立体几何之内切球与外接球习题讲义教师版资料

1、圆梦教育中心 立体几何中的“内切”与“外接”问题的探究1球与柱体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内 切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或 者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图1所示，正方体ABCD 一 ABiGDi ,设正方体的棱长为a，E,F,H,G为棱的中点， O为球的球心。常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形EFHG和其内切圆，则OJ訂沁；2二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形EFHG和其外接圆，则0G = R = a :2三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 ACGA和其外接圆

2、，则AQ=R亘.2通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根 据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体 的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题。例1 棱长为1的正方体ABCD-ABQ1D1的8个顶点都在球0的表面上，E，F分别是棱AA，DD1的中点，则直线EF被球0截得的线段长为（）A.丄B . 1 C. 1 二D. 、22 21t由题意可知竦为正方体的外接球.平面几爼耳鶴面用得區面的半径社匹価匚碉.直註取被球0截冷册裁段为球田敲而圆田直程2、2 21.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球但是不

3、一定存在内切球.设长方体的棱长为a,b,c,其体对角线为丨当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角 面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径R=- b.2 2例2在长、宽、高分别为2, 2,4的长方体内有一个半径为的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为10 n8 nA. 3 B.4 nC.-37n解；利用运动的观点分析在小球移动的过程中. 方体的内切瑪故4澎经过空间由上往下看为: x13 xix2 + xT x2= 7T323进过祁分的几何体因半径为1的小球好为棱银丸2的正半个幻噂、高为2的圆枉和半个三毬分的体积头h1.3 球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常

4、以外接形态居多。下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法。设正三棱柱ABC-ABG的高为h，底面边长为a，如图2所示，D和D1分别为上下底面的中心。根据几何体的特点，球心必落在高DD1的中点。,。书AOZD子，借助直角三角形AOD的勾股定理可求R的球面上，则正四棱柱的侧面积有例3正四棱柱ABCD ABQDi的各顶点都在半径为值，为箫=如團缶截面圉兀长7 ACAC1和亘外接同一球心沁阻的中虎 64Z?3 = 2 +/ 则正四棱柱的侧面积:则ROA.设正四檢柱的侧按长閃&，底面边长曲说，则S =斗吃白=NiM= 4/2J?2,故侧面积有巌大偉.42Aa 当且仅当 = J羽时等号威立.

5、2球与锥体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合， 以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查 几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1球与正四面体正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一， 利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长关系。如图4,设正四面体S-ABC的棱长为a，内切球半径为r，外接球的半径为R，取AB的 中点为D，E为S在底面的射影，连接CD,SD,SE为正四面体的高。在截面三角形SDC , 作一个与边SD和DC相切，圆心在高SE上的圆，即为内切球的截面。因为正四面体本身的对称性可

6、知，外接球和内切球的球心同为。此时，CO =OS = R,OE =r,SE = j|a,CEa,贝卩有 R + r=J|a, R2r2= CE2二专，解得：r二空a,r二空a.这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量 412关系进行求解同时我们可以发现，球心O为正四面体高的四等分点如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便例4将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A 后2苗 B 2+ 2/6C 4+2/6 D473+26.3333flff= “容器四面侔中的这四于小球.段四仆沁X）球心光顶点.枸威了一个棱长淘2的y球心H四

7、面悴叫 这个四面悴的高是輩位正四面悴壬 高f 尊）的2佶即六）卑?- “球心正四面悴安的底面到“容离正四 面悴”的地面冷J球半徒1-而球心正四面悴顶点.到容霸正四面悴的顶点的距离肉3 卜球半拄附 3倍“ 于是容器正四面体”的為肉金爭+3+1 .选择 这吓小球半律的u侣“是这拌;&的，做一个小球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍.2.2球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球解决的基本方法是补形法，即把三棱柱补形成正方体或者长方体。常见两种形式：一是三棱锥的三条棱互相垂直

8、且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心。如图5,三棱锥A -AB1D1的外接球的球心和正方体ABCD-ABCQ的外接球的球心重合，设AA二a，则R=-a。2二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直且不相等，则可以补形为一个长方体，它的2 ,.2 2 | 2外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心，R2 =里-C （ l为长方体的体对角线长）44SAr例5 在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM _ MN ,若侧棱SA = 2、3 ,则正三棱锥S - ABC外接球的表面积是 三梳锥呂-ABC外揍球的表面积是.解如囲亦正三像雄对蟻相互垂直，AC丄思艮文册

9、#盤7讥. 辺7丄卫U”又丄川血耐丄平面超C7 于杲册丄平面4： 册丄册.册丄Gr U而&4丄FO 此时正三S-ABC的三抚訓檯亙相垂直并且相琴.故捋 1E三按锥补務向工污体一球的半径2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合，常见的有两类,是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上， 根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等，都为球半径 R .这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥 面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例6在三棱锥P ABC中, PA= PB=P

10、C=3，侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为（）aA B. 3 C. 4 咱：如图T所示，过P点柞底而的C的垂细 垂圧次6 匚&为外咚球的球心，AH,AOt因AO = WrPA = -j3r 故PO = -f 又2朋。沟騙第三角形AH =PH = rt; = A(/+OHt2.4球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法、等进行求解。例如，四面体都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置。如图8,三棱锥S-ABC,满足SA_面ABC , AB _ BC，取SC的中点为O ,由直角三角形的性 质

11、可得：OA =OS =OB =OC ,所以。点为三棱锥S - ABC的外接球的球心,则R琴.例7矩形ABCD中，AB = 4,BC = 3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B 一 AC 一 D ,则四面体ABCD的外接球的体积是（）D.125n3125125125A. 二 B.二 C.二1296承 由题意分析可扯四面体岛加的外接球的球心落的中点，此时满足少= OD = 0养0匚3球与球对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能 力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系， 或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例8在半径

12、为的球内放入大小相等的 4个小球，则小球的半径的最大值为（）例-在半径黄R的球内旅入大日唏目等的4个小球则小球半径-的最尢值次(A 一1 近. I换一 JJ?图9C.H-D. -R毎 裳使猖小球的半径最大需便得4个小球的球心丸一个正四面体的 四个顶廉，如图9所示，此时正四更体A - BCD的外接球的球心湘O, 即丸半径为尺的球的球心，则AOR-rt又因O为乂6的四分点故4AOCR-r)-,在RtAABO中,AB = 2 |辰.(氏一卽=i _(|后比:.r = (f6-2)R4球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构

13、造直角三角形进行转换和求解 .2r = a 如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：4 .例8把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为()A. 10.3cm B. 10cm C. 10.2cm D.30 cm如图11所示，由题盍球心在AP上，球心再6 过0作EF的垂线ON垂足向N, OTTE, 01F僞因为各个棱都为20,所囚AM=10, EP=20BM=16 AB= lCh/2 ,设厶6円=口*p在AzA Erw中，BP2 -+ PM2 ,所以PM = 10苗.在pam弔，=也厂十占耳所厭刊1=10

14、的.在应仏 ABF 中* sin a = =,在 RiA ONP 中 nL=,所以BP 202OF OP=,所以茁=庞尺.在 Rti OAM 中 OM2 = AO2 十卫业严，所以，AJ = (10V2-V2)2+100 , OP 2 爾得，应=1D或3。（舍）所1乩左= 10tg故选氐综合上面的四种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时 首先要找准切点，通过作截面来解决如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面 体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题.解 决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径. 发 挥好

15、空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解.如果是一些特殊的几何 体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确.外接球内切球问题1.（陕西理）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A. 3 3 B .出C.出D .343412AB = AC = AA = 2, ._ BAC = 120 ,答案 B2. 直三棱柱ABC-ABQ的各顶点都在同一球面上，若则此球的表面积等于 解：在 MBC中AB =AC =2 , NBAC =120。，可得BC =2岳，由正弦定理，可得A ABC外接圆 半径r=2,设此

16、圆圆心为O：球心为O，在RT.QBO 中，易得球半径R =、.5，故此球 的表面积为4二R2 =20二.3. 正三棱柱ABC-AEG内接于半径为2的球，若代B两点的球面距离为二，则正三棱柱的体积为答案84. 表面积为2 3的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A.辽二 B . 1 二C . 2 二D .痘二3333答案 A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由8- 2 3知，a - 1 ,A则此球的直径为、2，故选A。5.已知正方体外接球的体积是丝二，那么正方体的棱长等于（3)A.2 2B.口3C.岛D.34 33答案D6. （山东卷）正方体的内切球与其外接球的

17、体积之比为（）A 1 ：3 B . 1 : 3答案 C7. （海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为9，底面周长为3,则这个球的体积8为.答案空38. （天津理）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1, 2, 3,则此球的表面积为 .答案14 n2 cm的球面上。如果正四棱柱9. （全国H理）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的底面边长为1 cm,那么该棱柱的表面积为2cm答案 2 4、2P-ABCDEF，则此正六棱锥的10. （辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥侧面积是.答案 6 711. （辽宁省抚顺一中）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是.答案 2D.4H31