概率论与数理统计实验_传染病传播问题

1、传染病传播问题传染病是人类共同的敌人小到流感、病毒性肝炎，大到霍乱、天花、艾滋病、非典型 性肺炎等，危害着人们的健康，扰乱了人们正常的工作和生活，同时也侵蚀着人类大量的财富.因此建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，预报传染病高峰的到来，及时控 制传染病的传播是非常重要的事情，一直是各国政府和科学家关注的课题以下探讨几类传染病数学模型，对传染病相关的问题做出相应的回答注：(1 )这里不从医学的角度分析各种传染病的传播，而只是按照一般的传播机理建 立几种数学模型；(2 )讨论问题的前提是假定在疾病的传播期内，所考察地区的总人数不变 (总人数为N).解：假设 t时刻健康者和病人在总人数中所占

2、的比例分别为s(t),i(t).另外, i(0) io ；称日接触率，即当病人与健康者有(2) 每个病人每天有效接触的平均人数为常数 效接触时，使健康者感染变成病人根据假设，有Ns(t)i (t)Ndi(t) dts(t) i(t) 1 i(0) io故可得得到(t)di(t)dti(0) ioi(t)1 i(t)(1)io这个模型可以用于传染病的前期(对于传染较快的病)，早期预报传染病高峰的到来1) i(t)t曲线表示传染病的传染曲线;医学上称为传染病曲线.:1曲线表示传染病的上升率与时间的关系， dt图2) 求i(t)的一阶导数: 这里已经把io代入到i(t)的表达式.再输入d 2j回到i

3、(t)的表达式(2),再求i(t)的二阶导数,令 pdt.r 1 ai0_ Logat,ttl1lnU 1再代入i(t)的表达式，得o，求出g函数的极大值点,dt(3)23达到最大值.dt* i 即已求出 i 丄2. 11 1 彳 ti In 1 .i 0说明：病人在这个时刻增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门特别关 注的时刻.时，即传染病的上升率达到最大，这个时刻是3) 从(3)式可知t1与 成反比.日接触率标志着该地区的卫生水平，越小，卫生水平越高.而 越小，t1越大，传染病爆发的时刻就会越迟所以改善保健设施，采取有效的隔离措施，降低日接触率，可以推迟传染病高峰的到来4) 由

4、(2)式可知，当t 时，i(t) 1 .这就意味着所有的人都将被传染，处于 生病状态这是不符合实际情况的事实上，传染病人经治疗后，或者痊愈，因而具有免疫力；或者死亡；所以最终病人的比例数i(t)应该趋于零，即当t 时，i(t) 0.由此可见，需要重新修改模型假设，再建立数学模型感染-治愈假设：(1) 与感染模型相同；(2) 与感染模型相同；(3) 病人可以治愈病人每天被治愈的人数占病人总数的比例，称为日治愈率病人治1愈后仍可成为被感染的健康者，所以-是这种传染病的平均传染期由假设(3)可知s(t)i(t)i(t) 1i(t)di(t) dt s(t)i(0)i 0故可得di(t) dti(t)

5、1 i(t)i(t)(4)变换得i(0) io di(t) dti2(t)()i(t)(5)i(0) io此方程为贝努利方程,et () ai0i t- J (: () ) ai01得到i(t)时，上式不是方程的解,d(t)1应从原方程出发求解i可以利用分离变量法求解dt0ioi2(t)ai0t ai0即丄(t)1为当io时的解所以方程组的解为:分析:定义:io时;(7)(8)从和1的定义可知,个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数1)作出it t曲线图，分析病人数的变化规律 首先求出i t的极限，讨论极端情况.因为1lim i tt11 -，当 1；(9)0,当这里有两条i t t

6、曲线，都是1的情形上面一条是i0是io=时的图形从图可见,=时的图形；下面一条虽然i0不同，但it在t趋于无穷时有相同的极限 1 -t这是i0=时的i t t曲线.2） 接触数1是一个阈值当1时，病人比例i t越来越小，最终趋于零.说明传染期内，每个病人有效接触的平均人数不超过一个人，最终导致使健康者变为病人的数量不超过病人数当1时，病人比例i t的增减性取决于初始病人数i0的大小.当t时，i（t） 1-.1从上式分析可知越大，1 越大，即：病人比例i t随 的增加而增加相反，增大治愈率 ，减少接触率，（即：降低 的取值）其实际意义就是要提高医疗水平和保健水平，可以降低传染病的传播，避免传染病

7、的爆发3） 特殊情况：当1, 0时，相当于一，（当t时）的情况 即:随着天数t的无限增大，接触数无限增大，将导致所有的人都成为病人这也就是模型（一）的情 况感染-治愈-免疫考虑大多数传染病治愈后有很强的免疫力 的人数不再传染别人，别人也不会传染他们， 退出传染系统假设：（1 ）人群分为健康者、病人和移出者三类st ,i t , r t，三者之间满足条件：s t i t所以病愈的人既非健康者又非病人，被免疫他们已经退出传染系统另外死亡者也看作是三类人在总人数 N中占的比例分别记作r t 1 ；（2）病人的日接触率为，病人的日治愈率为，传染期接触数为由假设（2）可知NdtNstitNit对移出者应

8、有N生 dtNi t，记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0（0）, iodi0，移出者的初始值ro0则得到:didtdsdti 0st i t这是非齐次非线性的微分方程组，难以求出精确的解析解 结果为图，图，图三个图形.这是=,(0)=时的 i(t)t, s(t)t, r(t)t 曲线.ttts在理论上可以根据方程组的特点，先确定系，确定it.将（10）式前两个方程左右两边分别相除得:之间的关系,然后再利用i,s的关i利用分离变量容易得到方程（分析：由（11）式可知，当di 11, ds ss0i011)的精确解1 . sIn ss01s 时，(11)i 0 s0(12)1容易验证：当s

9、-图形中箭头表示随时间n, di时，丁dst的增加0 ;当sdi(t)ds1时,di ds的变化趋势根据图形分析可知，当t0.时,t r .由此可得到如下结论：s（t） s ;i t 0; r（1）无论初始条件S0,i如何，病人终将消失即：当t时，it 0 (2)最终未被感染的健康者的比例是lim st st在(12)式中，令i o可得s满足的方程：1,Scso i osInO(13)So故S是方程(13)1式在0,内的单根(3)若 So1 ,则it先增加当s1时,i t达到最大值为im So i。 丄1 In So .然后it减少且趋于零.st则单调减少趋于s1(4) 若So，则it单调减少趋于零，st则单调减少趋于S .结果：由上述分析可以得知：1(1) 如果仅当病人比例i t有一段增长的时期才认为传染病在曼延，这时是一个阈值.1 1当So 时，传染病就会蔓延，而当提高阈值(即：减少传染期内接触数),使So -,传染病就不会蔓延1(2) S S 是传染期内一个病人传染健康者的平均数，故S称为交换数所以当1So时，即有So 1时，必有S 1说明：传染期内交换数不超过 1人，病人比例it不会增加，传染病不会蔓延 (3) 从 一表达式可知，日接触率越小，日治愈率越大，则接触数越小，此时有助于