最详!!定积分与微积分[稻谷书苑]

1、第3课时 定积分与微积分 基本定理 1定积分的概念定积分的概念 (1)定积分的定义和相关概念定积分的定义和相关概念 如果函数如果函数f(x)在区间在区间a，b上连上连 续，用分点续，用分点ax0 x1xi 1xixn b将区间将区间a，b等分成等分成n个小区间，在每个个小区间，在每个 小区间小区间xi 1， ，xi上任取一点上任取一点i(i1,2， 基础知识梳理基础知识梳理 ，n)，作和式，作和式 ， 当当n时，上述和式无限接近时，上述和式无限接近 ， 这个这个 叫做函数叫做函数f(x)在区间在区间a，b上的定上的定 基础知识梳理基础知识梳理 某个常数某个常数 常数常数 积分，记作积分，记作

2、，即，即baf(x)dx 基础知识梳理基础知识梳理 a与与b a，b 函数函数f(x) x 基础知识梳理基础知识梳理 基础知识梳理基础知识梳理 基础知识梳理基础知识梳理 (3)定积分的基本性质定积分的基本性质 kf(x)dx f1(x)f2(x)dx . f(x)dx 基础知识梳理基础知识梳理 基础知识梳理基础知识梳理 你能从定积分的几何意义解释性你能从定积分的几何意义解释性 质质吗？吗？ 【思考思考提示提示】如图所示，设在区如图所示，设在区 间间a，b上恒有上恒有f(x)0，c是区间是区间(a，b)内的内的 一点，那么从几何图形上看，直线一点，那么从几何图形上看，直线xc把把 大的曲边梯形分

3、成了两个小曲边梯形，因大的曲边梯形分成了两个小曲边梯形，因 此，大曲边梯形的面积此，大曲边梯形的面积S是两个小曲边梯形是两个小曲边梯形 的面积的面积S1，S2之和，即之和，即SS1S2，用定积，用定积 分表示就是性质分表示就是性质. 基础知识梳理基础知识梳理 F(b)F(a) 答案答案：A 三基能力强化三基能力强化 三基能力强化三基能力强化 答案答案：B 三基能力强化三基能力强化 答案答案：D 三基能力强化三基能力强化 答案答案：1 三基能力强化三基能力强化 求函数求函数f(x)的定积分，关键是求的定积分，关键是求 出函数出函数f(x)的一个原函数的一个原函数F(x)，即满，即满 足足F(x)

4、f(x)正确运用求导运算与正确运用求导运算与 求原函数运算互为逆运算的关系求原函数运算互为逆运算的关系 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点一考点一求已知函数的定积分求已知函数的定积分 课堂互动讲练课堂互动讲练 【思路点拨思路点拨】(1)(2)先利用定积先利用定积 分的性质将被积函数化简再求分的性质将被积函数化简再求(3)先先 化简，再求定积分化简，再求定积分 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 【规律总结规律总结】计算简单定积分的步骤计算简单定积分的步骤 (1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、把被积函数变为幂函数、正弦函数、 余弦函数、指数函数与常数的和或

5、差；余弦函数、指数函数与常数的和或差； (2)利用定积分的性质把所求的定积分化利用定积分的性质把所求的定积分化 为若干个定积分的和或差；为若干个定积分的和或差； (3)分别用求导公式找到分别用求导公式找到F(x)，使得，使得F(x) f(x)； (4)利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式求出各个莱布尼兹公式求出各个 定积分的值；定积分的值； (5)计算所求定积分的值计算所求定积分的值 课堂互动讲练课堂互动讲练 1分段函数的定积分分段函数的定积分 (1)分段函数在区间分段函数在区间a，b上的定积上的定积 分可分成几段定积分的和的形式分可分成几段定积分的和的形式 (2)分段的标准是使每一段上的函数分段的标

6、准是使每一段上的函数 表达式是确定的，一般按照原函数分段表达式是确定的，一般按照原函数分段 的情况分，无需分得过细的情况分，无需分得过细 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点二考点二 求分段函数的定积分求分段函数的定积分 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 【思路点拨思路点拨】(1)f(x)在在0,5上上 的定积分，可按照的定积分，可按照f(x)的分段标准，的分段标准， 分成分成0,1，(1,4，(4,5三段的定积分三段的定积分 的和；的和； 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 【名师点评名师点评】分段函数在区间分段函数在区间 a，b上的定积

7、分可分成几段定积分上的定积分可分成几段定积分 的和的形式的和的形式. 分段的标准只需依据已分段的标准只需依据已 知函数的分段标准即可知函数的分段标准即可 课堂互动讲练课堂互动讲练 利用定积分求平面图形面积的利用定积分求平面图形面积的 关键是画出几何图形，结合图形位关键是画出几何图形，结合图形位 置，确定积分区间以及被积函数，置，确定积分区间以及被积函数， 从而得到面积的积分表达式，再利从而得到面积的积分表达式，再利 用微积分基本定理求出积分值用微积分基本定理求出积分值 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点三考点三定积分的几何意义定积分的几何意义 课堂互动讲练课堂互动讲练 利用定积分的性质和定义表示下

8、利用定积分的性质和定义表示下 列曲线围成的平面区域的面积列曲线围成的平面区域的面积 (2)yx2，xy2. 【思路点拨思路点拨】先将区域面积表先将区域面积表 示成若干个定积分的和或差，再运用示成若干个定积分的和或差，再运用 牛顿牛顿莱布尼兹公式计算莱布尼兹公式计算 课堂互动讲练课堂互动讲练 (2)曲线所围成的平面区域如图曲线所围成的平面区域如图(2)所示：所示： SA1A2. 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 利用定积分解决变速运动问题利用定积分解决变速运动问题 和变力做功问题时，关键是求出物和变力做功问题时，关键是求出物 体作变速运动的速度函数和变

9、力与体作变速运动的速度函数和变力与 位移之间的函数关系，确定好积分位移之间的函数关系，确定好积分 区间，得到积分表达式，区间，得到积分表达式， 再利用微再利用微 积分基本定理计算即得所求积分基本定理计算即得所求 课堂互动讲练课堂互动讲练 考点四考点四定积分在物理中的应用定积分在物理中的应用 课堂互动讲练课堂互动讲练 【思路点拨思路点拨】从图上可以看出从图上可以看出 物体在物体在0t1时做加速运动，时做加速运动，1t3时时 做匀速运动，做匀速运动，3t6时也做加速运动，时也做加速运动， 但加速度不同，也就是说但加速度不同，也就是说0t6时，时， v(t)为一个分段函数，故应分三段求积为一个分段函

10、数，故应分三段求积 分才能求出曲边梯形的面积分才能求出曲边梯形的面积 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 (本题满分本题满分10分分)物体物体A以初速度为以初速度为2(速速 度度v的单位：的单位：m/s)、加速度为、加速度为a(t)6t(t的单的单 位：位：s)在一直线上运动在此直线上与物在一直线上运动在此直线上与物 体体A出发的同时，物体出发的同时，物体B在物体在物体A的正前方的正前方 5 m处以处以v10t1(t的单位：的单位：s，v的单位：的单位： m/s)的速度运动的速度运动 (1)求物体求物体A的速度；的速度； (2)两物体何时相遇？相遇地与物体两物体何时相遇？相遇地与物体A 的出发地的距离是多少？的出发地的距离是多少？ 课堂互动讲练课堂互动讲练 解解：(1)设物体设物体A在时刻在时刻t的速度为的速度为v(t)， 依题意有依题意有v(0)2， 2分分 课堂互动讲练课堂互动讲练 课堂互动讲练课堂互动讲练 规律方法总结规律方法总结 规律方法总结规律方法总结 2求定积分的常用技巧求定积分的常用技巧 (1)对被积函数，要先化简，再求对被积函数，要先化简，再求 积分积分 (2)求被