2），则通过这两点的直线方程为 y2），由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程 知识点9:已知直线I与X轴的交点为A（a,0），与y轴的交点为B（0,b），其中a 0,b 0，贝U直线I的方 程为 1，叫做直线的截距式方程. a b 注意：直线与x轴交点（a,0）的横坐标a叫做直线在x轴上的截距；直线

4、与y轴交点（0,b ）的 纵坐标b叫做直线在y轴上的截距. 知识点10:关于x,y的二元一次方程Ax By C 0 （A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点（X0,y）在直线 Ax By C 0 上AX0 By C 0 - .直线的交点坐标与距离 知识点11:两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组 AixBy Ci0 A2XB2 yC20 若方程有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解, 则两直线平行. 知识点12：已知平面上两点P(Xi,yJ,P2(X2,y2)，则RP2 J% x)

5、 (y %). 特殊地：P(x,y)与原点的距离为OP X2 . 知识点13:已知点P(xo,yo)和直线l:Ax By C 0，则点P到直线I的距离为：d I Axo Byo ” C . /A2 知识点14：已知两条平行线直线l1 Ax By G 0， l2 ： Ax By C2 0，则h与I2的距离为d。2 yjA2B 知识点15：巧妙假设直线方程： (1) 与Ax By G 0平行的直线可以假设成：Ax By C? 0 (G和C2不相等) (2) 与Ax By C 0垂直的直线可以假设成：Bx-Ay+m=O (3) 过l1:A1x+Biy+Ci=0和I2: A2x+B2y+C2=0交点的

6、直线可以假设成 A1X+B1y+G+m(A2X+E2y+C2)=O(该方程不包括直线 l2:) 知识点 16： l1 :A1X+B1y+Ci=0 和 |2: A2X+Eby+Cb=0 垂直等价于 :A1A2+B1B2=0(A1和B1不全为零；A2和B2不全为零；) 知识点17：中点坐标公式：AZW),则AB的中点M(x,y),则x宁,y 例题解析 例 1.在第一象限的 ABC 中，A(1,1),B(5,1)， A 60, B 45O .求 AB边的方程；(2) AC和BC所在直线的方程. 例2.点(3,9)关于直线x 3y 10 0对称的点的坐标是(). A. ( 1, 3)B.(17, 9)

7、 C. ( 1,3)D. ( 17,9) 思考： (1) 点关于点的对称点如何求 (2) 线关于点的对称线如何求 (3) 线关于线的对称线如何求 例3.求经过直线3x 2y 6 0和2x 5y 70的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程 例4.方程(a 1)x y 2a 10(a R)所表示的直线(). A .恒过定点(2,3)B.恒过定点(2,3) C.恒过点(2,3)和(2,3)D.都是平行直线 例 5.已知直线 l1: x ay 2a 20,l2: ax y 1 a 0. 若I1/I2，试求a的值； 若h I2，试求a的值 例6 .已知两直线h：ax by 4 0，l2：(a 1)x

8、 y b 0，求分别满足下列条件的a,b的值. 直线l1过点(3, 1)，并且直线I1与直线I2垂直；直线I1与直线I2平行，并且坐标原点到I1,l2的距离相等 例7.过点P(4,2)作直线I分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点，当 AOB面积最小时，求直线I的方程 例8点P(x,y)在x+y-4=0上，则x2+y2最小值为多少 巩固练习: 1 .已知点(3,m)到直线x -3y 4 0的距离等于1,则m ( ) A.3B.3C. 工 D.3 或 3 3 3 2 .已知P(3, a)在过M (2, 1)和 N( 3,4)的直线上，则a 3 将直线y 3(x 2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转30

9、，所得的直线方程是 4.两平行直线Ii,l2分别过点P(1,0)和P(0,5), 若li与I2的距离为5,求两直线的方程； 设li与I2之间的距离是d，求d的取值范围。 5设直线I的方程为(m 2)x 3y m，根据下列条件 分别求m的值.I在x轴上的截距为 2 ; 斜率为 1. 达标测试 一、选择题(每题 3分，共36分) 直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是( D. 2, - 3 cici1c A. 2,B. 2,C. , 3 332 直线3x+y+1=0和直线6x+2y+1=0的位置关系是() A.重合B.平行C.垂直D.相交但不垂直 直线过点(-3, 2)且在两坐标轴上的截距

10、相等，则这直线方程为( (B) x+ y+ 5= 0; (D) x+ y+ 5 或 x y+ 5= 0 (A) 2x 3y= 0; (C) 2x 3y= 0 或 x+ y+ 5 = 0 直线x=3的倾斜角是() B. C.D.不存在 2 5 .圆x2+y2+4x=0的圆心坐标和半径分别是() A.( 2,0),2B.( 2,0),4C.(2,0),2D.(2,0),4 6 .点(1, 2 )关于直线y = x 1的对称点的坐标是 (A) (3, 2)(B) (3, 2) (C) (3, 2) 7 .点(2, 1) 到直线3x 4y + 2 = 0的距离是 4 5 4 25 (A)- (B)(

11、C) (D) 5 4 25 4 8 .直线x y 3 = 0的倾斜角是( ) (A) 30 (B) 45( C) 60 (D) 90 9.与直线I: 3x 4y + 5= 0关于x轴对称的直线的方程为 (D) (3, (A) 3x+ 4y 5= 0 (C) 3x+ 4y 5= 0 (B) 3x+ 4y+ 5 = 0 (D) 3x+ 4y+ 5 = 0 10 .设a、b、c分别为ABC中 A、B、C对边的边长，则直线xsinA+ ay+ c= 0与直线bx ysinB+ sinC=0的 位置关系() (A)平行；(B)重合；(C)垂直；(D)相交但不垂直 11.直线I沿x轴负方向平移3个单位，再

12、沿y轴正方向平1个单位后，又回到原来位置，那么I的斜率为() /A、11 (A) ；(B) 3;(C) - ；(D) 3 33 12 .直线kx y 13k,当k变动时，所有直线都通过定点( (B) (0, 1) (D) (2, 1) (A) ( 0, 0) (C) (3, 1) 、填空题(每题4分，共16 分) 4 13 直线过原点且倾角的正弦值是-，则直线方程为 5 14 .直线 mx + ny= 1 (mnO)与两坐标轴围成的三角形面积为 15 .如果三条直线 mx+y+3=0 x y 2=0,2x y+2=0不能成为一个三角形三边所在的直线，那么m的一个值是. 16 .已知两条直线11： y= x; 12: ax y = 0 (a R),当两直线夹角在(0, 一)变动时，贝V a的取值范围为 12 三、解答题(共48分) 17. ABC中，点A 4, 1 ,AB的中点为M 3,2 ,重心为P 4,2 ,求边BC的长(12分