数学竞赛教案讲义(7)——解三角形

1、第七章解三角形第七章解三角形一、基础知识在本章中约定用A，B，C 分别表示 ABC的三个内角， a, b, c 分别表示它们所对的各边长， pabc2为半周长。1正弦定理：abcsin B=2R（R 为 ABC外接圆半径） 。sin Asin C推论 1 ： ABC的面积为 SABC=1 ab sin C1 bc sin A1 ca sin B.222推论 2 ：在 ABC中，有 bcosC+ccosB=a.推论 3 ：在 ABC中， A+B=，解 a 满足ab，则 a=A.sin asin(a)正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义， BC

2、边上的高为 bsinC，所以 S ABC=1 ab sin C ；再证推论2，因为 B+C= -A，2所以 sin(B+C)=sinA，即 sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R 得 bcosC+ccosB=a；再证推论3，由正弦定理ab，所以 sin asin(a) ，即 sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等sin Asin Bsin Asin(A)价 于1cos(-A+a)-cos(-A-a)=1cos(-a+A)-cos(-a-A)，等价于22cos( -A+a)=cos( -a+A)，因为 0 -A+a， -a+A. 所以只有-A+a=-a+A，所以

3、 a=A，得证。222cos Ab 2c2a 22余弦定理： a =b +c -2bccosA2bc，下面用余弦定理证明几个常用的结论。（ 1 ）斯特瓦特定理：在 ABC 中， D 是 BC 边上任意一点，BD=p， DC=q，则2 b 2 pc2 q（ 1）AD =pqpq.【证明】2222ADB ，因为 c =AB =AD +BD -2AD BDcos所以 c2=AD2+p2-2ADpcosADB.同理 b2=AD2+q2-2AD qcosADC ，因为ADB+ ADC=，所以 cosADB+cosADC=0，所以 q +p得2222 b2 pc2 qpqqc +pb =(p+q)AD +

4、pq(p+q) ，即 AD=q.p注：在（ 1）式中，若 p=q，则为中线长公式AD2b 22c 2a 2.21第七章解三角形（ 2）海伦公式：因为S2ABC1b2c2sin 2A=1b2c2(1-cos 2A)=1b2c2444(b2c 2a 2 ) 212222=p(p-a)(p-b)(p-c).14b2 c 2(b+c)-a a-(b-c)16这里 pabc .2所以 SABC=p( pa)( pb)( pc). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m二、方法与例题1面积法。例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O 点发出的三条射线满足POQ,QOR，另外 OP，OQ，OR 的长分别为u

5、, w, v，这里 ，+ (0,)，则 P， Q， R 的共线的充要条件是sinsinsin().uvw2正弦定理的应用。例 2 ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证： APBC=BP CA=CP AB。例 3 ABC的各边分别与两圆O1， O2 相切，直线GF与 DE交于 P，求证： PABC。3一个常用的代换：在 ABC 中，记点 A， B， C 到内切圆的切线长分别为 x, y, z，则 a=y+z, b=z+x, c=x+y.例 4 在 ABC中，求证： a2 (b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c) 3abc.4三角换元。例 5设

6、a, b, cR+，且 abc+a+c=b，试求 P2b223的最大值。a211c212第七章解三角形例 6在 ABC中，若 a+b+c=1，求证 : a2+b2+c2+4abcb”是“ sinAsinB”的 _条件 .6在 ABC中， sinA+cosA0, tanA-sinA1，则 ABC为 _角三角形 .11三角形有一个角是 600，夹这个角的两边之比是8： 5，内切圆的面积是 12 ，求这个三角形的面积。12已知锐角 ABC的外心为 D，过 A，B， D 三点作圆，分别与AC， BC相交于 M ， N两点。求证： MNC 的外接圆半径等于 ABD 的外接圆半径。13已知 ABC 中，

7、sinC= sin Asin B ，试判断其形状。cos Acos B四、高考水平训练题1在 ABC中，若 tanA=1, tanB=1 ，且最长边长为1，则最短边长为 _.232已知 n N+，则以 3， 5， n 为三边长的钝角三角形有_个 .3已知 p, q R+, p+q=1，比较大小： psin2A+qsin2B_pqsin2C.4在 ABC中，若 sin2A+sin2B+sin2C=4sinAsinBsinC，则 ABC 为 _ 角三角形 .5若 A 为 ABC 的内角，比较大小：cot Acot A _3.86若 ABC满足 acosA=bcosB，则 ABC的形状为 _.7满足

8、 A=600 ，a= 6, b=4 的三角形有 _个 .3第七章解三角形8设 为三角形最小内角，且acos2+sin22-cos2-asin2=a+1，则 a 的取值范围是222_.9A，B，C 是一段笔直公路上的三点，分别在塔D 的西南方向，正西方向，西偏北300方向，且 AB=BC=1km，求塔与公路AC 段的最近距离。10求方程 xy1 yx 1xy 的实数解。11求证：1sin 20 07 .320五、联赛一试水平训练题1在 ABC中， b2=ac，则 sinB+cosB 的取值范围是 _.2在 ABC中，若sin Bcos A2 cosC，则 ABC 的形状为 _.sin Ccos

9、A2 cos B3对任意的 ABC， Tcot Acot Bcot C -(cotA+cotB+cotC) ，则 T 的最大值为222_.4在 ABC中， sin A sin B sin C 的最大值为 _.25平面上有四个点A， B， C， D，其中 A， B 为定点， |AB|= 3 ， C， D 为动点，且|AD|=|DC|=|BC|=122的取值范围是 _.。记 S ABD=S， SBCD=T，则 S +T6在 ABC中，AC=BC， ACB80 0 ，O 为 ABC的一点，OAB 100 ， ABO=300，则 ACO=_.7在 ABC 中， ABC，则乘积 cos A sin B

10、cos C 的最大值为 _，最6222小值为 _.8在 ABC中，若 c-a 等于 AC边上的高 h，则 sin CAcos A C =_.229如图所示， M， N 分别是 ABC 外接圆的弧 AB ， AC 中点， P 为 BC 上的动点， PM 交 AB 于 Q， PN 交 AC于 R， ABC的内心为 I，求证： Q，I， R 三点共线。10如图所示， P，Q，R 分别是 ABC 的边 BC，CA，AB 上一点，且 AQ+AR=BR+BP=CQ+CP。求证： AB+BC+CA2（ PQ+QR+RP）。11在 ABC外作三个等腰三角形 BFC， ADC， AEB，使 BF=FC， CD=

11、DA，AE=EB，ADC=2 BAC， AEB=2 ABC，BFC=2 ACB，并且 AF，BD，CE交于一点，试判断 ABC的形状。六、联赛二试水平训练题1已知等腰 ABC，AB=AC，一半圆以 BC 的中点为圆心，且与两腰AB 和 AC 分别相切于点 D 和 G， EF 与半圆相切，交AB 于点 E，交 AC 于点 F，过 E 作 AB 的垂线，过 F 作 AC的垂线，两垂线相交于P，作 PQEF，此处 =B。BC， Q 为垂足。求证： PQ2 sin2设四边形 ABCD 的对角线交于点 O，点 M 和 N 分别是 AD 和 BC的中点，点H1， H2（不重合）分别是 AOB 与 COD

12、的垂心，求证： H1H2 MN 。4第七章解三角形3已知 ABC，其中 BC 上有一点 M，且 ABM 与 ACM 的内切圆大小相等，求证：AMP( P a) ，此处 P1(a+b+c), a, b, c 分别为 ABC对应三边之长。2AED=900，4已知凸五边形 ABCDE，其中ABC=BAC=EAD，BD 与 CE交于点 O，求证： AO BE。5已知等腰梯形 ABCD， G 是对角线 BD 与 AC 的交点，过点G 作 EF 与上、下底平行，点 E 和 F 分别在 AB 和 CD上，求证：AFB=900 的充要条件是 AD+BC=CD。6 AP， AQ， AR， AS 是同一个圆中的四

13、条弦，已知PAQ=QAR= RAS，求证： AR（AP+AR） =AQ（ AQ+AS）。7已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果 a2+b2+c2+d2=8R2，试问对此四边形有何要求？8设四边形 ABCD内接于圆， BA 和 CD 延长后交于点R，AD 和 BC 延长后交于点P，A，B， C指的都是 ABC的内角， 求证：若 AC 与 BD 交于点 Q，则 cos Acos CcosB .APCRBQ9设 P 是 ABC内一点，点 P 至 BC，CA， AB 的垂线分别为 PD， PE， PF（ D， E， F 是垂足），求证： PA PBPC(PD+PE) (

14、PE+PF) (PF+PD)，并讨论等号成立之条件。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第八章平面向量一、基础知识定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。 向量的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如 a. |a| 表示向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为1 的向量称为单位向量。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m定义 2方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结合律。定理 1向量的运算，加法满足平行四边形法规

15、，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合律。定理 2非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数0，使得 a= b.f定理 3平面向量的基本定理，若平面内的向量a, b 不共线，则对同一平面内任意向是c，存在唯一一对实数x, y，使得 c=xa+yb，其中 a, b 称为一组基底。定义 3向量的坐标，在直角坐标系中，取与x轴， y 轴方向相同的两个单位向量i, j作为基底，任取一个向量c，由定理 3 可知存在唯一一组实数x, y，使得 c=xi+yi，则（ x, y）叫做 c 坐标。定义 4向量的数量积，若非零向量a,b 的夹角为，则 a, b 的数量积记作ab=|a| |b|cos

16、=|a| |b|cos ，也称内积，其中 |b|cos叫做 b 在 a 上的投影（注：投影可能为负值） 。定理 4平面向量的坐标运算：若a=(x1, y1), b=(x2, y2)，1 a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2 , y1-y2)，2 a=(x1, y1), a (b+c)=a b+a c，3 a b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=x1 x2y1 y2(a, b0),y12x22x12y224. a/bx1y2=x2 y1, abx1x2+y1y2=0.5第七章解三角形定义 5若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1，p2 的一点，则存在唯一实数，

17、使 P1 PPP2 ，叫 P 分 P1 P2所成的比，若O 为平面内任意一点，则OPOP1OP2。由此可得若1xx1x2xx1yy11P1， P， P2 的坐标分别为 (x1, y1), (x, y), (x2, y2)，则.y1y2x2xy2yy1定义 6设 F 是坐标平面内的一个图形， 将 F 上所有的点按照向量a=(h, k)的方向，平移|a|=h2k 2个单位得到图形 F ，这一过程叫做平移。设p(x, y)是 F 上任意一点，平移到xxhF 上对应的点为 p ( x , y ) ，则y称为平移公式。yk定理 5对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a b|

18、|a|b| ，并且 |a+b| |a|+|b|.【证明】因 |a| 2 |b| 2-|a b| 2= (x12y12 )( x22y22 ) -(x1x2+y1 y2)2=(x1y2-x2y1)20 ，又|a b| 0, |a| |b|0 ，所以 |a|b|a b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n维向量， a=(x1, x2, ,xn)， b=(y1, y2, , yn)，同样有 |a b| |a| |b|，化简即为柯西不等式：(x12x22xn2 )( y12y22yn2 )(x1y1+x2y2+ +xnyn )20，又

19、 |a b| 0, |a| |b| 0，所以 |a|b|a b|.由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|a|+|b|.注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n维向量， a=(x1, x2, ,xn), b=(y1, y2, , yn)，同样有 |ab| |a| |b|，化简即为柯西不等式 ：( x12x22xn2 )( y12y22yn2 )(x1y1+x2y2+ +xnyn)2。2）对于任意n 个向量， a1, a2,an，有 | a 1, a2,an| | a 1|+|a 2|+|a n| 。二、方向与例题1向量定义和运算法则的运用。例 1设 O 是正 n 边形 A1A2An 的

20、中心，求证：OA1OA2OAnO.例 2给定 ABC，求证： G 是 ABC重心的充要条件是GAGBGCO.6第七章解三角形例 3在凸四边形ABCD 中， P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。2证利用定理2 证明共线。例 4 ABC外心为 O，垂心为H，重心为G。求证： O，G， H 为共线，且OG：GH=1： 2。3利用数量积证明垂直。例 5给定非零向量a, b. 求证： |a+b|=|a-b|的充要条件是ab.例 6已知 ABC内接于 O，AB=AC，D 为 AB 中点， E 为 ACD 重心。求证： OECD。4向量

21、的坐标运算。例 7 已知四边形 ABCD是正方形， BE/AC，AC=CE，EC的延长线交 BA 的延长线于点 F，求证： AF=AE。三、基础训练题1 以下命题中正确的是_. a=b 的充要条件是|a|=|b|，且a/b ；(a b) c=(a c) b；若 a b=a c，则 b=c；若 a, b 不共线，则xa+yb=ma+nb 的充要条件是 x=m, y=n；若 ABa,CDb，且 a, b 共线，则 A，B， C， D 共线； a=(8, 1) 在b=(-3, 4)上的投影为 -4。2已知正六边形ABCDEF，在下列表达式中：BCCDEC ； 2BCDC ；FEED ； 2EDFA

22、与 AC ，相等的有 _.7第七章解三角形3已知 a=y-x, b=2x-y, |a|=|b|=1, ab=0，则 |x|+|y|=_.4设 s, t 为非零实数， a, b 为单位向量，若|sa+tb|=|ta-sb|，则 a 和 b 的夹角为 _.5已知 a, b 不共线， MN =a+kb,MP =la+b，则“ kl-1=0 ”是“ M，N，P 共线”的_条件 .6在 ABC 中，M 是 AC 中点， N 是 AB 的三等分点， 且 BN2NA，BM 与 CN 交于 D，若 BDBM ，则 =_.7已知 OA,OB不共线，点 C 分 AB所成的比为 2， OCOAOB，则_.8已知 O

23、A a, OB=b, ab=|a-b|=2 ，当 AOB 面积最大时， a 与 b 的夹角为 _.9把函数 y=2x2-4x+5 的图象按向量 a 平移后得到 y=2x2 的图象， c=(1, -1),若 ab ，c b=4，则 b 的坐标为 _.10将向量 a=(2, 1)绕原点按逆时针方向旋转得到向量 b，则 b 的坐标为 _.411在 Rt BAC中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点， 试问 PQ 与 BC 的夹角取何值时 BP CQ 的值最大？并求出这个最大值。12在四边形ABCD中， ABa, BCb, CDc, DAd ，如果 ab=bc=cd=d a，

24、试判断四边形ABCD的形状。四、高考水平训练题1点O 是平面上一定点，A， B， C 是此平面上不共线的三个点，动点P 满足ABAC0,. 则点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 _心。OP OA,|AB|AC|2在 ABC中， AB a, BCb ，且 a b1(k R)，则 k 的取值范围是 _.4平面内四点 A，B，C，D 满足 | AB | 3,| BC | 7,| CD |11,| DA | 9，则 AC BD的取值有 _个 .5已知 A1A2A3 A4A5 是半径为 r的 O 内接正五边形，P 为 O 上任意一点，则| PA1|2| PA2 |2| PA3 |2| PA4|2| PA

25、5 |2 取值的集合是 _.6O 为ABC 所在平面内一点，A，B，C 为ABC的角，若sinA OA+sinB OB +sinC OC O ，则点 O 为 ABC 的 _心 .9第七章解三角形7对于非零向量a, b, “|a|=|b|”是“ (a+b) (a-b)”的 _条件 .8在 ABC 中， AB a, BCc, CAb ，又 (cb)：(ba)：(ac)=1：2：3，则 ABC三边长之比 |a| ：|b| ： |c|=_.9已知 P 为 ABC内一点，且 PA2PB3PC O ，CP交 AB 于 D，求证： DPPC.10已知 ABC 的垂心为H， HBC， HCA， HAB 的外心

26、分别为O1， O2， O3，令HA a, HB b, HCc, HO1p123 的外心。，求证：（ 1） 2p=b+c-a；（ 2）H 为 O O O11设坐标平面上全部向量的集合为V，a=(a1, a2)为 V 中的一个单位向量，已知从V 到V 的变换 T，由 T(x)=-x+2(xa)a(x V)确定，（ 1）对于 V 的任意两个向量 x, y, 求证： T(x)T(y)=x y；（ 2）对于 V 的任意向量 x，计算 TT(x)-x；（ 3）设 u=(1, 0)； V (0,1)，若 T (u) V ，求 a.六、联赛二试水平训练题1已知 A，B 为两条定直线AX，BY上的定点， P 和

27、 R 为射线 AX 上两点， Q 和 S 为射线APARAMPNRTBY上的两点，为定比，M ，N，T 分别为线段 AB，PQ，RS上的点，NQTSBQBCMB为另一定比，试问M， N， T 三点的位置关系如何？证明你的结论。2已知 AC， CE 是正六边形 ABCDEF的两条对角线，点M， N 分别内分 AC，CE，使得AM： AC=CN： CE=r，如果 B， M， N 三点共线，求 r.3在矩形 ABCD 的外接圆的弧 AB 上取一个不同于顶点A，B 的点 M，点 P，Q，R，S是 M 分别在直线 AD， AB，BC， CD 上的射影，求证：直线PQ与 RS互相垂直。4在 ABC内，设

28、D 及 E是 BC的三等分点，D 在 B 和 F 之间， F 是 AC 的中点， G 是AB 的中点，又设H 是线段 EG和 DF 的交点，求比值EH： HG。5是否存在四个平面向量，两两不共线，其中任何两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？6已知点 O 在凸多边形A1A2An 内，考虑所有的AiOAj，这里的 i, j 为 1 至 n 中不同的自然数，求证：其中至少有n-1 个不是锐角。7如图，在 ABC中， O 为外心，三条高AD， BE，CF 交于点 H，直线ED和 AB 交于点 M ， FD和 AC交于点 N，求证：（ 1） OB DF， OC DE，（ 2） OH MN。8平面上两个

29、正三角形A1B1 C1和 A2B2C2，字母排列顺序一致，过平面上一点O 作OA A1 A2,OB B1 B2 ,OC C1C2 ，求证 ABC为正三角形。9在平面上给出和为O 的向量 a, b, c, d，任何两个不共线，求证：|a|+|b|+|c|+|d|a+d|+|b+d|+|c+d|.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m第九章不等式一、基础知识不等式的基本性质：10第七章解三角形（ 1） aba-b0；（ 2） ab, bcac；（ 3） aba+cb+c；（ 4）ab, c0acbc；（ 5） ab, c0 acb0, cd0 acbd;（ 7） ab0, n N+nn（ 8） a

30、b0, n N+n an b ;a b ;（ 9） a0, |x|a-axaxa 或 xb0, cd0，所以 acbc, bcbd，所以 acbd；重复利用性质 （ 6），可得性质 （ 7）；再证性质（ 8），用反证法，若nan b ，由性质（ 7）得 (n a ) n(n b )n ，即 ab，与 ab矛盾，所以假设不成立， 所以 nanb ；由绝对值的意义知 （ 9）成立；-|a| a|a|, -|b| b|b| ，所 以 -(|a|+|b|) a+b|a|+|b|， 所 以 |a+b|a|+|b| ； 下 面 再 证 （ 10 ） 的 左 边 ， 因 为|a|=|a+b-b| |a+b|+|b|，所以 |a|-|b|a+b| ，所以（ 10）成立；（ 11）显然成立； 下证（ 12），因为 x+y-2xy( xy ) 2 0，所以 x+y2 xy ，当且仅当 x=y 时，等号成立，再证另一不等式，令 3